静电场的求解方法

静电场的求解方法的讨论

摘要 我们求电场时,一般是运用叠加原理求电强度,这也是最基本的平面场的求

解方法。对于复杂的求解电场强度问题,它不适用。因此,我们必须掌握多种求电场问题的方法。本文主要介绍分离变量法和电像法来求解电场问题。电荷静止，相应的电场不随时间变化，在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体的分布情况下求解静电场。

关键词：静电场求解[1]， 分离变量法， 镜像法， 格林函数法

Abstract

Still, the corresponding electric charge not changes with time, and in

any given free charge distribution and surrounding space distribution of the medium and conductors under electrostatic field.

Key Words :Electrostatic field solving; Method of separation of variables; Mirror image method; Green's function method 引言

求解静电场问题的几种方法-----分离变量法，镜像法，格林函数法。我们计算在局部范围内的电荷分布所激发的电场在远处的展开式，引入电多极矩的概念。电多极矩在原子物理，原子核物理以及电磁辐射问题都有重要的应用。

1 静电场的唯一性定理

根据这个定理，对给定的电荷分布及边界条件，只存在一种可能的电场。这个定理在实际应用中的重要性在于：无论我们用什么方法，只要求出一个既满足方程又符合边界条件的电位)(r

φ，我们就确定它是正确的电位。

2 分离变量法[2]

在求满足边界条件下拉普拉斯方程的解时，一般采用分离变量法。下面给出三种坐标系中拉普拉斯方程的通解形式。 直角坐标系中φ的通解形式：

???

?

?

??

++++++++=∑))(

sin cos )(sin cos ())()((3221322,2121113102010x k k sh C x k k ch C x k B x k B x k A x k A x c c bx b ax a n m mn n m mn n

m n m n m m m m m φ)0,()0,0(≠==n m n m 式中321x x x 、、可与z y x 、、的任意排列相对应。

若φ只与21x x 、有关：

???

??++++=∑n

m m m m m m m m m x shk B x chk B x k A x k A bx b ax a ,21121112010)

)(sin cos ())((φ)0()0(≠=m m 柱坐标系中的通解形式： 若φ与z 无关：

)()sin cos (ln 1

00n n n n n n n r D r C n B n A r B A -∞

=++++=∑??φ

其中π?20≤≤，n 是正整数 若)2(000π???≠≤≤

)]sin()cos([)())(ln (0000ν?ν??φννν

ννννD C r B r A D C r B A +++++=∑-

其中0≠ν，是非整数。

球坐标系中的通解形式：

若φ具有轴对称性，即φ与?无关：

)(cos ][0

)1(θφl l l l l l p r B r A ∑∞

=+-+=

若讨论的区域πθ≤≤0，则l 必须取零或正整数。

)(cos θl p 为l 次勒让德多项式。

3 镜像法

镜像法是求解边值问题的一种特殊解法。其理论依据是唯一性定理和叠加原理，其基本思想是用假想的集中电荷（镜像电荷）来等效得代替分界面上的分布电荷对场的贡献，而无需求出方程的通解，只需求解像电荷和区域内给定电荷共同产生的电位。这里要求引入的像电荷一方面不改变原问题所满足的方程（应放在求解区域外），另一方面也满足所给的边界条件。下面给出三种特殊情况下像电荷的位置与大小。

平面镜像

无限大介质界面：若点电荷Q 置于平面上方h 处设上半空间、下半空间分别为1、2介 质。

上半空间：镜像电荷'Q 位于与Q 位置相对界面对称的位置上，大小 Q Q 2

12

1'εεεε+-=

-

下半空间：镜像电荷''Q 位于Q 位置上，大小Q Q 2

12

2''εεε+=

若原电荷不是点电荷，而是与分界面平行的线密度为λ的线电荷，则有相应的像电荷分 布。

若介质2是理想导体，则像电荷'Q 的位置不变，大小Q Q -='

球面镜像

一点电荷Q 置于半径为a 的接地导体球外，距球心为1d 处，则像电荷位置在球心与点电 荷Q 的连线上，位于球内，与球心相距为2d ，其位置与大小为：

1

2

2d a d =

1'd a Q -= 若导体球不接地，在球心处还有一像电荷'''Q Q -=。

4 格林函数法[3]

格林函数法是通过格林公式将静电边值问题化为求解相应的格林函数问题，也就是将非

齐次边界条件下泊松方程的求解问题简化为齐次边界条件（第二类格林函数除外）下点 源激励的泊松方程求解，即格林函数的求解问题。格林函数的边界条件也分为三类： 第一类格林函数：

)',(r r G

)'(12r r G --=?

