等腰三角形、中垂线、角平分线培优题资料讲解

1．如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD ，且交OE 于点F ．

（1）求证：OE 是CD 的垂直平分线．

（2）若∠AOB=60°，请你探究OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．

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2、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A＋∠C＝180°，求证：DA ＝CD

3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。

4、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，求证：∠CAF ＝∠B

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5、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 的延长线于E . 求证：BD =2CE .

6、已知，如图，等边△ABC ，AB ＝6㎝，点M 从点B 开始沿BA 边向点A 以1㎝/秒的速度运动，点N 从点C 开始沿AC 的延长线以1㎝/秒的速度运动，M 、N 分别从B 、C 同时出发，当点M 到达端点A 时，停止运动。（1）设线段MN 与线段BC 交于点P ，试判断点P 与线段MN 的位置关系，并证明你的结论。（2）当M 、N 运动几秒时，△AMN 为直角三角形？

（3）过点P 作MN 的垂线交∠BAC 的平分线AD 于Q 点，在M 、N 两点的运动过程中，给出下列两个结论：①Q 点为AD 上的一个定点；②线段PQ 的长度不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。

7.如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于O 点，求证：AE ＋CD=AC. A B C

D A

B

C P Q M

N A

B C D E

F A C B

P M N A C B P M N Q D

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8、如图所示，已知AD //BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：（1）E 为DC 的中点；（2）AD ＋BC =AB .

9．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=6cm ，若动点P 从点C 开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm ，设出发的时间为t 秒．

（1）出发2秒后，求△ABP 的周长．

（2）问t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？

（3）另有一点Q ，从点C 开始，按C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，若P 、Q 两点同时出发，当P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？

10．已知△ABC 的角平分线AP 与边BC 的垂直平分线PM 相交于点P ，作PK ⊥AB ，PL ⊥AC ，垂足分别是K 、L ，

求证：BK=CL ．

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11．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．

（1）如图1，求证：

；（2）如图，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD 的长． D O C E

B A

A D

E C B