泰勒公式及其在在计算方法中的应用

泰勒公式及其在在计算方法中的应用

Revised on November 25, 2020

泰勒公式在计算方法中的应用

摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.

关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分

§1 引言

泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.

§2泰勒（Taylor ）公式

定理1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于

0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：

()2

0000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!

(1)

其中 (1)10()

()()(1)!

n n n f R x x x n ξ++=

-+ （2

）

公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项. 定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有

()2

00000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!

(3)

公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项.

特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令

(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:

()()()

1

12(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!

n

n n n f f f x f x f f x x x x n θ++'''=+++++……+n! (01)θ<<

（4）

在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：

()2(0)(0)()(0)(0)()2!n n

n f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!

(5)

§3 泰勒公式的求法

（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法

只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

（1）直接求法：通过求0()f x 0()f x '……()0()n f x 而求得; 例如求：,sin ,cos ,ln(1),(1)x a e x x x x ++等

（2）间接求法：利用已知的泰勒公式，通过一些运算求得。 基本根据：泰勒公式的唯一性。 设()f x 在x =0x 处的n 阶可导，且

……00()(())n n n A x x o x x -+- (x 0x →)

①

()0()

!

k k f x A k ?= 0,1,2,3k =……n 。

()000()

()(())!

n n n f x x x o x x n +-+-…… (x 0x →)

②

将①②式相减得：

()000()

)()(())!

n n n n f x A x x o x x n ++--+-……（ (x 0x →)

令000()x x f x A →?=

将上式两边同除以(x 0x -),令0x x →10()A f x '?=……其余类似可得。 方法：四则运算，变量替换，逐项积分

§4 泰勒公式在计算方法中的应用

（） 泰勒公式在误差估计中的应用

在研究学习过程中，由于物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者的疏忽，绝大多数的数值计算结果都会有误差，通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差，同时减少计算的复杂程度。泰勒公式在误差估计中应用就显得十分突出。下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab 进行比较，展示泰勒公式计算的方便与精确。

例1 设有2120

0.544987104184x e dx p ==?，将被积函数2

x e 展开为泰勒级数，并取前六项得：

用0()p x 代替被积函数()2

x f x e =时再积分所得的近似值：

且*p p -=?510-

2

()x y f x e ==，6()y p x =曲线如图所示。 在编辑窗口输入如下命令： x=0::; y1=exp(x.^2);

y2=1+x.^2+*x.^4+1/6*x.^6; plot(x,y1,x,y2);

legend('exp(x.^2)','1+x.^2+*x.^4+1/6*x.^6');grid

有限代替无限所产生的误差图

由图可知，泰勒公式在泰勒公式在误差估计中所产生截断误差非常小。 下例通过用泰勒公式求得的数值与实际数值之间的误差界，可知泰勒公式在误差计算中的精确度较高。

例2 2

128

x x ≈+- []0,1x ∈ 的绝对误差.

解 设()f x =,则因为

所以

()

f x =带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为： 从而：

()()

3

52

21

116

16

x

R x x θ-

=

+≤

[]0,1x ∈. （）泰勒公式在函数值估测及近似计算中的应用

泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶导数……相联系起来。

例3 设函数()f x 在[]0,2上存在二阶导数,并且当[]0,2x ∈时,有

()1f x ≤,()1,f x ''≤

证明：[]0,2x ?∈, ()2f x '≤. 证明 对? []0,2x ∈,由泰勒公式, 将()f x 在0x =展开为： 将()f x 在2x =展开为：

两式相减得 从而有 所以

()2f x '≤ []0,2x ?∈.

有了函数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数值可以近似地利用这个技术按精确度要求计算出来的。

例4

解

==令 (

)f x '=则 所以

从而由公式（4）

=1+()11

234380

11581139814!

x x x x x θ--

-+++ ()0x θ<<

故 从而

= 误差 4

113

542401124011 1.8810814!9981249R θ---??

??=

+≤?≈? ? ???????

（） 泰勒公式在数值积分中的应用

设()F x 为()f x 的原函数，由牛顿—莱布尼兹公式知，对定义在区间[,]a b 上的定积分，有：

但是，并不是区间[,]a b 上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿—莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数2

x e -、

sin x

x

等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，可实现定积分的近似计算。解法具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。

例5 计算定积分1

0sin x

dx x

?的近似值 解 因为 所以 因此

10sin x dx x ?=1

3570

sin 723!35!57!7x x x x x πθ???

?+ ???????-++??

???? =sin 711213!35!57!

πθ?

?+ ?

??-++ 由此式得到

此时误差 41

0.5107!7

R -<

用解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定x 和y 初值的联立方程：

()(),,,,dx

F x y t dt

dy G x y t dt

?=???

?=?? 给出初值()000,,x y t 我们用如下形式表示一个x 和y 的联立方程组：

()(),,,,dx

F x y t dt

dy G x y t dt

?=????=??