δε

0=S G

第一类静电边值问题的解：

ds r r G n r dv r r G r r s

v

)',('

)

'(')',()'()(

????-=φερφ

第二类格林函数：

)'(12r r G --=?

δε

ε

s n G s

1

'-=?? 第二类静电边值问题的解：

s v

ds n r r r G dv r r G r r ><+??+=??φφερφ''

)

'()

',(')',()'()(

其中s ><φ为φ在边界面s 上的平均值。若所讨论区域的边界面是无穷大，则

0=>

?∝=

>

ds s s 1'1φφ

第三类格林函数

)',(r r G

)'(12r r G --=?

δε

0)(=+s G G βα

其中α、β为已知常数。 第三类静电边值问题的解

')',()'(')',()'()(ds r r G r f dv r r G r r s

v

??+=α

ερφ

其中)'(r f 为：f n

s =??+)(?

β

α?

简单边界的格林函数

格林函数法的关键在于找到所求问题的格林函数，而求格林函数本身并不容易。下面给 出简单边界形状下第一类静电边值问题的格林函数。

无界空间的格林函数：

'

41

)',(r r r r G -=

πε 三维无界空间的格林函数：

C r r r r G +--='ln 21)',(

πε

其中C 是常数，取决于电位参考点的选取。

上半空间0>z 的格林函数：

)11(41)',(2

1R R r r G -=πε

式中：21

2

2

2

1])'()'()'[(z z y y x x R -+-+-=

21

2

222])'()'()'[(z z y y x x R +++++=

三维半空间)0(>y 的格林函数：

1

2ln 21)',(R R r r G πε=

式中：2

12

21]

)'()'[(y y x x R -+-= 2

1

2

22])'()'[(y y x x R ++-=

球内、外空间的格林函数

球外：)11(41)',(2

11R d a R r r G -=

πε

式中：2

1

121

2

1]

cos 2[θrd d r R -+= 2

1

22

222]

cos 2[θrd d r R -+=

1

2

2d a d =

球内：)11(41)',(2

11R d a R r r G -=

πε

式中1d 是1=Q 的点电荷到球心的距离。

5 多极矩阵法

如果我们要计算分布于小区域上的源在远区产生的场可采用多极矩阵近似法。下面我们给出两类源（源是电荷分布，源是电流分布）的势函数多极矩阵展开。 电势的多极矩阵展开：

']1

''!211'1[)'(41dv r

r r r r r r v

+???+

??-=

?ρπε

φ +++=210φφφ

其中第一项是点电荷的势，相当于V 内电荷都集中在0点时在远区p 点所产生的势。点电荷为：

')'(dv r Q v

?=ρ

第二项是偶极子的势，体系的偶极矩阵为：

')'('dv r r p v

?=ρ

第三项是四极子的势，体系的四极矩阵为：

')'(''3dv r r r D v

?=ρ

多极子个数取得愈多，近似程度就愈高，计算的误差就愈小。

多极矩阵展开的一条普通定理

定理：任何电荷分布的最低阶非零的多极矩阵的值与坐标原点的选取无关，只有更高阶的多极矩阵才依赖于坐标原点的位置。

例如，当体系的总电量0=Q 时，体系的电偶矩阵的值与坐标原点的选取无关。又如，当体系的总电量0=Q ，总的电偶矩阵也为零，体系的电四矩阵与坐标原点的选取无关。

多极矩阵的几个特性： 一个体系的电荷分布

〈1〉 以坐标原点对称，其电偶极矩为零；

〈2〉 以球面对称，其电偶极矩和电四极矩都为零；

〈3〉 以轴对称，其电偶极矩只有轴向分量，电四极矩中)(0j i D ij ≠=； 〈4〉 对原点反对称，其总电荷为零，电四极矩为零。

失势的多极矩阵展开

']1

''!211'1[)'(4dv r

r r r r r r J A v +???+??-=

?πμ +++=)2()1()0(A A A

其中第一项0)

0(=A

因为稳定电流构成闭合回路?=v

dv J 0'

第二项3

)

1(4r

r m A ?=πμ ??=v

dv r J r m ')'('21

为体系的磁偶极矩对环形的闭合电流：

IS dl r m L

=?=?''21

式中S 是电流回路的面积。由此可知)

1(A

为磁偶极子产生的磁失势。

参考文献：

[1]《基础静电场》吴宗汉 编/2010年09月/北京大学出版社

[2]《数学物理方程》陈才生 主编，李刚，周继东，王文初 编/2008年07月/科学出版社 [3]《电磁理论中的并矢格林函数 》戴振铎，鲁述 著/2005年05月/武汉大学出版社