数学模型作业

数学模型在遥感图像处理中的应用

1 绪论

数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学.它是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构.具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式.数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构.

遥感是以航空摄影技术为基础，在20世纪60年代初发展起来的一门新兴技术.它是利用遥感器从空中来探测地面物体性质的，根据不同物体对波谱产生不同响应的原理，识别地面上各类地物，具有遥远感知事物的意思.从广义上说是泛指从远处探测、感知物体或事物的技术.即不直接接触物体本身，从远处通过仪器（传感器）探测和接收来自目标物体的信息（如电场、磁场、电磁波、地震波等信息），经过信息的传输及其处理分析，识别物体的属性及其分布等特征的技术.也就是利用地面上空的飞机、飞船、卫星等飞行物上的遥感器收集地面数据资料，并从中获取信息，经记录、传送、分析和判读来识别地物.当前遥感形成了一个从地面到空中，乃至空间，从信息数据收集、处理到判读分析和应用，对全球进行探测和监测的多层次、多视角、多领域的观测体系，成为获取地球资源与环境信息的重要手段.遥感信息应用是遥感的最终目的.在遥感信息应用中，最重要的是对遥感图像进行数据处理.遥感影像数字图像处理的内容主要有：

1、图像恢复：即校正在成像、记录、传输或回放过程中引入的数据错误、噪声与畸变.包括辐射校正、几何校正等；

2、数据压缩：以改进传输、存储和处理数据效率；

3、影像增强：突出数据的某些特征，以提高影像目视质量.包括彩色增强、反差增强、边缘增强、密度分割、比值运算、去模糊等；

4、信息提取：从经过增强处理的影像中提取有用的遥感信息.包括采用各种统计分析、集群分析、频谱分析等自动识别与分类.通常利用专用数字图像处理系统来实现，且依据目的不同采用不同算法和技术.

2 遥感图像处理中相关的数学模型

在遥感图像处理中，几乎在每个部分都有关于数学模型的应用.其中在图像恢复、影像增强以及信息提取中的应用最为广泛.

2.1 图像恢复中的数学模型

由于遥感图像在接收过程中受到传感器响应特性、太阳高度、地形倾斜以及大气吸收与散射的影响，这就需要对在应用遥感影像之前对影像进行预处理.预处理过程主要是对图像进行辐射校正.根据影响因子的不同，校正过程分为系统辐射校正与大气辐射校正，用到了不同的数学模型.

2.1.1系统辐射校正中的数学模型

传感器响应特性与太阳辐射两方面引起系统辐射畸变.因此，系统辐射校正从两面进行校正.

（1）传感器响应特性引起的畸变校正模型

由于光电变换系统的灵敏度特性通常有很高的重复性，所以可以定期地在地面测量器特性，根据测量值可对其进行辐射畸变校正.如对Landsat 卫星的MSS 图像和TM 图像可以按公式（2-1）的数学模型对传感器的输出（R ）进行校正.

min min

max max R R R R D V --= （2-1） 式中 V —已校正过的亮度值；

R —传感器输出的辐射亮度值；

max R 和min R —探测器能够输出的最大和最小辐射亮度

max D —最大辐射分辨率.

探测器增益变化引起的辐射误差通常采用楔校准处理方法加以消除，现以陆地卫星可见光波段为例，校准模型为：

()()

?[]?c c s n s n K V V a b =

- （2-2） 式中 c V —校准后的输出亮度值；

r V —未校准的输入亮度值； ()

?s n b —滤波增益，取决于传感器响应因素； )(?n s a

—滤波偏移值，取决于传感器系统大气干扰； K —太阳角校正系数，在此作为常数.

（2）太阳辐射引起的畸变校正模型

太阳高度角引起的畸变校正是将太阳光线清晰恩照射时获取的图像校正为太阳光线垂直照射时获取的图像.太阳高度角θ可根据成像时间、季节和地理位置来确定，即：

sin sin sin cos cos cos t θ?δ?δ=± （2-3）

式中 δ—太阳赤纬（成像时太阳直射点的地理纬度）；

t —时角（地区经度与成像时太阳直射点地区经度的经差）.

