苏科版九年级数学上册《圆》同步练习1：圆的定义及垂径定理

《圆》每周一练1：圆的定义及垂径定理

1．下列命题中正确的是()

A．直径不是弦；B．半圆是直径和直径所对的弧组成的图形

C．圆中最长的弦是直径；D．一条弦所对的两条弧，不是优弧就是劣弧

2．下列说法中：①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3cm且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个．错误的个数有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中弦的条数是() A．2 B．3 C．4 D．5

第3题第7题第8题第9题4．下列说法：①菱形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四个顶点在同一个圆上；③正方形的四个顶点在同一个圆上；④平行四边形的四个顶点在同一个圆上．其中正确的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，则下面各点在O上的是() A．(1,1) ；B．(－1，3)；C．(－2，－1) D．(2，－2)

6．下列说法中正确的是()

A．直径是圆的对称轴；B．经过圆心的直线是圆的对称轴

C．与圆相交的直线是圆的对称轴；D．与半径垂直的直线是圆的对称轴

7．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定成立的是()

A．∠COE=∠DOE；B．CE=DE；C．OE=BE；D．BD BC

8．如图所示，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是()

A．正方形；B．长方形；C．菱形；D．以上答案都不对

9．如图，AB是O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为() A．5cm B．2.5cm C．2cm D．1cm

10．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC的长为()A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm

第10题第11题第12题11．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是() A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5

12．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，若点P的坐标为(4,2)，

点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为__________．

13. 在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为8cm，

另一条弦长为6cm，则两弦之间的距离为__________．

14. 如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（）

A．

；B．

；

C．；D．与的大小关系无法比较。

15.如图，一条赛道的急转弯处是一段AC，点O是这段弧所在圆的圆心，AC=10m，

B是AC上一点，OB⊥AC，垂足为D，BD=1m，求这段弯路的半径．

16.如图，等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB＝AC，且BC是BC边上高的6倍，求BC的长.

17.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位时下宽AB=24m，水面到拱顶距离CD=8m，当洪水泛滥时，水面宽MN=10m，求水面到拱顶距离DE．

18.如图为桥洞的形状，其正视图由CD和矩形ABCD构成的，O点为CD所在⊙O的圆心，点O又恰好在水面AB处，若桥洞跨度CD为8米，拱高EF为2米(OE⊥弦CD于点F )．

(1)求CD所在⊙O的半径DO；

(2)若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．

19. ★如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，

（1）求弦AB的长度；（2）当点E在⊙O的运动过程中，求线段FG的长度的最小值．

20. 如图，已知⊙O中直径AB和弦AC交于点A，点D，E分别是半圆AB和的中点，连接DE

分别交AB，AC于点F，G．

（1）求证：AF＝AG；

（2）连接CE，若AF＝4，BF＝6，∠A＝30°，求弦CE的长．

21. （2020?金华）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．求弦AB的长．

22.★如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC、BD是⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差．

23. 如图，已知直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半

径的圆上一动点，连接P A，PB，当△P AB的面积最大时，求点P的坐标。

参考答案：

1．C ；2．A ；3．B ；4．B 因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，故矩形的四个顶点在以矩形对角线的交点为圆心、对角线的一半长为半径的圆上；同理，正方形的四个顶点在同一个圆上．由于平行四边形的四个顶点到对角线交点的距离不一定相等，所以平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上；同理，菱形的四个顶点不一定在同一个圆上．

5．B 要使点在O 上，只需满足该点到坐标原点的距离等于2即可．根据勾股定理可知，只有点(－1，3)到原点的距离等于2. 6．B ；7.C ；8．C 由垂径定理知AB 也被OC 平分，所以AB 和OC 互相垂直平分，即四边形OACB 为菱形．

9．D 连接OB .∵OC ⊥AB ，AB ＝6cm ，∴BD ＝12

AB ＝3cm.∴OB ＝222243OD BD +=+＝5(cm)．∴OC ＝OB ＝5cm.∴DC ＝OC －OD ＝5－4＝1(cm)． 10．D 如图，过O 作OE ⊥AB 于点E ，由垂径定理，得AE ＝

12AB ＝12×10＝5(cm)，CE ＝12CD ＝12

×6＝3(cm)．所以AC ＝AE －CE ＝5－3＝2(cm)． 11．C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，则由垂径定理得AC ＝

12AB ＝3.在Rt △OAC 中，由勾股定理得OC ＝22OA AC -＝4，∵OC ≤OM ≤OA ，即4≤OM ≤5，∴线段

OM 的长可能是4.5.故选C.

12．(6,0) 过点P 作PC ⊥AB 于点C ，

∵AC ＝BC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴OB ＝OC ＋BC ＝4＋2＝6.∴点B 的坐标为(6,0)．

13. 1cm 或7cm 已知两条平行弦的长，求两弦之间的距离，这两条弦可能在圆心的同侧也可能在圆心的两侧(如图所示)，因此应分两种情况讨论．

(1)当两弦在圆心的同侧时，如图①，作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N .

