云南省昆明市北大博雅2020-2021学年高一年级上学期期中考试数学模拟测试卷 【精品解析版】
昆明北大博雅实验中学2020-2021学年度
第一学期期中模拟数学试卷
一?选择题(本大题共12小题,每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设集合2{|60}A x x x =--<,{|230}B x x =->,则A B =( )
A. 3
,32?? ???
B. 33,2??- ??
?
C. 31,2?? ???
D. 32,2?
?- ??
?
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求出集合A ,B ,再根据交集的定义求出A B .
【详解】解:
集合2
{|60}{|23}A x x x x x =--<=-<<,
3{|230}|2B x x x x ?
?=->=>
???
?
, 3,32A
B ??∴= ???
.
故选:A .
【点睛】本题考查交集的求法,交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题. 2. 函数[]2
2,0,3y x x x =-∈的值域为( )
A. []0,3
B. []1,3
C. []1,0-
D. []1,3-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用二次函数的性质即可得出答案. 【详解】
()2
2211y x x x =-=--,
∴对称轴为1x =,抛物线开口向上,
03x ≤≤,
∴当1x =时,min 1y =-,
1-距离对称轴远,
∴当3x =时,max 3y =, ∴13y -≤≤.
故选:D.
【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键都是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论
3. 函数()1
2
f x x =-的定义域为( ) A. [)0,2
B. ()2,+∞
C. ()1,22,2???+∞????
D. ()
(),22,-∞+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据被开方数是非负数,以及分母不为零,即可容易求得结果.
【详解】由21020
x x -≥??-≠?,解得x ≥1
2且x ≠2.
∴函数()12f x x =-的定义域为()1,22,2??
?+∞????
. 故选:C .
【点睛】本题考查具体函数定义域求解,属简单题. 4. 下列各组函数中,()f x 与()g x 相等的是( )
A. ()3
x f x x =,()()211
x x g x x -=-
B. ()1f x x =-,()21
1
x g x x -=+
C. ()f x =()g x =
D. ()1f x x x =+,()21
x g x x
+=
【答案】D 【解析】
【分析】
同一函数的判断先看定义域,再看化简后的解析式.
【详解】选项A ,B 的定义域不同,C 选项定义域都为R ,化简后的解析式是()f x x =
=,
()g x x ==,解析式不同,
选项D 定义域相同,化简后的解析式相同 故选:D
【点睛】本题考查了同一函数的判断,较简单. 5. 若0a b <<,则下列不等式中不成立的是( ) A.
11
a b
< B.
11
a b a
>- C. 33a b < D. 22a b >
【答案】AB 【解析】 【分析】
作差法判断AB ;利用幂函数的单调性判断CD . 【详解】
11110b a a b ab a b
--=>?>,A 不成立; ()11110a b a a a b a b a b -=<---, B 不成立; 3y x =在(),-∞+∞递增,可得33a b <,故C 成立; 2y
x 在
,0递减,可得22a b >,故D 成立
故选:AB .
6. 已知函数()21f x +的定义域为()2,0-,则()f x 的定义域是( ) A. ()2,0- B. ()4,0- C. ()3,1-
D. 1,12??
-
???
【答案】C 【解析】 【分析】
由()2,0x ∈-计算出21x +的取值范围,由此可计算出函数()f x 的定义域. 【详解】对于函数()21f x +,20x -<<,可得3211x -<+<,
因此,函数()f x 的定义域是()3,1-. 故选:C.
7. 函数()1
3x f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象过定点( ) A. ()1,4 B. ()3,1
C. ()0,3
D. ()1,0
【答案】A 【解析】 【分析】
令10x -=,解出x 的值,代入函数()f x 的解析式,计算可得出该函数的图象所过定点的坐标.
【详解】令10x -=,可得1x =,则()0
134f a =+=,
因此,函数()1
3x f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象过定点()1,4.
故选:A.
8. 若幂函数(
)
22
23
1m m y m m x --=--在区间(0,)+∞上是减函数,则实数m 的值( )
A. 1m =-
B. 2m =
C. 1m =-或2
D. 2
m =-或1 【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据函数是幂函数得到211m m --=,求得m 的值,再代入验证. 【详解】因为函数是幂函数,所以211m m --=, 解得:1m =-或2m =,
当1m =-时,0
1y x ==,不满足函数在区间()0,∞+是减函数,
当2m =时,3
y x -=,满足条件, 故选:B.
