七年级初一数学下册74实践与探索3教案华东师大版

7.4 实践与探索

教学目的

通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

重点、难点

1．重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。

2．难点：寻找相等关系以及方程组的整数解问题。

教学过程

一、复习

列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?其中什么是关键?

二、新授

问题1．第42页实践与探索中的第一个问题。

学生阅读教科书并与同伴讨论、交流，探索解题方法，鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。鼓励学生进行质问和大胆创新。

学生有困难，教师加以引导：

1．本题有哪些已知量?

(1)共有白卡纸20张。

(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个。

(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套。2．求什么?

(1)用几张白卡纸做盒身?几张白卡纸做盒底盖?

3．若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖。那么可做盒身多少个?盒底盖多少个?[2x个盒身，3y个盒底盖]

4．找出2个等量关系。

(1)用做盒身的白卡纸张数十用做盒底盖的自卡纸张数：20。(2)已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身和盒底盖正好配套。

根据题意，得

x+y＝20

3y=2×2x

解出这个方程组。

以上结果表明不允许剪开白卡纸，不能找到符合题意的分法。如果允许剪开一张白卡纸，怎样才能既符合题意且能充分利用白卡纸呢?

用8张白卡纸做盒身，可做8×2二16(个)

用1l张白卡纸做盒底盖，可做3×11＝33(个)

将余下的l张白卡纸剪成两半，一半做盒身，另一半做盒底，一共可做17个包装盒，较充分地利用了材料。

三、巩固练习

某农场300名职工耕种5l公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：

已知该农场计划在设备上投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用?

先让学生自主探索，与伙伴交流。

对有困难的学生教师加以引导。(提问式)

1．本题中有哪些已知量?

(1)安排种三种农作物的人数共300名；

(2)安排种三种农作物的土地共51公顷；

(3)每种农作物每公顷所需要的职工数；

(4)每种农作物每公顷需要投入的资金；

(5)三种农作物需要的资金和为67万元。

2．求什么?

分别安排多少公顷种水稻，多少公顷种棉花，多少公顷种蔬菜?

如果设安排x公顷种水稻，y公顷种棉花，那么由已知(2)可知，种蔬菜有(51-x-y)公顷。

这样根据已知，(3)可得种水稻4x人，棉花8y人，蔬菜5(51-x-y)人.

根据已知(4)可得，种三种农作物所需的资金分别为x万元、y万元 2(51-x-y)万元已知量中的(1)、(5)就是两个等量关系

因此，列方程组

x+y+2(51-x-y)=67

本题也可以列三元一次方程组求解，若有学生尝试用这种方法，应给予鼓励，鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会，不要求统一规定。

四、作业

教科书习题7.4，第1题。

七年级下学期期末数学试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确）

1．把方程2x+3y-1=0改写成含x 的式子表示y 的形式为（ ） A ．3(12)y x =- B ．1

(21)3

y x =

- C ．3(21)y x =- D ．1

(12)3

y x =

- 【答案】D

【解析】根据题意直接进行移项等式变换即可得出1

(12)3

y x =-. 【详解】解：2x+3y-1=0，移项得 3y=1-2x

1

(12)3

y x =-

故答案为D. 【点睛】

此题主要考查二元一次方程的变形，熟练掌握特征即可得解. 2．下列方程中，是二元一次方程的是( ) A ．x ﹣y 2＝1 B ．2x ﹣y ＝1

C ．

1

1y x

+= D ．xy ﹣1＝0

【答案】B

【解析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．据此逐一判断即可得． 【详解】解：A ．x-y 2=1不是二元一次方程； B ．2x-y=1是二元一次方程； C ．

1

x

+y ＝1不是二元一次方程； D ．xy-1=0不是二元一次方程； 故选B ． 【点睛】

本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 3．下列调查中，调查方式选择合理的是( ) A ．了解灯泡的寿命，选择全面调查

