飞行管理数学建模优秀论文

飞行管理

摘要

本文主要研究了避免飞机撞击的飞行管理问题。在边长为160km 的正方形区域内，为了保证欲进入该区域的飞机避免碰撞，对刚进入该区域的飞机记录其数据，然后立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。若发生碰撞，则做出调整。本文对避免碰撞的飞行管理有一定的意义。

避免碰撞的飞行管理是一个在一定约束条件下的最优化问题，但是约束条件是非线性的，难以化为线性规划问题。由此本文将其转化为求极值，引用惩罚函数将该问题化为无约束极值问题求解。通过步长加速法求极值，得到一个局部最优解。

本文运用相对运动的观点建立飞机两两不相撞的约束条件，确定出相对速度和相对位置，求出相撞的三种可能。建立相对运动模型，确定每个可调的方向角，

使它在不违反判据cos 82r αβθ+??+≥ ??

?所规定的限制下实现子目标。

本文运用惩罚函数法将非线性规划问题转化为无约束极值问题求解。进而运用步长加速法求

极值，由于步长加速法求出的是局部最优解，为了尽量求出全局最优解，本文选用几组不同的初值代入，求出极小值，再从中选出最优者。

取刚进入的飞机左偏1度为初始值，得出一个解为第三架飞机左偏约2.68度，第六架飞机左偏约0.94度，总改变角为约3.629693度。即各机新方向角为243度，236度，223.18度，159度，230度，52.94度。

关键词 非线性规划 相对运动 步长加速法 飞行管理

一、问题重述

在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。以避免碰撞。现假定条件如下：

1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里。

2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度。

3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里。

4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上。

5）最多需考虑6架飞机。

6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)

试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。

二、问题分析

2.1问题背景的分析

在一个正方形区域内，每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据。当飞机到达区域的边缘时，计算机立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。若发生碰撞，则计算出如何调整各架飞机飞行的方向角以避免碰撞。流程如图一所示：

图一：飞行管理流程图

2.2 对问题一的分析

在一个某边长为160km的正方形区域内，要求飞机飞行方向角度调整的幅度不应超过30度，飞机飞行速度均为每小时800km，进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内的飞机的距离应在60km以上。在以上条件下，求最小的飞机飞行方向角调整的幅度。

避免碰撞的飞行管理是一个在一定约束条件下的最优化问题，初步分析题意后可知约束条件是非线性的，难以化为线性规划问题。由此我们或许可以将其转化为求极值，引用惩罚函数将该问题化为无约束极值问题求解。之后打算通过步长加速法求极值，可能会得到一个局部最优解。要得到一个全局最优解，估计需要选不同初值带入，进而从中选出最优者。

三、模型假设与约定

（1）假设飞机作水平飞行，高度约为10000m，不考虑飞行高度不同的情况。

km h为常数，不考虑速度不均匀的情况。（2）假设飞机匀速飞行，飞行速度800/

（3）不考虑飞机在该区域外的情况。

（4）假设该区域为边长160km的正方形区域，飞机的位置坐标不计误差。（5）不计飞机进入该区域到计算并判断出是否会发生碰撞的时间。

（6）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km。

四、符号说明

五、模型建立与求解

5.0 模型准备

在如下正方形区域内，有编号为1、2、3、4、5的五架飞机和一架刚进入的飞机，区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。

图二：飞机飞行区域图

5.1 模型的建立

5.1.1 目标函数的建立

根据题目要求，飞行管理的目标是达到总航向的改变最小，即：

6

1min()i i θ=?∑

5.1.2 飞机相撞的判断

根据相对运动原理i P 相对j P 的速度方向为

()()()cos cos ,sin sin i

j

i

j

v v θθθθ--

t 时刻i P 相对j P 的位置为

()()()

cos cos ,sin sin ij

i j ij i j a

vt b vt θθθθ+-+-

令vt l =，则有：

()()2

2

222

max

4sin sin cos

4sin ,02

2

2

2

i j i j

i j i j

i j

ij

ij

ij ij PP f l a b l a b l l l θθθθθθθθ-+++?

?

==++-++ ??

?

<<由上可知，i P 与j P 若相撞仅有三种可能：

1）()064f <，但这与初始条件不符，故无须考虑；

2） 2

2

max ()64,cos 642i j ij

ij f l r θθθ+??

- ???

<<

且max 30sin 2sin 22i j i j p ij ij l r l θθθθθ++?

?

=--

?

??

通过上述问题分析，可以看出这个模型的总目标就是确定每个可调的方向角，

使它在不违反判据cos 82r αβθ+?

?+≥ ??

?所规定的限制下，实现前述子目标，因此

从本质上这是一个非线性规划问题。

5.1.3非线性规划法解决问题

根据前面的分析，我们已把问题转化为求如下极值

()()min min ,68,0i i i

ij t f P t l v

θθπθ?=?????

?<

∑ΔΔ<>/ 用惩罚函数法可以将其作为无约束极值问题求解，也即求

()()()min h f Mc θθθ=+

M 是一个很大的常数因子，()c θ在θ满足约束条件时为0，否则为正值，这样，()h θ的极值通常只能在满足约束条件处取得，并且是()f θ的极值。 取()()()c cb cr θθθ=+

(

)()cos 8cos 2,,02sin()

2

0,6

,6i j i j ij ij ij

ij i j i j

i i i i r r cr cb θθθθθθθθθθπθθπθθ+?

??+-??

?

--? ???=??

?-???

??=?

???

<<Δ<ΔΔ>

本文用步长加速法求极值。由于步长加速法求出的是局部最优解，为尽量求出

全局最优解，我们选用几组不同的初值代入，求出极小值，再从中选出最优者。 取刚进入的飞机左偏1度为初始值，得出一个解为第三架飞机左偏约2.68度，第六架飞机左偏约0.94度，总改变角为约3.629693度，即各机新方向角为243，236，223.18，159，230，52.94。

六、模型的评价

6.1 模型的优点

(1)将非线性规划转化为线性规划。

(2) 采用相对速度体现了碰撞的本质，是比较合理的。 6.2 模型的不足

(1)我们的模型得到的不一定是最优解。 (2)飞机转弯是曲线，需要一段时间。

(3)非线性规划计算时间比线性规划略长。 6.3 模型的改进

提高计算的精度，将飞机刚进入该区域到计算出其是否相撞的时间考虑在内，减少模型的误差。

参考文献：

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附录