带电粒子在匀强磁场中的运动专题

一、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法

1．画轨迹：即画出轨迹，确定圆心，用几何方法求半径。

2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。

3．用规律：即用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。

例题1、如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。

现将带电粒子的速度变为v /3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒

子在磁场中的运动时间变为( ) A.12Δt B ．2Δt C.13

Δt D ．3Δt 例题2、如图，虚线OL 与y 轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子从左侧平行于x 轴射入磁场，入射点为M 。粒子在磁场中运动的轨道半径为R ，粒子离开磁场后的运动轨迹与x 轴交于P 点(图中未画出)，且OP ＝R 。不计重力。求M 点到O 点的距离和粒子在磁场中运动的时间。

二、带电粒子在磁场中运动的多解问题

1．带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图甲所示，带电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a ，如带负电，其轨迹为b 。

2．磁场方向不确定形成多解

有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应

强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成

的多解。如图乙所示，带正电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，

如B 垂直纸面向里，其轨迹为a ，如B 垂直纸面向外，其轨迹为b 。

3．临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图甲所示，于是形成了多解。

4．运动的周期性形成多解

带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，

从而形成多解，如图乙所示。

例题3、如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区

域内，O 点是cd 边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，

从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从

c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与O

d 成30°的方

向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。那么下列说法中

正确的是( )

A ．若该带电粒子从ab 边射出，它经历的时间可能为t 0

B ．若该带电粒子从bc 边射出，它经历的时间可能为5t 03

C ．若该带电粒子从cd 边射出，它经历的时间为5t 03

D ．若该带电粒子从ad 边射出，它经历的时间可能为

2t 03 例题4、如图甲所示，M 、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d ，两板中央各有一个小孔O 、O ′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t ＝0时垂直于M 板从小孔O 射入磁场。已知正离子质量为m 、带电荷量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。求：

(1)磁感应强度B 0的大小；

(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 0的可能值。

练习：

1、如图所示，半径为R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度

大小为B ，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q (q >0)、质量为m 的粒子沿平行于直

径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab 的距离为R

。已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)( )

A.qBR 2m

B.qBR m

C.3qBR 2m

D.2qBR m

2、两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a 、b ，以不同的速率对准圆心O 沿着AO 方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。若不计粒子的重力，则下列说法正

确的是( )

A ．a 粒子带正电，b 粒子带负电

B ．a 粒子在磁场中所受洛伦兹力较大

C ．b 粒子动能较大

D ．b 粒子在磁场中运动时间较长

3、如图所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场。已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T 6(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( ) A.T 3 B.T 2 C.2T 3 D.5T 6

4、如图所示，在第二象限和第四象限的正方形区域内分别存在着两匀强磁场，磁感应强度均为B ，方向相反，且都垂直于xOy 平面。一电子由P (－d ，d )点，沿x 轴正方向射入磁场区域Ⅰ(电子质量为m ，电量为e ，sin 53°＝0.8)。

(1)求电子能从第三象限射出的入射速度v 的范围；

(2)若电子从? ??

0，d 2位置射出，求电子在磁场Ⅰ中运动的时间t ； (3)求第(2)问中电子离开磁场Ⅱ时的位置坐标。

三、带电粒子在复合场中的运动

1．复合场与组合场

(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。

(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。

2．带电粒子在复合场、组合场中的常见运动

静止或匀速

直线运动

当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态匀速圆

周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周

运动

分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成

3、带电粒子在复合场中运动的应用实例

装置原理图规律

质谱仪粒子由静止被加速电场加速

mv2＝qU，粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝

mv2

r，则比荷

m＝

B2r2

回旋加速器交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动过程中每次经过D形盒缝隙都会被加速。由qvB＝

mv2

r得E km＝q2B2r2

速度选择器若qv0B＝Eq，即v0＝

B，粒子做匀速直线运动

磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，q

d＝qv0B，U＝Bdv0

电磁流量计U

D q＝qvB，所以v＝

DB，所以Q＝vS＝

霍尔效应当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差

内容

项目

垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)

情景图

受力F B＝qv0B大小不变，方向总指向圆

心，方向变化，F B为变力

F E＝qE，F E大小、方向不变，为恒

力

运动规律

匀速圆周运动

r＝

mv0

Bq，T＝

2πm

类平抛运动v x＝v0，

v y＝

m t，x＝v0t，

y＝

运动时间t＝θ

2πT＝

θm

Bq t＝

动能不变变化

xOy xOy 平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电荷量为＋q、质量为m的粒子，自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场。以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d，不计粒子重力。

(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。

(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；

(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q 点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。

例题2、如图所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且向上，最后离子打在G处，而G处距A点2d(AG⊥AC)。不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内。求：

(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r；

(2)离子从D处运动到G处所需时间；

(3)离子到达G处时的动能。

5、带电粒子在复合场中的运动

（1）是否考虑粒子重力

①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可

以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。

②在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。

③不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。

（2）带电粒子在复合场中运动的三种情况

①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。

②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。 ③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。

例题3、如图所示，两块水平放置、相距为d 的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m 、水平速度均为v 0、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U ，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M 点。 (1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量； (2)求磁感应强度B 的值；

(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置。为了使墨滴仍能到达下板M 点，应将磁感应强度调至B ′，则B ′的大小为多少？