2.1.2 大气辐射校正中的数学模型

大气辐射校正主要是消去程辐射，在消去程辐射过程中，主要采用图像分析模型与回归分析模型.由于程辐射主要发生在短波波长，把近红外波段作为无散射影响的标准图像，通过对不同波段图像的对比分析来计算大气影响.设红外波段为a ，现需求其他波段相应的亮度最小值，这些波段设为b.分别以a,b 波段的像元亮度值为坐标，做二维光谱空间，两个波段中对应像元在坐标系内用一个点表示.结合图像分析模型，得到的回归模型如下：

b a L kL

c =+ （2-4）

式中 c —直线在b L 轴上的截距；

k —斜率，且

2

()()()a a b b

a a

L L L L k L L --=-∑∑ （2-5） 其中，a L ，b L 分别为a ，b 波段亮度的均值.

b a

c L kL =- （2-6）

式中 c —波段a 中的亮度为零处在波段b 中所具有的亮度，可认为c 就是波段b 的程辐射度.

校正的方法就是将波段b 中的所有像元值都减去这个截距值c ，来改善图像，去掉程辐射.

2.2 遥感影像增强中的数学模型

对遥感影像预处理之后，由于图像中含有噪声影响了用户的分析识别，这就需要图像增强.图像增强的主要目的是改变图像的灰度等级，提高图像对比度；消除边缘和噪声，平滑图像，突出边缘或线状地物，锐化图像；合成彩色图像；压缩图像数据量，突出主要信息等.图像空间域增强分为点增强与邻域增强.在对不同范围的增强中用到了许多不同的数学模型，比如线性变换模型与非线性变换模型、卷积函数模型、不同算子函数模型等.

2.2.1 图像点增强中的数学模型

对图像中的点增强根据运算中的变换函数的不同分为线性变换模型与非线性变换模型.线性变换模型为简单的线性关系式：

y ax b =+ （2-7）

式中 x —原始图像的灰度图像值变量；

y —扩展后的灰度值变量；

a —斜率（扩展系数）；

b —常数.

经过线性变换模型后起到对图像灰度值拉伸的效果.

非线性变换的函数很多，如对数变换、指数变换、平方根变换、三角函数变换等，常用的有指数变换和对数变换.

指数变换函数的意义是在灰度值较高的部分扩大灰度间隔，属于拉伸，而在灰度值较低的部分缩小灰度值间隔，属于压缩，其数学模型为：

ax y be c =+ （2-8）

式中 x —变换前图像每个像元的灰度值；

y —变换后图像每个像元的灰度值；

,,a b c —可调参数，可以改变指数函数曲线的形态，从而实现不同的拉伸比例.

对数变换函数与指数变换相反，它的意义是在灰度值较低的部分拉伸，而在灰度值较高的部分压缩，其数学模型为：

lg(1)y b ax c =++ （2-9）

式中符号意义同前.

2.2.2 图像邻域增强中的数学模型

在对遥感图像利用之前需要空间滤波.它是以重点突出图像上的某些特征为目的，如突出边缘或线性地物等，也可以有目的地去除某些特征，如抑制图像上获取和传输过程中产生的各种噪声.在进行增强运算时，多采用空间卷积技术（又称掩膜技术），即在原图像上移动“活动窗口”，逐块进行局部运算，以实现平滑和锐化的目的.卷积运算是在空间域上对图像进行邻域检测的运算.卷积运算的模板数学模型为：

11(,)(,)(,)M N

m n g i j f m n m n φ===∑∑ （2-10） 在利用遥感影像信息提取时，需要先进行锐化处理.常见的锐化算子有Roberts 梯度

算子、Sobel 梯度算子和Laplace 算子.这些算子都用到了梯度法，使用的是微分数学模型.图像函数(,)f x y 在像元点(,)x y 处的梯度定义为一个矢量，即：

''(,)(,)(,)(,)x y f x y f x f x y gradf x y f x y f y ???

????????===??????????????

