高考数学模拟测试题(五)

高考数学模拟测试题（五）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷（第1题至10题），第Ⅱ卷（第11题至21题）．共150分．考试用时120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共50分）

注意事项：

答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内。选择题答案按答卷纸上要求正确填涂，非选择题答案写在答卷纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上。考试结束，将答案纸交回。

参考公式 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

是 ()(1)

k k n k

n n P k C p p -=- 一组数据12,,

,n x x x 的方差2222121

[()()()]n S x x x x x x n

=-+-+

+-

其中x 为这组数据的平均值

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1． 设全集I R =，集合{}123456P =，，，，，，{}|25Q x x x R =<≤∈，，则I P

Q e为

A ．{}345，，

B ．{}234，，

C ．{}156，，

D ．{}126，，

2． 等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 中最大的为

A ．4S

B ．5S

C ．6S

D ．7S

3． 设n

b a )(-的展开式中，二项式系数的和为256，则此二项展开式中系数最小的项是 A ．第5项 B ．第4、5两项 C ．第5、6两项 D ．第4、6两项 4． 已知正三棱锥S ABC -各条棱长都相等，M 为SC 中点， 则异面直线SA 与BM 所成角的余弦值为

A

．3 B

．3

C

．

6

D ．12

5． 点(3)P a ，在直线230x y -+=的上方的一个必要不充分条件为

A ．3a <

B ．3a >

C ．9a <

D ．9a >

A

B

S

M

C

6． 已知函数()2sin()5

f x x π

ω=+

的图象与直线1y =-的交点中距离最近的两点间的距

离为

6π

，则函数()f x 的最小正周期等于 A ．4π B ．3π C ．2

π

D ．π

7． 蜘蛛Jam 给他的8只脚穿上袜子和鞋子，每只脚要先穿袜子才能穿鞋，那么不同的穿法总数为

A ．28!?

B ．8

28!? C ．2(8!) D ．816!2

8． 将两邻边长之比为3:4的长方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角，若AC 中点

为O ，则BO 与平面ACD 所成角的正弦值为

A ．2425

B ．725

C ．45

D ．35

9． 如图，椭圆中心在坐标原点，离心率为

1

2

，A 、B 、C 为顶点，F 为椭圆的左焦点，直线AB 与FC 交于点D ，则BDC ∠的正切值是 A

．- B

．3 C

． D

．3

10．已知定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递

增．如果421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值 A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．

11．一组数据中的每一个数据都减去50，得到一组新数据．已知这组新数据的方差为5.1，

则原来数据的方差为 ▲ ．

12．若D 点在ABC ?的BC 边上，且3CD DB r AB sAC ==+，则r s +的值为 ▲ ． 13．已知正实数a 、b 满足2ab =，则使得

21

a b

+取得最小值的实数对()a b ，为 ▲ ． 14．已知直线1l 为曲线2

2y x x =+-在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，

且21l l ⊥，则直线2l 的方程为 ▲ ．

15．一个袋子里有5个不同的球，3个红色2

个白色，不放回的从袋子里取球，每次只取一

个，当某种同色球全部被取出时就停止取球，则最后一次取出的球为白球的概率为 ▲ ．

16．关于曲线C ：241x y +=的下列说法：①关于点(00)，

对称；②关于直线y x =对称；③是封闭图形，面积小于π；④是封闭图形，面积大于π；⑤不是封闭图形，无面积

可言．其中正确的序号是 ▲ ．（写出所有你认为正确的结论的序号）

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知向量a (22)=，

，向量b 与向量a 的夹角为4

3π

，且a ·b 2=-． （Ⅰ）求向量b ；

（Ⅱ）若t (1

0)=，，且b ⊥t ，c (cos sin )A A =，，其中A 是锐角△ABC 的最大角，求|b +c |的取值范围．

18．（本小题满分14分）

如图，P ABCD -是正四棱锥,1111ABCD A B C D -是正方体，

其中2,AB PA == （Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；

（Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小； （Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离． 19．（本小题满分14分）