例题4、如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC ，其延长线在D 点与半圆轨道DF 相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN 的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场(C 点处于MN 边界上)。一质量为0.4 kg 的带电小球沿轨道AC 下滑，至C 点时速度为v C ＝100

7 m/s ，接着沿直线CD 运动到D 处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F

点，在F 点速度为v F ＝4 m/s(不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，cos 37°＝0.8)。求： (1)小球带何种电荷？

(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功； (3)小球从F 点飞出时磁场同时消失，小球离开F 点后的运动轨迹与直线AC (或延长线)的交点为G 点(未标出)，求G 点到D 点的距离。

四、带电粒子在交变电磁场中的运动：解答本类问题的三个关键点

(1)熟悉带电粒子在电场和磁场中运动的特征。

(2)抓住电场和磁场交换时粒子受力情况的变化以及速度的关联。

(3)粒子在电场中都是做匀加速直线运动，在磁场中都是做匀速圆周运动时，需注意的是电场和磁场交换时间的限制以及两板间距离的限制。

例题1、两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场①，变化规律分别如图甲、乙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)。在t ＝0时由负极板释放一个初速度为零②的带负电的粒子(不计重力)。若电场强度E 0、磁感应强度B 0、粒

子的比荷q m 均已知，且t 0＝2πm qB 0③ 两板间距h ＝10π2mE 0qB 20

。 (1)求粒子在0～t 0时间内的位移大小与极板间距h 的比值；

(2)求粒子在极板间做圆周运动的最大半径(用h 表示)④；

(3)若板间电场强度E 随时间的变化仍如图甲所示，磁场的变化改为如图丙所示⑤，试画出粒子在板间运动的轨迹图(不必写计算过程)。

练习：

1、如图所示的平面直角坐标系xOy ，在第Ⅰ象限内有平行于y 轴的匀强电场，方向沿y 轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc 区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy 平面向里，正三角形边长为L ，且ab 边与y 轴平行。一质量为m 、电荷量为q 的粒子，从y 轴上的P (0，h )点，以大小为v 0的速度沿x 轴正方向射入电场，通过电场后从x 轴上的a (2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y 轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y 轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：

(1)电场强度E 的大小；

(2)粒子到达a 点时速度的大小和方向；

(3)abc 区域内磁场的磁感应强度B 的最小值。

审题

破题 ① 方波变化，有电无磁，有磁无电，粒子在电场中

做匀加速直线运动，在磁场中做匀速圆周运动

② 粒子由静止开始先在电场中匀加速运动 ③ 电磁场交替出现的时间恰为粒子做一次完整圆

周运动的时间

④ 粒子在各阶段沿垂直极板方向的位移之和小于

⑤ 粒子运动半周即改变绕向

2、一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O 。筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。圆筒下面有相距为d 的平行金属板M 、N ，其中M 板带正电荷，N 板带等量负电荷。质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子自M 板边缘的P 处由静止释放，经N 板的小孔S 以速度v 沿半径SO 方向射入磁场中。粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S 孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：

(1)M 、N 间电场强度E 的大小； (2)圆筒的半径R ；

(3)保持M 、N 间电场强度E 不变，仅将M 板向上平移23d ，粒子仍从M 板边缘P 处由静止释放，粒子自进入圆筒至从S 孔射出期间，与圆筒的

碰撞次数n 。

3、在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制，如图甲所示的xOy 平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E 和磁感应强度B 随时间t 作周期性变化的图象如图3乙、丙所示。x 轴正方向为E 的正方向，垂直纸面向里为B 的正方向，在坐标原点O 有一粒子P ，其质量和电荷量分别为m 和＋q 。不计重力，在t ＝τ

时刻释放P ，它恰能沿一定轨道做往复运动。 (1)求P 在磁场中运动时速度的大小v 0；

(2)求B 0应满足的关系； (3)在t 0?

????0

4、如图甲，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。

(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A(a,0)点，求v1的大小；

(2)已知一粒子的初速度大小为v(v>v1)，为使该粒子能经过A(a,0)点，其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的sin θ的值；

(3)如图5乙所示，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量v x与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值v m。

5、如图所示，与水平面成45°角的平面MN将空间分成Ⅰ 和Ⅱ 两个区域。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平向右射入Ⅰ 区。粒子在Ⅰ 区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在Ⅱ 区运动

时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。

求粒子首次从Ⅱ 区离开时到出发点P0的距离。粒子的重力可以忽略。

五、有界磁场中临界问题的处理方法

1、伸缩圆法

(1)适用条件：

①速度方向一定，大小不同。粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子

进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的

变化而变化。

精品 ②轨迹圆圆心共线。如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 0越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上。

（2）方法界定：

以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。

例题1、如图所示，宽度为d 的匀强有界磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线。现有一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°。要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？

2、旋转圆法

（1）适用条件：

①速度大小一定，方向不同。粒子源发射速度大小一定、方向不定的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半

径为R ＝mv 0

qB 。如图所示。

②轨迹圆圆心，共圆。带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P

为圆心、半径R ＝mv 0qB

的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。（2）方法界定：

将一半径为R ＝mv 0qB

的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”。

例题2、如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60 T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 玻璃l ＝16 cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3.0×106 m/s ，已知α粒子的比荷q m ＝5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。