（2-11） 梯度的模的数学模型为：

(,)gradf x y = （2-12） 设1(,)f x y t x

?=?，2(,)f x y t y ?=?，则： (,)(,)(1,)(,)(,1)gradf x y f i j f i j f i j f i j ?-++-+ （2-13）

这种梯度模型又称为水平垂直差分模型，另外有一种罗伯特梯度模型，它是一种交叉差分计算模型，它的梯度模型表达式为：

(,)(,)(1,1)(1,)(,1)gradf x y f i j f i j f i j f i j ?-++++-+ （2-14）

与前述不同，拉普拉斯算子属于二阶导数算子，即：

222

22(,)(,)(,)f x y f x y f x y x y ???=+?? （2-15） 对于离散的数字图像，二阶导数可以用二阶差分近似计算，推导出Laplace 算子的数学模型表达式：

2(,)(1,)(1,)(,1)(,1)4(,)f x y f i j f i j f i j f i j f i j ??++-+++-- （2-16） 在遥感图像处理中，利用以上数学模型可以对图像中的每一个像元计算梯度值，最终产生一个梯度图像，达到突出边缘——锐化的目的.

2.3 遥感信息提取中的数学模型

在对遥感图像进行以上处理之后，可以提取遥感影像中的信息进行实际应用.在对遥感信息提取中，都需要对遥感影像中的地物进行分类.鉴于常规的目视判读技术难以发挥卫星影像多波段和多时相的优势和克服其较低的空间分辨率的缺点，也不能满足实时处理大量信息的要求，使得应用数学模型进行数字遥感图像的计算机分类识别，具有越来越重要的意义，成为遥感图像处理和分析领域中最活跃的分支.

20世纪70年代的计算机分类识别的数学模型，根据不同的地物类别具有不同的光谱反射特征和遥感数据固有的随机性特点，选择不同的时相和波段组合，应用统计模式识别方法，对图像像元进行逐点分类.这些数学模型中常用的有最大似然分类模型、最小距离分类模型、平行六面体模型等.这一类数学模型简单易行，但是识别精度不稳定，这就要求有进一步的改善.

20世纪80年代的计算机分类识别模型，就是在更全面准确地模拟判读员这些经验的基础上诞生的.这些数学模型大致分为两类：

(l)第一类数学模型在图像识别中除考虑各地类像元光谱特征外，着重于像元空间特征的

描述.空间特征可以分为两种类型:纹理特征和上下文特征.纹理特征指的是图像色调的变化，它反映了相邻像元之间光谱值变化的统计关系；上下文特征指的是一个(或一组)像元与图像内其它像元的空间关系，这种空间关系通过像元之间的距离、方向、连通性和内含性得到反映.随着遥感卫星空间分辨率大幅度提高，像元的空间信息越来越丰富，建立纹理和上下文信息提取和分析的数学模型对于改善分类精度具有越来越重要的意义.

(2)第二类数学模型是在统计识别模型的基础上，引入辅助数据参与分类识别.辅助数据，主要指的是地形数据及原有的土壤、植被、森林等专题图数据.各国遥感工作者发展了多种应用辅助数据进行遥感图像计算机分类识别的数学模型，主要包括：应用数字化地形模型(DTM)消除地形对像元辐射亮度值的影响(如阴影)；应用DTM 数据作为逻辑通道和各波段光谱数据一起参与分类识别；应用DTM 数据分层估计各地类出现的先验概率或利用DTM 数据对分类结果做后处理.

2.3.1农作物遥感估产数学模型

近年来，应用气象卫星数据进行农作物估产的研究正在深化.徐希孺等研究了冬小麦产量三要素(穗数、粒数、千粒童)与小麦光谱参数之间的关系，建立了垂直植被指数()PVI 与上述三要素关系的数学模型：

1

b PVI dt S Ae ??= （2-17） 式中 S —穗数；

1

PVI dt ?g —返青至抽穗期冬小麦()PVI 的积分值； A ，b —实验常数.

2123w PVI dt L a a V a T S ?? ?=++ ???

