全等三角形的基础和经典例题含有答案

第十一章：全等三角形

一、基础知识

1. 全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义

能够完全重合的两个图形就是全等图形。 例如：图13-1和图13-2就是全等图形

图 13-2

（2）全等多边形的定义

两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边

两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合 的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示

例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCD 率五边形 A B ' C' D' E '（这里符号“也”表示全等，读作“全等于”）。

图 13-5

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置 （5）全等多边形的性质

全等多边形的对应边、对应角分别相等。

（6）全等多边形的识别 多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

C D

2. 全等三角形的识别

（1）根据定义

若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS

如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全

等三角形。

（4）根据ASA

如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

(5) 根据AAS

如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3. 直角三角形全等的识别

（1）根据HL

如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形

全等。

（2）SSS SAS ASA AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。

4. 证明三角形全等的方法

证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS、“SAS、“ASA、“AAS。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。

判定方法的选择：

具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错

角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的 等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对 边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。

为什么“AAA 和“SSA 不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但 边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ ABC 不全等于△ ADE 同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图 13-7， AB=AB,AC=AD / B=Z B,但△ ABC 与△ ABD 不全等。

5. 证明两个三角形全等如何入手

证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。 （1） 综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从 已知条件中推导出对应边或对应角相等， 从而推导出三角形全等。同时，也可以 从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。 （2） 分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系 已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果 关系。

证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效， 证三角形全等时，既要有明显 的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出 隐藏条件，从而得证。

二、经典例题

例1：（ 1）已知一个三角形有两边的长分别为 2cm 13cm 又知这个三角形的周 长为偶数，求第三边长。

（2）在厶 ABC 中，已知/ A+Z C=2/ B, / C- / A=80°,求/ G

［考点透视］（1）考察三边关系的应用；（2）考察三角形内角和定理 ［参考答案］解：（1）设第三边为xcm ，则

13 2 x 13 2 即11 x 15

周长 L 2 13 x 15 x 的范围是

15 11

15 x 15 15

即 27 L 30 又L 为偶数 L 28

L 15 x 28

图 13-6 图 13-7

x 13

即第三边长为13cm

（2）

A C 2 B

A B

C (A

C)

B 2 B

B 3 B 180

B 60

A C 2 B

120

又 C

A 80

A

C 120

由

C A 80

A

20

C 100

得

C 100

例2:已知，在△ ABC 中，AD 是角平分线， B 66 , C 54 , DE AC 于E , 求：ADB 和 ADE

［考点透视］考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质 ［参考答案］解：由三角形内角和定理，得

在Rt ADE 中 ADE 90 CAD 90

30

60 （直角三角形的两个锐角互余）

例3:已知：在 ABC 和 A'B'C'中

A A ，

B B

'，CD AB 于 D ,

C'D' A' B'于 D'，且 CD C'D'

求证： ABC A'B'C'

BAC 180 B

C 180

(66 54 ) 60

又AD 平分

BAC

1 CAD - BAC 1 60 30

2

2

ADB CAD C 30 54 84

（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的

［考点透视］如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两 个三角形全等。 ［参考答案］证明：在Rt ADC 和Rt A'D'C'中

A A'

ADC A'D'C' 90 CD C'D'

Rt ADC Rt A' D'C'( AAS)

AC A'C'(全等三角形对应边相等) 在ABC 和A'B'C'中

A A'

B B' A

C A'C'

三. 适时训练

（一）精心选一选 1. 在△ ABC 中，/ A: / B: / C=1:2:3，且△

DEF BC=EF 点 A 的对应顶

点是D,下列说法正确的是（ ）

A. / C 与/ F 互余

B. 2. 如图，△ ABC 中, AB=AC CE BD 分别是AB AC 边上的中线，AM L CE 于 M AN!BD 于N,则图中全等三角形共有（ ） 弋 A. 3对 B. 4 对

C. 5 对

D. 6 对

氏 ---- C 3. 如图，△ ACD 中, AB 丄CD 且 BD >CB △ BCE^P A ABD 都是等腰 Rt △，下列结

A A '

ABC

A'B'C'( AAS)

C. / B 与/ F 互余

D.

/C 与/D 互余

论① △ ABC^A DBE ② △ ACB^A ABD ③ △ CBE^A BED ④ △ AC

4.

如图，△ ABE 和厶ADC 是△ ABC 分别沿 AB, AC 边翻折 / 2: / 3=28:5:3，则/

度数为（ ） A. 60 ° B. 70 ° C. 80

° D. 90

°

5.

下列命题正确的是（ ）

A.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D. 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个

Rt △全等

6. 在厶ABC 内部取一点P 使得点P 到厶ABC 的三边距离相等，则点 P 应是△

ABC 的哪三条线交点.（ ）

（A ）高

（B ）角平分线 （C ）中线 （D ）垂直平分线已知

7. 下列条件能判定厶ABC ◎△ DEF 的一组是

（

）

（A ） Z A= / D ， / C= / F ， AC=DF

（B ） A B=DE ， BC=EF ， Z A= Z D （C ）Z A= Z D ， Z B= Z E ， Z C=Z F

（D ） AB=DE ，△ ABC 的周长等于△ DEF 的周长

（二）细心填一填

1. 如图2-1，一长方形ABCD 纸片，以EF 为折痕折叠，点B 落在点M EN 是Z MEC 勺角平分线，则Z FEN _______

2. 如图 2-2，在△ ABC 中, Z BAC:Z ABC:Z ACB=3:5:10，且△ ABC^A ，则Z 1: Z 2= ________

3. ___________________________________________________________ 如图 2-3，若△ ABC^A ADE Z E=Z C,Z 1=20°,则Z 2= _____________________

正确的是（ ） A.①②③ B. ① C.

①③④ D. ②③④

180°形成的，若/ 1: n r