(6)

求方程组(6)通过点()000,,x y t 的特解,其中已知()000,,x y t .我们设想用一种逼近计算求出在下列各点1020300,2,3,k t t h t t h t t h t t kh =+=+=+=+……，处,x y 的近似值,其中h 为t 轴上选取的恰当步长.

现在,设在k t t =处,已求出,x y 的近似值,且表为()(),k k k k x x t y y t == 由泰勒公式可知：

()()()()()23

2!3!h h x t h x t x t h x t x t ''''''+=++++……

()()()()()23

2!3!

h h y t h y t y t h y t y t ''''''+=++++……

(7)

令k t t =,即可得出计算1,1k k x y ++值的公式()0,1,2,3k =……

()()()()()23

12!3!

k k k k k k h h y y t h y t y t h y t y t +''''''=+=++++……

(8)

其中 (),,dx

x F x y t dt

'=

= (),,k

k k k x F x y t '= ……

当给定了初值条件()000,,x y t 时,由方程(8),令0k =, 则得出：

其中1x ,1y 在取近似值时的保留项数,取决于步长h 及所需的精确度. 当求出1x ,1y 后,再令1k =,可求出2x ,2y ,后面依次类推.取近似值时所要保留的项数,也可由上同样处理.

为了说明以上方法,下面举个简单例子.

例6 求：()(),,,,dx

F x y t dt

dy G x y t dt

?=????=?? 的解,其初始条件为,0t =处,2,0x y ==.

解 首先,我们可选定步长0.1h =,并依次计算0.1,0.2t =等处的近似值,由逐次求导得出

,1,,x x t x x x x '''''''''=-=-=……,()()1

n n x x -= ()3n ≥……, ,1,,y y t y y y y '''''''''=-=-=……,()()1

n n y y -= ()3n ≥……,

因此在0t =处,有

0000002,0,2;0,1,1;x y x y x y ''''''''======……;()001,1,n n x y == 令0k =,则方程组(8)给出

=20.20000.00500.0002++++……=2.2052 =20.20000.00500.0002++++……=2.2052 接着在0.1t =处,有

……

令1k =,由方程（3）： =++++……=

23

211

112!3!

h h y y y h y y ''''''=++++…… . =++++……=

这个过程可以根据需要不断地重复进行.

例7 证明对任意参数t ,下列Runge-Kutta 格式是二阶的 证明

因为 ()n n y x y = ()n n

y x y ''= ()(),y x f x y '= 所以 把()1n y x +在n x 处泰勒展开得：

()1n y x +=()()()23

2!3

n n n n h h y hy x y x y ξ''''''+++

()(),n n n y x f x y '=

(9)

()()()()(),,|,,n n n x n n y n n n n x y f f y y x f x y f x y f x y x y x

???''=

+=+??? (10)

将 (9) (10)带入()1n y x +泰勒展开式得 求1n y +在n x 处的泰勒展开

将23,K K 代入112()2

n n h

y y K K +=++中得

将()1n y x +与1n y +泰勒展开做比较得 则知上述Runge-Kutta 格式是二阶的.

应当指出，应用该方法从形式上看似简单，但具体构造这种格式往往是相当困难的，因为它需要先提供y 的各阶导数值()n y 。当阶数提高时，求导过程可能很复杂，因此该方法不直接使用，但是可以用它来启发思路。

致谢：首先，我要感谢河南理工大学，感谢数信学院对我四年的培养，让我学到了许许多多的知识，感谢各位老师在这四年里对我的关怀与照顾，在此致以我深深的谢意。

本论文从选题到最后定稿成文，王振辉老师一直给予了悉心指导，王老师那种严谨求实的作风，广博深邃的洞察力，孜孜不倦的开拓精神和敬业精神令我深受启迪和教益，谨向我的指导老师王振辉老师致以深深的谢意。

我国古代有句成语叫做“管中窥豹，略见一斑”，本文也正是从泰勒公式定理入手，对泰勒公式在计算方法中的应用进行了分析和探讨。但是，由于笔者

水平有限，在理论的描述、资料的运用等方面难免有不当、不深，不周之处，有些观点也尚欠成熟，敬请各位老师批评指正。

最后，我还要向所有曾经帮助过我的同学和朋友们致敬。你们的鼓励和帮助永远是我前进的动力。

参考文献

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[12] john H. Mathews kurtis . 数值方法[M].电子工业出版社，2002.

Taylor Formula and The Application in Computational Method

Chen Lin Lin

Grade 2005,

Major of Mathematics and Applied Mathematics，

Iinstitute of Mathematics and Information Science，

Henan Polytechnic University Abstract: Taylor formula is an important formula in advanced mathematics, and it is also an important tool for solving the problems in advanced mathematics .Here introduced briefly the application of Taylor formula in computational method including

error analysis ,estimation of functional value , approximate computation , numerical integration and numerical method for ordinary differential equation . Through the exposition of this article,we found that it is simple to slove some numerical problems with Taylor formula.

keywords: Taylor formula; error analysis; approximate calculation; nume rical integration