政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价．用n a 表示某企业第n 年投入的治理污染的环保费用，用n b 表示该企业第n 年的产值．设1a a =(万元)，且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a (万元)；又设1b b =(万元)，且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%，用100n n

n a b P ab

=

表示企业第n 年“对社会的有效贡献率”．

（I ）求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；

（II ）试问：从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%？

（参考数据：5

1.1 1.61=，6

1.1 1.77=，7

1.1 1.95=）

20．（本小题满分14分）

如图，1A 、2A 为圆2

2

2x y +=与x 轴的两个交点，12PP

为

P

A

1A

1B

B

D

1D

C

1C

垂直于x 轴的弦，且11A P 与22A P 的交点为

M ． （I ）求证：直线11A P 与直线22A P 的斜率的乘积为定值； （II ）求动点M 的轨迹方程；

（Ⅲ）记动点M 的轨迹为曲线E ，过点(04)A ，

的直线l 与曲线E 交于y 轴右边不同两点B 、C ，若在y 轴上存在点P ，使得BPC ∠为钝角，求直线l 的斜率k 的取值范围．

21．（本小题满分16分）

定义在]1,0[上的函数)(x f ，满足()f x ≥0，且1

(

1)2

f =，对定义域中任意两实数1x 、2x ，当12x x +≤1时，恒有12()f x x +≥12()()f x f x +．

（Ⅰ）求证：

(i ) 对定义域中任意两实数1x 、2x ，当12x x <时,总有1()f x ≤2()f x ； (ii ) 对定义域中的一切实数x ，总有()f x ≤x ；

（Ⅱ）对定义域中的一切实数x ，()f x ≤0.9x 是否都成立？写出结论并说明理由．

一、选择题：每小题5分，满分50分．

1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A 9．C 10．A 二、填空题：每小题5分，满分30分．

11．5.1 12．0 13．（2，1） 14．39220x y ++= 15．3

5

16．①④ 三、解答题：

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）a ·b =|a ||b |3cos

24

π

=-，又|a |=|b |=1， 设b ()x y =，，则221222

x y x y ?+=?+=-? 解得10x y =-??=?或0

1x y =??=-?，

∴b (1

0)=-，或b (01)=-，；……………………………………………………… 4分 （Ⅱ）∵b ⊥t ，∴b (01)=-，

，…………………………………………………… 6分 ∴b +c (cos sin 1)A A =-，

，

∴|b +c |222cos (sin 1)22sin A A A =+-=-，…………………………… 8分

又∵π3≤A<π

2，

∴

3

2

≤sinA<1， ………………………………………… 9分

∴0<|b +c |2≤2-3，∴|b +c |取值范围是（0，

6-2

2

]． ………… 12分 18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，

则PO ⊥面ABCD ，又∵AC BD ⊥，∴PA BD ⊥，

∵11//BD B D ，∴11PA B D ⊥.………………………………4分

（Ⅱ）∵AO BD ⊥， AO PO ⊥， ∴AO ⊥面PBD ,

过点O 作OM PD ⊥于点M ,连结AM ,

则AM PD ⊥,

∴AMO ∠就是二面角A PD O --的平面角,

又∵2AB =，PA =∴AO =,1PO =，

PO OA OM PA ?=

==

, ∴tan AO AMO OM ∠===即二面角的大小为

3

π

.………………………………………………………8分 （Ⅲ）∵AO ⊥面1B PD ,∴AO 即为A 到面1B PD 的距离， 设1B 到平面PAD 的距离为h ，∵11A B PD B APD V V --=， ∴1

PDB PAD AO S

h S

?=?，

又1

22

PAD

S

=?1

1323

PDB S =?= ∴1

PDB PAD

AO S h S

?=

=

=14分 19．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)因为1a a =，1b b =，

根据题意：2123a a a a =+=，21(110%) 1.1b b b =+=

所以11

11%100a b P ab

=

=………………………………………………………… 2分

A 1

C 1

1

1

D

B

2223 1.1 3.3%100100a b a b

P ab ab

?=

==……………………………………………… 4分

该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%．… 5分 （Ⅱ）因为12(1)(21)n a a a n n a =+-=- *()n N ∈……………………………6分