B ．了解某品牌袋装食品添加剂情况，选择全面调查

C ．了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查

D ．了解介休绵山旅游风景区全年游客流量，选择抽样调查 【答案】D

【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．

【详解】A. 了解灯泡的寿命，有破坏性，易采用抽样调查，故不合理； B. 了解某品牌袋装食品添加剂情况，有破坏性，易采用抽样调查，故不合理； C. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况，比较重要，应采用普查的方式，故不合理； D. 了解介休绵山旅游风景区全年游客流量，工作量比较大，易采用抽样调查，故合理； 故选D. 【点睛】

本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查. 4．如图，

，

，则点到

所在直线的距离是线段 的长．

A ．

B ．

C ．

D ．以上都不是

【答案】B

【解析】根据点到线的距离是垂线即可判断. 【详解】∵，

点到

所在直线的距离是线段CD 的长.

【点睛】

此题主要考查垂线的定义，解题的关键是熟知点到线的距离就是垂线段的长. 5．如图所示，12∠∠，为同位角的是（ ）

A ．

B ．

C．D．

【答案】D

【解析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角.

【详解】A、B中的∠1与∠2不是同位角，故不符合题意；

C. ∠1与∠2不是同位角，是同旁内角，故不符合题意；

D. ∠1与∠2是同位角，符合题意；

故选D.

【点睛】

本题考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

6．下列计算中，正确的是（）

A．a3+a2=a5B．(2a)3=6a3C．a5÷a2=a3D．(a+1)2=a2+1

【答案】C

【解析】根据同类项的定义、幂的乘方、同底数幂除法及完全平方公式逐一计算即可.

【详解】A、a3+a2，a3与a2不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意，

B、(2a)3=8a3，故该选项不符合题意，

C、a5÷a2=a3，故该选项符合题意，

D、(a+1)2=a2+2a+1，故该选项不符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查同类项的定义、幂的乘方、同底数幂除法及完全平方公式，熟练掌握运算法则及完全平方公式的结构特征是解题关键.

7．为了测算一块60亩樱桃园的樱桃的产量，随机对其中的2亩樱桃的产量进行了检测，在这个问题中2是（）

A．个体B．总体C．总体的样本D．样本容量

【解析】根据总体：所要考察的对象的全体叫做总体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量，结合题目即可得答案．

【详解】为了测算一块60亩樱桃园的樱桃的产量，随机对其中的2亩樱桃的产量进行了检测，在这个问题中2是样本容量，故选：D．

【点睛】

此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是掌握样本容量的定义．

8．2是（）

A．整数B．分数C．有理数D．无理数

【答案】D

【解析】根据无理数的概念，即可做出选择.

【详解】解：根据无理数的定义，即可确定答案为：D

【点睛】

本题主要考查了实数的分类，无理数的定义是解答本题的关键.

9．已知某花粉直径为360000纳米(1米＝109纳米)，用科学记数法表示该花粉的直径是()

A．3.6×105米B．3.6×10﹣5米C．3.6×10﹣4米D．3.6×10﹣9米

【答案】C

【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】360000纳米＝360000×10﹣9m＝3.6×10﹣4米．

故选C．

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10．我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图所示是我国四大银行的行标图案，其中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的

与原图重合．

【详解】解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误； B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误； C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项正确． 故选D ． 【点睛】

本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，解题关键是熟练掌握定义、性质. 二、填空题题

11．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若144∠=?，则α∠=__________．

【答案】68?

【解析】如图，根据平行线的性质可得∠1=∠2，根据折叠的性质可得∠3=∠2+α∠，再利用平角等于180°得到关于α的方程，然后求解即可.

【详解】

解：∵纸片两边平行， ∴∠1=∠2=44°， 由于折叠， ∴∠3=∠2+α∠， ∴∠2+2α∠=180°， ∴α∠=68°. 故答案为：68°. 【点睛】

本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

【答案】7

【解析】由a ，b 均为正整数，且a b >>，推出a ＞3，b ＞2，由此即可解决问题．

【详解】∵a b >>∴a ＞3，b ＞2，

∵a ，b 均为正整数，且最小正整数为：a=4，b=3 ∴a+b 的最小值为7， 故答案为：7 【点睛】

本题考查无理数，根式等知识，解题的关键是学会估计无理数的大小．

13．某种商品的进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%，如果商店要降x 元出售此商品，请列出不等式_____. 【答案】225-x≥150(1+10%)

【解析】首先由题意得出不等关系为利润≥等于10%，然后列出不等式为225-x≥150(1+10%)即可. 【详解】设商店降价x 元出售，由题意得 225-x≥150(1+10%).