【点睛】本题考查幂函数,重点考查函数定义,计算,属于基础题型.
9. 已知集合{}25A x x =-≤≤,{}
121B x m x m =+≤≤-,若B A ?,则实数m 的取值
范围是( ) A. 3m <
B. 23m ≤≤
C. 3m ≤
D.
23m <<
【答案】C 【解析】 【分析】
由B A ?,分B =?和B ≠?两种情况讨论,利用相应的不等式(组),即可求解. 【详解】由题意,集合{}
25A x x =-≤≤,{}
121B x m x m =+≤≤-,因为B A ?, (1)当B =?时,可得121m m +>-,即2m <,此时B A ?,符合题意;
(2)当B ≠?时,由B A ?,则满足121
21215m m m m +≤-??
-≤+??-≤?
,解得23m ≤≤,
综上所述,实数m 的取值范围是3m ≤. 故选:C.
【点睛】本题主要考查了了集合的包含关系求解参数的取值范围问题,其中解答中熟记集合件的基本关系,合理分类讨论列出方程组是解答的根据,着重考查分类讨论思想,以及运算能力.
10. 已知不等式20x bx c +-<的解集为{}
36x x <<,则不等式()2
120bx c x -++->的解
集为( ) A. 1
9x x ?<
??
或}2x > B. 129x
x ??
<??? C 19
x x ?<-??
或}2x >
D. 1
29x x ??-
<??
?
【答案】C 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根,再根据韦达定理求出,b c ,代入一元二次不等式可解得结果. 【详解】由题意,20
x bx c +-=两根为3,6,
则3636b c +=-???=-?,解得9,18.b c =-??=-?
则不等式()2
120bx c x -++->可化为291720x x -->,
解得1
9
x <-,或2x >. 故选:C .
【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数,考查了一元二次不等式的解法,属于基础题.
11. “关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”的一个必要不充分条件是( ) A. 02a << B. 103
a <<
C. 1a >或0a <
D. 01a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
利用一元二次不等式在实数集上恒成立的解法求解. 【详解】因为220x ax a -+>的解集为R , 所以2440a a ?=-<, 解得01a <<,
所以一个必要不充分条件可以是02a <<, 故选:A
【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题,属于基础题.
12. 已知函数2,0
()21,0
x x f x x x ?=?->?,若()1f x ,则x
取值范围是 ( )
A. (-∞,1]-
B. [1,)+∞
C. (-∞,0][1,)+∞
D. (-∞,1][1-,)+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据每一段函数函数解析式,分类讨论转化()1f x ≥,即可容易求得结果.
【详解】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得()1f x 成立,
所以将原不等式转化为:0211x x >??-?或20
1
x x ???,
从而得1x 或1x -. 故选:D .
【点睛】本题考查分段函数不等式的求解,属简单题.
二?填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)
13. 若函数()f x 满足()2132f x x +=-,则()1f =________. 【答案】3 【解析】 【分析】
在函数()2132f x x +=-中,令211x +=,解出x 的值,代入计算可求得()1f 的值. 【详解】在函数()2132f x x +=-中,令211x +=,可得0x =, 因此,()13203f =-?=. 故答案为:3. 14. 若1a >,则1
1
a a +-的最小值是_________ 【答案】3 【解析】 【分析】
配凑目标式,再利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】1a >则10a ->,()1111311
a a a a +=-++≥--, 当2a =时取“=”
故答案为:3.
【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值,属简单题.
15. 含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ??
????
,又可表示成{}
2,,0a a b +,则
20192020a b +=______________.
【答案】1- 【解析】 【分析】
根据集合相等,结合集合的互异性,即可求得,a b ,则问题得解.
【详解】要使得
b a 有意义,则0a ≠,由集合{}2
,,1,,0b a a a b a ??=+????
, 故可得0b =,此时{
}
2
{,0,1},,0a a a =, 故只需1a =或21a =,
若1a =,则集合{
}
2
,,0{1,1,0}a a =不满足互异性,故舍去. 则只能为1,0a b =-=. 则201920201a b +=-. 故答案为:1-.
