定积分和微积分
类型一:利用定积分的几何定义求定积分
1.说明定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。
解析:设,则,表示半径为2 的个圆,
由定积分的概念可知,表示如图所示的以2 为半径的圆的面积,
所以
总结升华:利用定积分的几何意义画出相应的图形解答。
举一反三:
变式1】由,,以及轴围成的图形的面积写成定积分是
答案】
变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积(不计算)
答案】(1),(2)
变式3】说明下列定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。
2);
答案】
1)设,
则表示由直线,,以及轴围成的梯形的面积,该梯形面积为
2)设,
则表示由直线,,以及轴围成的矩形的面积,该矩形面积为, 所以。
变式4】利用定积分的几何定义求定积分:
1)设,则表示个圆,
由定积分的概念可知,所求积分就是圆的面积 所以
2)设,则表示如图的曲边形,
其面积 ,
故.
类型二:运用微积分定理求定积分
2.运用微积分定理求定积分
1), ( 2), ( 3)
思路点拨: 根据求导函数与求原函数互为逆运算,找到被积函数的一个原函数,利用 微积分基本定理求解 . 解析:
总结升华: 求定积分最常用的方法是微积分基本定理, 其关键是找出使得的原函数。 通 常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求,
数互为逆运算。
有时需要将原式化简后再求解, 有时不易找到原函数,此时可以用其他方法(如: 分的几何定义) 举一反三:
变式 1】计算下列定积分的值:
1); ( 2); ( 3)
即利用求导函数与求原函
定积
变式 2】计算下列定积分的值:
1), ( 2), ( 3)
答案】
类型三:运用积分的性质求定积分
3.求定积分: ;
思路点拨: 对于含有绝对值符号的被积函数, 要去掉绝对值符号才能积分, 根据定积分
对区间的可加性,对给定的积分区间适当分成几个积分区间, 出结果 . 解析:=+
总结升华:对于图形由两部分组成的函数在求积分时,应注意用性质=+进行化简 于含绝对值的函数求积分,一般先把绝对值号去掉,写成分段函数,合理地确定积分区间, 再进行积分 .计算各个积分,最后求和,得
.对
举一反三:
变式1】设是连续函数,若,,则
答案】;
变式2】已知函数,计算.
【答案】=+
=+
=+
4.求定积分:;
思路点拨:利用定积分的性质求解
解析:???是奇函数,???,
???是偶函数,???
总结升华:利用被积式函数的奇偶性求积分。
举一反三:【变式1】设是偶函数,若,则
【答案】???是偶函数,???
变式2】求定积分:
【答案】???是偶函数,
类型四:利用定积分求平面图形面积5.求直线与抛物线所围成的图形面积
思路点拨:画出简图,结合图形确定积分区间。
解析:如图,由得交点,,
所求面积:
总结升华:求平面图形的面积体现了数形结合的思想,求图形的面积的一般步骤是:
画出图形,并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形;找出相关曲线的交点坐标,即解方程组,确
定每个曲边梯形的积分区间(即积分
上下限);
确定被积函数,即解决“积什么”的问题,是解题的关键;写出表示各曲边梯形面积的定积分表达
式;
计算各个定积分,求出所求的面积
举一反三:变式1】求由曲线(),,围成的平面图形的面积
答案】如图,由()和,得交点;
法一:所求面积为矩形面积减去由曲线()
,,围成的平面图形的面积故所求面积为
法二:所求面积为。
变式2】求由曲线围成的平面图形的面积
答案】由得;由得.
所求面积:
变式3】求抛物线与直线所围成的图形的面积
答案】解方程组得或
即交点.
由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得,我们把它合理的划分
便于进行积分计算。
过点作虚线,把阴影部分分成了两部分,分别求出两部分的面积,再求和
需要指出的是,积分变量不一定是,有时根据平面图形的特点,也可选作为积分变量, 以简化计算。但要注意积分上限、下限的确定
若选为积分变量,则上限、下限分别为- 1 和 3,所以要求的面积为:
类型五:利用定积分解决物理问题
6.汽车以每小时 36 公里的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以匀减速度米
2 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离?
思路点拨:因为距离=速度时间,所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度 变化函数式成为该题的关键
解析: 首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间,
当时,汽车速度公里/小时=米/秒=10米/秒.
刹车后汽车减速行驶,其速度为 当汽车停车时,速度, 故从到用的时间秒 .
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=(米)
即在刹车后,汽车需走过 25.
一下,
/秒
总结升华:解决实际应用问题,解题的关键是弄清事物变化发展的规律,再根据规律变化找到相应的函数式.
举一反三:
变式1】两地相距25 千米, 甲以速度千米/小时从到直线行驶时从到直线行驶, 则甲、乙两人从出发到相遇所用的时间为(
答案】C , 同时乙以速度千米/ 小
A.60 分钟B.100 分钟C.120 分钟D.150 分钟
答案】D
变式2】由截面积为的水管往外流水,打开水管时,水流速度,那么从到这段时间内流动的水量是
答案】72
变式3】一质点在直线上从时刻以速度运动,则该质点在时刻时运动路程为(
A.B.C.D.
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分及微积分基本定理练习题及答案