111(110%) 1.1n n n b b b --=?+= *()n N ∈ ……………………………… 7分

所以11(21) 1.1(21) 1.1%100n n n n a b

P n ab

---?=

=-?………………………… 8分 下证：1

()(21) 1.1%n n P f n n -==-?为增函数．…………………………11分

证法1：1212

1.1(1) 1.112121

n n P n P n n ++==?=+?>-- 又0n P >

∴1n n P P +>，即1()(21) 1.1%n n P f n n -==-?为增函数． 证法2：11(0.2 2.1) 1.1%0n n n P P n -+-=

=+?> ∴1n n P P +>

即1()(21

) 1.1%n n P f n n -==-?为增函数． 再验证：6

713 1.1%23.01%20%P =?≈>，

5

611 1.1%17.71%20%P =?≈<………………………………………… 13分

所以从第7年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%．……… 14分

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设100200(,),(,)P x y P

x y -

，由题意12(A A .

则1122

2

02

02

A P A P y k k x -?==-，又点1P 在圆上，所以22002x y +=. 所以11221A P A P k k

?= ………………………………………………3分 （Ⅱ）直线11A P

：

0y y =，直线22A P

：

0y y =-. 两式相乘，化简得：222(x y x -=≠………………………………7分

（没有范围扣1分）

（Ⅲ）设1122(0,),(,),(,)P t B x y C x y 。由题意，直线:4l y kx =+.

2222

4(1)81802

y kx k x kx x y =+??---=?-=?………………………………………8分 因为直线和E 交于y 轴右边不同两点，所以

222

12212210(8)4(1)(18)08(3,(22,1)0

118

01k k k k k x x k x x k ?+≠?=--?-?->??

?∈----?+=>-?

?-=

>?-?

.……10分 因为BPC ∠为钝角，所以0PB PC ?<. 又()2121212PB PC x x y y t t y y ?=++-+， 且1212122

8

(4)(4)()81y y kx kx k x x k +=+++=++=

-， 2

2

121212122162(4)(4)4()161k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=-，

所以22222

181628

0111k PB PC t t k k k

--?=++-<---。又2

10k -<

， 所以222(1)8220k t t k -

--->.因为存在点P ，所以此不等式有解.

即22648(1)(1)0k k =+-+>，解得，(k ∈.……………………13分 综上，(1)k ∈-.…………………………………………………………… 14分

21．（本小题满分16分）

解：（Ⅰ）证明：（i ）任取1x ，2x []0,1∈且12x x <，

不妨设21x x t =+，则[]0,1t ∈，()0f t ≥，

∴()()()()211f x f x t f x f t =+≥+，即()()()210f x f x f t -≥≥，

∴()()21f x f x ≥.……………………………………………………6分 （ii ）当1,12x ??

∈????

时，由（i ）得()()1

12

f x f x ≤=

≤， ∴()f x x ≤成立.……………………………………………………8分

当11,42

x ??∈????

时，由()()()f x x f x f x +≥+，得()()22f x f x ≥，

又∵12,12x ??∈????

，∴()22f x x ≤，故()f x x ≤成立；

同理可证，当1

11,22n n x +??

∈?

???

时，（n N ∈）()f x x ≤成立.……10分 而任意[]00,1x ∈，总存在0N N ∈，使00011

1,2

2N N x +??∈?

???, ∴()00f x x ≤，∴对任意[]0,1x ∈，总有()f x x ≤.……………12分

（Ⅱ）考虑

不

符合题设条件的函数()11,,1;2

210.49,;210,0,.2x f x x x ???

∈ ?????

?

==??

???∈??????

则当1

2

x =

时，不满足()0.9f x x ≤， ∴对任意[]0,1x ∈， ()0.9f x x ≤不恒成立. ………………………… 16分

（有结论，没有理由得2分）