【点睛】本题考查集合相等求参数,以及集合的互异性,属综合基础题. 16. 已知(31)4,1(){,1
x a x a x f x a x -+<=≥是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是
__________. 【答案】11[,)63
【解析】
由题设可得不等式组01
{310314a a a a a
<<-<-+≥,解之得1163a ≤<,应填答案11
[,)63
.
点睛:解答本题的关键是借助题设条件,建立不等式(组),容易出错的是忽视第三个不等式的建立,因为函数的单调递减很容易想到不等式组中第一与第二个,但第三个不等式更为必要,尤其是其中的等号也会考虑不到而致错.
三?解答题(本大题共6小题,第17题10分,其余每题12分,共70分,解答题应写出必要的解答或证明过程)
17. 计算:(1
)1132
3
027102)20.25
927π-
-????-+ ? ????
-?. (2)2
13
2
111136
251546a b
a b a b -
--????-- ? ?????
. 【答案】(1)11
712
;(2)1624b 【解析】 【分析】 (1)利用公式()
n
m
mn a a =化简,求值;
(2)根据分数指数幂的运算公式化简. 【详解】(1)原式1
1
32
3
2
2564119274-
-
??????=--+ ? ?
???
????
11
32
32
2
3
2
5411332--
??????
????
??=--+?????? ? ? ???
??
??????????????
53
1834=--+ 11712
= ;
(2)原式()()111211226336545a b
??
------- ?????=?-?- ???
110
66
2424a b b ==
18. 设集合U 为全体实数集,{ 2 5}M x x x =|≤-≥或,121{|}N x a x a =+≤≤-. (1)若3a =,求U M
C N ;
(2)若N M ?,求实数a 的取值范围.
【答案】(1){|2x x ≤-或5}x >.; (2)(,2)[4,)-∞+∞.
【解析】 【分析】
(1)当3a =,求得集合2{|M x x =≤-或5}x ,45{|}N x x =≤≤,根据集合的运算,
即可求解;
(2)根据N M ?,分类讨论,列出不等式(组),即可求解. 【详解】(1)当3a =,集合2{|M x x =≤-或5}x ,45{|}N x x =≤≤,
可得{|4U C N x x =<或5}x >, 所以{2U x x M
C N =|≤-或5}x >.
(2)因为N M ?,
当N φ=时,可得121a a +>-,解得2a <,此时满足N M ?; 当N φ≠时,要使得N M ?,则满足121212a a a +≤-??-≤-?或121
15a a a +≤-??+≥?
,
解得φ或4a ≥,即4a ≥, 综上可得,实数a 的取值范围(,2)
[4,)-∞+∞.
【点睛】根据集合的运算结果求参数的取值范围的分法:
1、将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系,若集合中的运算能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到;
2、将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解;
3、根据求解结果来确定参数的值或取值范围. 19. 已知函数()21
1
x f x x -=
+ (1)求函数的定义域;
(2)试判断函数在(1,)-+∞上的单调性,并给予证明; (3)求函数在[3x ∈,5]的最大值和最小值.
【答案】(1){|1}x x ≠-;(2)函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数,证明见解析;(3)最大值是()352
f =,最小值是()5
34f =.
【解析】 【分析】
(1)由分母0≠求出函数的定义域;
(2)判定函数的单调性并用定义证明出来;
(3)由函数()f x 的单调性求出()f x 在[3,5]上的最值. 【详解】解:(1)函数()21
1
x f x x -=
+,10x +≠; 1x ∴≠-,
∴函数的定义域是{|1}x x ≠-;
(2)
213
()211
x y f x x x -==
=-++, ∴函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数,
证明:任取1x ,2(1,)x ∈-+∞,且12x x <, 则121233
()()(2)(2)11
f x f x x x -=-
--++ 2133
11
x x =
-++ 12123()
(1)(1)
x x x x -=
++,
121x x -<<,
120x x ∴-<,12(1)(1)0x x ++>,
12()()0f x f x ∴-<,
即12()()f x f x <,
()f x ∴在(1,)-+∞上是增函数;
(3)
()f x 在(1,)-+∞上是增函数,
()f x ∴在[3,5]上单调递增,
它的最大值是()2513
5512f ?-=
=+, 最小值是()2315
3314
f ?-=
=+. 【点睛】本题考查了求函数的定义域以及判定函数的单调性、求函数的最值问题,属于基础题.