?g （2-18） 式中 L —粒数；

2

PVI dt ?g —拔节至开花期冬小麦()PVI 的积分值； w V —土壤水分含量；

T —有效分裂数；

123,,a a a —矩阵运算确定的权重系数.

312w PVI dt Z b b V S ?? ?=+ ???

?g （2-19） 式中 Z —千粒重；

3

PVI dt ?g —开花至蜡熟期()PVI 的积分值；

12,b b —矩阵运算确定的权重系数.

李付琴、田国良的研究表明，在一定条件下，高植被指数、高叶面积指数并不一定代表高产，因而他们在建立模型时，将()PVI 与气象因子一并考虑，用逐段订正的阶乘模型建立()PVI 与气象因子综合模型，表达式为：

1t t i Y Y X -=∏ （2-20）

式中 t Y —作物t 发育阶段的产量；

1t Y -—1t -发育阶段的预测产量；

i X —t 发育阶段的预测因子.

2.3.2森林蓄积量遥感估计数学模型

森林蓄积量与农作物、草地产量不同之处在于它是多年生物量的积累，因此单纯通过反映当年生物量的指标——植被指数来估测蓄积量，不可能获得满意的结果.

中国林业科学研究院设计了一种以应用遥感数据对林分特征进行识别为基础的非线性数学模型.它首先根据监督样本按林分类型、年龄组和疏密度特征对遥感数据进行分类;同时测定监督样本相应地面样地的森林蓄积量数值，建立卫星图像每个象元的上述特征值与森林蓄积量之间的相关.这个相关的特点是它考虑各特征值变量之间的交互作用.据此每个象元的蓄积量估计值为：

1()(()())N

j jh j j h Y b j b j h δδδ=<=?+???∑∑ （2-21）

式中 ()j δ?—第j 个变量；

()()j h δδ???—第j 个变量与第h 个变量的交互作用，是rj rh ?维向量，其中

?表示向量的Kroneker 乘积；

j b 、jh b —系数；

这个数学模型在吉林临江林业局和陕西乔山林业局共37.5万公顷森林调查中进行了试验，森林分类识别的精度达88.6﹪，森林蓄积量估测精度达91.9﹪，森林蓄积量与相应变量之间的相关系数r=0.94.在这个模型的支持下，通过计算机系统绘制了新的林业专题图件—森林蓄积量分布图.

2.3.3 土地资源分析评价的遥感数学模型

遥感影像有现势性特点，可以快速实现土地资源评价所需资源现状信息的获取；同时，在地理信息系统提供的地形数据(如坡度、坡向、高程)和各种专题图数据支持下，可以快速实现叠加、综合查询和综合分析.这样，就为数学模型在土地资源评价中的应用

奠定了基础.

我国开展了土地资源评价遥感数学模型的研究，主要涉及土地资源评价、土地承载力、土地规划、造林适宜性以及区域经济、社会和生态环境协调发展规划等内容；应用了多元回归分析、多目标规划、专家系统分析、转移矩阵以及系统动力学等建立模型的方法.

边馥菩、向发灿等建立的土地资源分析评价模型，根据研究目的和区域特点，选择评价因素，构成因素集;通过多元线性回归分析建立土地质量判别函数或通过层次分析法确定“判断矩阵”等建立权重集;最后根据最大隶属度原则确定待评单元的土地等级.这个模型在湖北武昌县和陕西安塞县进行了应用试验.在武昌县，进行了土地适宜性和柑桔生长适宜性评价，将影响柑桔生长的主要因子温度、水文、光照、土壤、坡度、坡向等组成因素集，通过地理信息系统获取这些数据，划分为最适宜、次适宣等六等，并将评价因素与应用遥感数据获取的土地利用现状数据复合，综合考虑经济社会效益，获得武昌县今后发展柑桔的面积及其空间分布.