故答案为：225-x≥150(1+10%). 【点睛】

本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

14．观察下列各式：（1）42－12=3×5；（2）52－22=3×7；（3）62－32=3×9；……… 则第n （n 是正整数）个等式为_____________________________． 【答案】（n+3）2-n 2=3（2n+3）

【解析】试题解析：观察分析可得：1式可化为（1+3）2-12=3×（2×1+3）；2式可化为（2+3）2-22

=3×（2×2+3）；

…故则第n 个等式为（n+3）2-n 2=3（2n+3）． 考点：规律型：数字的变化类．-

15．如果点()4,12P m m --在第四象限，则m 的取值范围是__________． 【答案】4m >

【解析】根据点在第四象限的坐标特点列出不等式组即可． 【详解】解：∵点A （m+1，1-2m ）在第四象限，

∴40120m m ->??-

解得：4

12m m >???>??

，

∴m 的取值范围是：4m >； 故答案为：4m >. 【点睛】

本题主要考查了点在第四象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组的问题，熟练解答一元一次不等式组是解答本题的关键．

16．已知m ，n 为互质（即m ，n 除了1没有别的公因数）的正整数，由m n ?个小正方形组成的矩形，如左下图示意，它的对角线穿过的小正方形的个数记为f 。小明同学在右下方的方格图中经过动手试验，在左下的表格中填入不同情形下的各个数值，于是猜想f 与m ，n 之间满足线性的数量关系。

请你模仿小明的方法，填写上表中的空格，并写出f 与m ，n 的数量关系式为________。 【答案】10 ，f=m+n-1

【解析】根据表格中的数据寻找规律即可.

【详解】解:4231,6341,=+-=+-空格47110=+-= ，所以1f m n =+- 故答案为：10 ，f=m+n-1 【点睛】

本题是数式的规律探索题，比较各组数字间的数量关系，找出其共同规律是解题的关键. 17．已知点A（﹣2，﹣1），点B（a，b），直线AB∥y轴，且AB=3，则点B的坐标是___【答案】（﹣2，2）或（﹣2，﹣4）

【解析】试题解析：∵A（-2，-1），AB∥y轴，

∴点B的横坐标为-2，

∵AB=3，

∴点B的纵坐标为-1+3=2或-1-3=-4，

∴B点的坐标为（-2，2）或（-2，-4）．

三、解答题

18．如图，已知∠ABC=180°-∠BDG，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F.

（1）AB与DG平行吗？为什么？

（2）若∠1=55°,求∠2的度数.

【答案】（1）平行，理由见解析；（2）55°.

【解析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；

（2）先由AB∥DG,得到∠1=∠3,再证明EF∥AD，即可求解出∠2的度数.

【详解】（1）平行

∵∠ABC=180°-∠BDG

∴∠ABC+∠BDG=180°

∴AB∥DG

（2）由（1）得，AB∥DG,

∴∠1=∠3,.

∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴∠BFE=∠ADB=90°，

∴EF∥AD，

∴∠2=∠3,

∴∠1=∠2,

∴∠2=55°.

【点睛】

此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知平行线的判定定理. 19．已知：方程组2325

x y a

x y +=-??

+=?，是关于x 、y 的二元一次方程组.

（1）求该方程组的解(用含a 的代数式表示)；

（2）若方程组的解满足0x <，0y >，求a 的取值范围.

【答案】（1）1213x a y a

=+??

=-?；（2）1

2a <-

【解析】（1）利用加减消元法求解可得；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）①2?，得

2242x y a +=-.③

②-③，得12x a =+

把12x a =+代入①，得13y a =-

所以原方程组的解是1213x a y a

=+??=-?