20. 某商场预计全年分批购入电视机3600台,其中每台价值2000元,每批购入的台数相同,
且每批均需付运费400元,储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不含运费)成正比,比例系数为k ,若每批购入400台,则全年需要支付运费和保管费共43600元. (1)求k 的值;
(2)请问如何安排每批进货的数量,使支付运费与保管费的和最少?并求出相应最少费用. 【答案】(1)0.05k =;(2)每批进货120台,支付运费与保管费的和最少,最少费用为24000元. 【解析】 【分析】
(1)根据每批购入400台的需要支付运费和保管费共43600元可求k 的值; (2)先求解关于进货量的所支付的费用之和,结合解析式的特点求解最值即可. 【详解】(1)由题意,当每批购入400台时,全年的运费为3600
4003600400
?
=, 每批购入的电视机的总价值为4002000800000?=(元),所以保管费为800000k ?(元) 因为全年需要支付运费和保管费共43600元,所以360080000043600k +?=,解得0.05k =. (2)设每批进货x 台,则运费为36001440000
400x x
?=,保管费为0.052000100x x ?=, 所以支付运费与保管费的和为
1440000
100x x
+,
因为
144000010024000x x +≥=,当且仅当
1440000100x x =,即120x =时取到等号,所以每批进货120台,支付运费与保管费的和最少,最少费用为24000
元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用,构建数学模型是求解的关键,注意不等式求解最值时的条件,侧重考查数学建模的核心素养.
21. 已知二次函数()f x 的最小值为1,且(0)(2)3f f ==. (1)求()f x 的解析式;
(2)若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调,求实数a 的取值范围;
(3)若()f x 在区间[1,]m -上的最小值为1,最大值为9,求实数m 的取值范围.
【答案】(1)2
()243f x x x =-+;(2)1
02
a <<
;(3)13m ≤≤. 【解析】
【分析】
(1)用顶点式先设函数()f x 的解析式,再利用(0)3f =求解未知量即可; (2)只需保证对称轴落在区间内部即可;
(3)分三种情况讨论,结合二次函数的单调性,分别求出最值,再判断是否符合条件即可. 【详解】(1)
()f x 是二次函数,且(0)f f =(2)
∴对称轴为1x =,
又由函数最小值为1, 设2
()(1)1f x a x =-+, 又(0)3f =
2a ∴=
22()2(1)1243f x x x x ∴=-+=-+
(2)要使()f x 在区间[2a ,1]a +上不单调,则211a a <<+
1
02
a ∴<<
; (3)因为2
()243f x x x =-+,
所以()(1)(3)9,11f f f -===,且()f x 的对称轴为1x =,
若11m -<<,()f x 在区间[1-,]m 递减,()()()()max min ()19,11f x f f x f m f =-==>=,不合题意;
若13m ≤≤,()f x 在区间[1-,1]递减,在区间[1,]m 递增,()()min 11f x f ==,因为
()()()31f m f f ≤=-,所以()max ()19,f x f =-=符合题意;
若3m >,()f x 在区间[1-,1]递减,在区间[1,]m 递增,()()min 11f x f ==,因为
()()39f m f >=,所以()max ()9,f x f m =>不合题意; 综上,13m ≤≤.
【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论
22. 已知f(x)=
2
4+x
x ,x∈(-2,2). (1) 判断f(x)的奇偶性并说明理由; (2) 求证:函数f(x)在(-2,2)上是增函数; (3) 若f(2+a)+f(1-2a)>0,求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 见解析:(2) 见解析:(3)1,02a ??
∈- ???
【解析】
【详解】试题分析:(1)定义域 关于原点对称,同时满足f(x)=-f(-x ),所以是奇函数.(2)由定义法证明函数的单调性,按假设,作差,变形,判断,下结论过程完成.(3)由奇函数,原不等式变形为f(2+a)>-f(1-2a)=f(2a -1),再由函数单调性及定义域可知,解
不等式组可解.
试题解析:(1) 解:∵ f(-x)=
=-
=-f(x),∴ f(x)是奇函数.
(2) 证明:设x1,x2为区间(-2,2)上的任意两个值,且x1 = , 因为-2 (3) 解:因为f(x)为奇函数,所以由f(2+a)+f(1-2a)>0得,f(2+a)>-f(1-2a)=f(2a -1), 因为函数f(x)在(-2,2)上是增函数, 所以 即 故a ∈.