10．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁
栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
高考模拟复习试卷试题模拟卷
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【考情解读】
1.了解导数概念的实际背景；
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；
3.能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1
x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数；
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数．
【重点知识梳理】
1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义
函数y ＝f(x)在点x0的瞬时变化率lim Δx→0f
x0＋Δx －f x0
Δx
＝l ，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即lim Δx→0f x0＋Δx －f x0
Δx
＝f′(x0)． (2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)． 2．函数f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a ，b)内每一点x 导数都存在，则称f(x)在区间(a ，b)可导．这样，对开区间(a ，b)内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a ，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x 、y′)． 3．基本初等函数的导数公式
y ＝f(x) y′＝f′(x) y ＝C y ＝xn y ＝xμ (x>0，μ≠0) y ＝ax (a>0，a≠1)
y ＝ex
y ＝logax(a>0，a≠1，x>0)
y ＝ln x y ＝sin x y ＝cos x
y′＝0
y′＝nxn －1，n 为自然数 y′＝μxμ－1，μ为有理数
y′＝axln a y′＝ex y′＝1
xln a y′＝1x y′＝cos x y′＝－sin x
4
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)???
?f x g x ′＝f′x g x －f x g′x [g x ]2 (g(x)≠0)． 5．复合函数的导数
复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u·u′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【高频考点突破】
考点一 利用定义求函数的导数
例1、利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x ＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x ＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．
【方法技巧】求函数f(x)的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f(x2)－f(x1)； (2)计算平均变化率Δf Δx ＝
f x2－f x1
x2－x1
；
(3)计算导数f′(x)＝lim Δx→0Δf
Δx .
【变式探究】利用导数的定义，求： (1)f(x)＝
1
x
在x ＝1处的导数； (2)f(x)＝1
x ＋2的导数．
考点二 导数的运算 例2、求下列函数的导数： (1)y ＝ex·ln x ； (2)y ＝x ???
?x2＋1x ＋1x3；
(3)y ＝sin2???
?2x ＋π3；
(4)y ＝ln(2x ＋5)． 【方法规律】
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然
后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；
(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 【变式探究】求下列各函数的导数： (1)y ＝11－x ＋1
1＋x ；
(2)y ＝cos 2x
sin x ＋cos x ；
(3)y ＝(1＋sin x)2； (4)y ＝ln x2＋1.
考点三 导数的几何意义 例3、已知曲线y ＝13x3＋4
3.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．
【探究提高】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：
(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．
【变式探究】已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．
【真题感悟】
【高考新课标1，文14】已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()
1,1f 的处的切线过点()2,7，
则a =.
【高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．
【高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________. （·陕西卷）设函数f(x)＝ln x ＋m
x ，m ∈R.
(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x
3零点的个数；
(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）
b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．
（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x ∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值． （·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y ＝f(x)相切，求t 的取值范围；
(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f(x)相切？(只需写出结论)
（·福建卷）已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.
(1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x ＞0时，x2＜ex ；
(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex. （·广东卷）曲线y ＝－5ex ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
（·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax2＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．
（·江苏卷）已知函数f0(x)＝sin x x (x>0)，设fn(x)为fn －1(x)的导数，n ∈N*.
(1)求2f1????π2＋π2f2???
?π2的值；
(2)证明：对任意的n ∈N*，等式???
?nfn －1????π4＋π4fn ????π4＝22都成立．
（·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aln x ＋1－a
2x2－bx(a≠1)，曲线y ＝f(x)在点(1， f(1))处的切线斜率为0. (1)求b ；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜
a
a －1
，求a 的取值范围．
（·山东卷）设函数f(x)＝aln x ＋x －1
x ＋1，其中a 为常数．
(1)若a ＝0，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性．
（·四川卷）设等差数列{an}的公差为d ，点(an ，bn)在函数f(x)＝2x 的图像上(n ∈N*)． (1)证明：数列{bn}为等比数列；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x 轴上的截距为2－1
ln 2，求数列{anb2n }的前n 项和Sn.
（·天津卷）已知函数f(x)＝x2－23ax3(a ＞0)，x ∈R. (1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a 的取值范围．
【押题专练】
1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝() A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2
2．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x －a1)(x －a2)…(x －a8)，则f′(0)＝()． A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 3．已知f(x)＝xln x ，若f′(x0)＝2，则x0＝()． A ．e2 B ．e C.ln 2
2 D ．ln 2
4．设函数f(x)是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线的斜率为() A ．－15 B ．0 C.1
5 D ．5
5．设f0(x)＝sin x ，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn ＋1(x)＝f′n(x)，n ∈N ，则f2 013(x)等于()． A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x
6．已知函数f(x )的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x ，则f′(1)＝()． A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e
7．已知函数f(x)＝f′????π2sin x ＋cos x ，则f ???
?π4＝________.
8.函数
)()(3
R x ax x x f ∈+=在1=x 处有极值，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是___ __.
9．若过原点作曲线y ＝ex 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 10．已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x －8，则曲线y ＝f(x)在x ＝1处的导数f′(1)＝________.
11．已知f1(x)＝sin x ＋cos x ，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn －1′(x)(n ∈N*，n≥2)，则f1????π2＋f2????π2＋…＋f2 012???
?π2＝________.
12．求下列函数的导数． (1)y ＝x2sin x ；(2)y ＝ex ＋1ex －1；
(3)y ＝log2(2x2＋3x ＋1)． 13．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)n ，(n ∈N*)； (2)y ＝ln(x ＋1＋x2)； (3)y ＝2xsin(2x ＋5)．
14．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx ＋a ，g(x)＝x2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x115．设函数f(x)＝ax －b
x ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．高考模拟复习试卷试题模拟卷