（2）根据题意，得

120

130a a +

->?

解不等式组，得，1

2

a <-

所以a 的取值范围是：12

a <-. 【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20．某学习小组发现一个结论：已知直线a ∥b ，若直线c ∥a ，则c ∥b ，他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：

已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ

（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE＋∠CQE之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，求出∠PFQ的度数；

（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ＝70°时，请求出∠PFQ的度数.

【答案】(1)∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由见解析；(2)∠PFQ＝110°；(3)∠PFQ＝145°.

【解析】(1)

过E点作EH∥AB,再利用平行线性质，两直线平行内错角相等，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE. (2)过点E作EM∥AB，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，可得到∠PEQ＝∠APE＋

∠CQE＝140°，再作NF∥AB，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，得到，∠PFQ＝∠BPF ＋∠DQF的度数.

(3)过点E作EM∥CD，如图，设∠CQM＝α，∴∠DQE＝180°－α，再利用角平分线性质得到∠DQH

＝90°－1

2

α，∠FQD＝90°＋

1

2

α，再利用平行线性质、角平分线定义∠BPF＝

1

2

∠BPE＝55°－

1

2

α，

作NF∥AB，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF即可求出答案.

【详解】(1)

过E点作EH∥AB,

∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由如下：

过点E作EH∥AB ∴∠APE＝∠PEH ∵EH∥AB，AB∥CD ∴EH∥CD

∴∠CQE＝∠QEH，∵∠PEQ＝∠PEH＋∠QEH ∴∠PEQ＝∠APE＋∠CQE (2)

过点E作EM∥AB，如图，同理可得，∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140°

∵∠BPE＝180°－∠APE，∠EQD＝180°－∠CQE，∴∠BPE＋∠EQD＝360°－(∠APE＋∠CQE)＝

220°，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD ∴∠BPF＝1

2

∠BPE，∠DQF＝

1

2

∠EQD

∴∠BPF＋∠DQF＝1

2

(∠BPE＋∠EQD)＝110°，作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝

110°

(3)

过点E作EM∥CD，如图，设∠CQM＝α，∴∠DQE＝180°－α，∵QH平分∠DQE，

∴∠DQH＝1

2

∠DQE＝90°－

1

2

α，∴∠FQD＝180°－∠DQH＝90°＋

1

2

α，

∵EM∥CD，AB∥CD ∴AB∥EM，∴∠BPE＝180°－∠PEM＝180°－(70°＋α)＝110°－α

∵PF平分∠BPE ∴∠BPF＝1

2

∠BPE＝55°－

1

2

α，

作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝145°

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质定理，根据性质定理得到角的关系．

21．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O，限用无刻度直尺完成以下作图：

（1）在图1中作线段BC的中点P；

（2）在图2中，在OB、OC上分别取点E、F，使EF∥BC．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）延长BA和CD，它们相交于点Q，然后延长QO交BC于P，则PB=PC，根据线段垂直平分线的逆定理可证明；

（2）连结AP交OB于E，连结DP交OC于F，则EF∥BC．分别证明△BEP≌△CFP，△BEP≌△CFP 可得∠APB=∠DPC和∠PEF=∠PFE，根据三角形内角和定理和平角的定义可得∠APB=∠PEF，即可证明EF//BC.

【详解】解：（1）如图1，点P为所作，

理由如下：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB

∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC

∴QB=QC，OB=OC

∴Q,O在BC的垂直平分线上，

∴延长QO交BC于P，就有P为线段BC的中点；

（2）如图2，EF为所作．

理由如下：∵△ABC≌△DCB

∴AB=DC，

又∵∠ABC=∠DCB，BP=PC

∴△ABP≌△DCP

∴∠APB=∠DPC

又∵∠DBC=∠ACB，BP=PC

∴△BEP≌△CFP

∴PE=PF

∴∠PEF=∠PFE，

∵∠APB+∠DPC+∠APD=180°

∠PEF+∠PFE+∠APD=180°

∴∠APB=∠PEF

∴EF//BC.