刘树人、李仁东等应用遥感数据统计各类土地利用面积，然后用多目标规划方法，拟出最优土地利用方案.基本思路是:在构造模型中引人全部决策目标，由于实际能完成的目标与规划的目标存在着一定程度的偏差(偏差变量)，目标规划要在约定的约束集合内，求使偏差变量值达到最小的决策变量值.决策中的多目标往往互相冲突，在构模中必须对它们进行评价，只有在较高优先级的目标被满足或不能改进以后，才考虑较低级优先目标的满足.这个方法在山西大宁进行了试验，选取了16个决策变皿，建立了共有4个优先级、24个约束的目标规划模型.

李健为了评价黄土丘陵沟壑区造林适宜度，选择地形、土壤、植被、降水4个要素，其中植被取自于陆地卫星TM数据，地形等取自于地理信息系统数据库数据，建立了该地区造林适宜度因子分析模型.这个模型可对复杂的原始变量进行简化，突出多变见中主导因素影响，以此进行不同单元造林适宜度分类.

张志勇等把以系统动力学为主体的区域综合发展预测模型与地理信息系统的空间分析功能结合起来，提出了进行区域经济、社会和生态环境协调发展规划的新途径.作者以河北平泉为实验区，从森林覆被率与水土流失的关系人手，建立了以系统动力学为主体的区域生态环境与社会经济协调发展的动态仿真模型.系统仿真策略是保证粮食自给适当提高农业投资，重点进行农田基本建设，退耕还林，荒地造林及草场建设，尤在发展一般防护林同时，重点发展经济林、薪炭林.模型以1987年为起点，仿真到2000年，获得了这一区间内有关土地利用及森林变化的全部数据.为了将上述决策数据规划到地

理空间，建立了不同土地适宜性类型在自然地理环境方面的约束条件，以地理信息系统中数字化地形模型的格网为计算单元，计算每个约束条件在土地适宜性表中的适宜区间内隶属度，从而获得所有约束条件的加权平均值，作为规划时间顺序的依据;对于森林生长预测数据的规划，则首先要建立林分生长模型，从而将其生长量规划到对应空间位置.通过上述规划，得出不同时间(如1987年、1995，年和2000年)的土地利用图、森林分布图、植被覆盖分布图等.这些图件可由终端显示，也可通过绘图机绘图.最后，根据未来各时期植被锁盖情况，应用水土流失模型预测土壤侵蚀状况.

3 遥感图像处理中的数学模型的发展展望

随着遥感技术的发展，获取地球环境信息的手段越来越多，信息越来越丰富.因此，为了充分利用这些信息，建立全面收集、整理、检索以及科学管理这些信息的空间数据库和管理系统，加快进行遥感信息机理研究，研制定量分析模型及实用的地学模型，进行多种信息源的信息复合及环境信息的综合分析等，构成了当前遥感发展的前沿研究课题.

随着遥感和地理信息系统应用的不断深人和普及，面向不同专业的数学模型将进一步分化，以物理模型为理论基础的专业化模型将是近期地理分析模型的主流.例如，遥感图象识别中有关纹理的数学模型正在混和象元分解的基础上展开；估产模型的建立，则已深人到光合作用的机理研究;各种遥感水文模型，也是建立在降水与下垫面交互作用机制研究的基础上.诚然，数学分析在建立模型和参数分析上仍然发挥着重大作用，但是单纯的数学分析模型的重要性正在相对减少.在过去乃至当前，遥感图像处理数学模型研究更多偏向于模型的建立、数理方程的求解，面对模型的可移植性、有效性等不够重视，模型的数据与代码分开.新一代遥感图像处理数学模型将把代码与数据结合考虑，共存于模型之中，让数据引导代码，代码处理数据.

总的来讲，今后，在遥感与地理信息系统支持下的数学模型将发生重大变化，并最终实现实用化.

参考文献

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[10] 戴昌达、姜小光、唐伶俐.遥感图像应用处理与分析,清华大学出版,2004.

东北大学

研究生考试试卷

考试科目：数学模型

课程编号：

阅卷人：

考试日期：2010.12

姓名：单冰莹数学模型二班

学号：1001831

注意事项

1．考前研究生将上述项目填写清楚

2．字迹要清楚，保持卷面清洁

3．交卷时请将本试卷和题签一起上交

东北大学研究生院