∵AB ∥CD ，∴OM ⊥CD .∴MN 即为所求的距离．

连接OB ，OD ，这时OB ＝OD ＝5cm ，AM ＝BM ＝12AB ＝3cm ，ND ＝CN ＝12CD ＝4cm. 在Rt △OBM 中，2222534OM OB BM =-=-=(cm)．

在Rt △ODN 中，2222543ON OD DN =-=-=(cm)．∴MN ＝OM －ON ＝1(cm)． 故当两弦在圆心的同侧时，两弦之间的距离为1cm.

(2)当两弦在圆心的两侧时，如图②，作OM ⊥AB 于点M ，延长MO 交CD 于点N . ∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .∴MN 即为所求的距离．

同样地，可以求出OM ＝4cm ，ON ＝3cm m ∴MN ＝OM ＋ON ＝4＋3＝7(cm)． 故当两弦在圆心的两侧时，两弦之间的距离为7cm.

14.解：如图，过O 作半径OF ⊥AB 于E ，连接AF ；

由垂径定理知：AE ＝BE ，＝；∴AE ＝CD ＝AB ；

在Rt △AEF 中，AF ＞AE ，则AF ＞CD ；∴＞，即＞2；故选：A ．

【点评】能够通过作辅助线，并根据垂径定理和直角三角形的性质判断出

和的大小关系，是解答此题的关键．

15.13m ．

详解：∵OB ⊥AC ，AC =10m ，∴AD =

2

1AC =5m ，设OA =OB =r ，∵BD =1m ， ∴OD =OB -BD = (r -1)m ，在Rt △AOD 中，∵AD 2+OD 2=OA 2，∴52+(r -1)2=r 2，解得：r =13(m)， ∴这段弯路的半径是13m ．

16.6 cm. 详解：连结AO 交BC 于D ，连结BO ，由AB ＝AC 得AB =AC ，由垂径定理可得AO 垂直平分BC ，∵BC 是BC 边上高的6倍，设AD ＝x cm ，则B D ＝3x cm ，∴OD ＝(5)x -cm ， 在Rt △BOD 中，2225(3)(5)x x -=-，解得11x =，20x =(舍去)，∴BD ＝3 cm ，BC ＝6 cm.

第14题

第15题

17.1m ． 详解：设OA =R ，在Rt △AOC 中，AC =12m ，CD =8m ，∴R 2=122+(R -8)2= 144+R 2-16R +64， 解得R =13(m)，连接OM ，设DE =x (m)，在Rt △MOE 中，ME =5(m)，∴132=52+(13-x )2， 解得x 1=1，x 2=25（不合题意,舍去），∴DE =1m ．

18.(1)5米，(2)4米．

详解：(1)∵OE ⊥弦CD 于点F ，CD 为8米，EF 为2米，

∴EO垂直平分CD，∴DF=4m，FO=(DO-2) m，∴DO2=(DO-2)2+42，解得：DO=5m，

∴CD所在⊙O的半径DO为5m；

(2)如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿以中点O为中心通过，连接MO，

∵MN=6m，∴M Y=YN=3m，在Rt△MOY中，MO2=YO2+MY2，∴52=YO2+32，

解得：YO=4m，∴船能通过桥洞时的最大高度为4m．

19. 解：作GM⊥AC于M，连接AG．

∵GO⊥AB，∴OA＝OB，在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，

∴AG＝2OG，OA＝＝，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，

∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，

∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，

当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．

故答案为2，﹣1．

【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．20. （1）证明：连接OD，OE，OE交AC于H，如图，

∵点D，E分别是半圆AB和的中点，∴OD⊥AB，OE⊥AC，

∴∠ODF+∠OFD＝90°，∠HEG+∠HGE＝90°，

∵∠ODF＝∠HEG，∴∠OFD＝∠EGH，

∵∠OFD＝∠AFG，∠EGH＝∠AGF，

∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG；

（2）解：∵AB为直径，AF＝4，BF＝6，∴⊙O的半径为5，

在Rt△AOH中，∵∠A＝30°，∴OH＝OA＝，AH＝，∴HE＝5﹣＝，

∵OH⊥AC，∴AH＝CH＝，在Rt△CEH中，CE＝＝5．

21. 解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，

∴AC＝OA?sin60°＝2×＝，∴AB＝2AC＝2；

22. 解：（1）如图，连接OA、OD，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E、F．

∵AC⊥BD，∴∠EMF=∠OFB=∠OEM=90°，∴四边形OEMF为矩形，

∵OA=OC=2，OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d、h，则d2+h2=OM2=3．

四边形ABCD的面积为：s=|AC|?（|BM|+|MD|）=|AC|?|BD|，

从而：s=2≤8﹣（d2+h2）=5，

当且仅当d=h时取等号，故四边形ABCD的面积最大值为5．

（2）四边形ABCD的面积

s=2=2=2，

当dh=0即d=0或h=0时（一条弦过原点），s最小，最小值为4．

∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差5﹣4=1．故答案为：1．

【点评】本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换，当对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线乘积的一半，这一性质要好好记忆，同时还要注意极值图形的选取方法．

23.