2013-2014学年北京市昌平区八年级上学期期末质量抽测数学试题(含答案)

昌平区2013-2014学年第一学期初二年级期末质量抽测

数学试卷 （120分，120分钟） 2014．1

考生须知

1．本试卷共4页，共五道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号．

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将答题卡交回．

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．下面所给的图形中， 不是轴对称图形的是

A

B

C

D

2．下列运算正确的是 A ．236x x x =÷ B ．()

52

3x x

= C ．()22263y x xy = D ． 24322y x xy y x =?

3．点P （2，-3）关于y 轴的对称点是 A ．（2，3） B ．（2，-3） C ．（-2，3） D ．（-2，-3）

4．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是

A ．b a b a 33)(3+=+

B ．9)6(962

++=++x x x x C ．)(y x a ay ax -=- D ．2

2(2)(2)a a a -=+- 5． 若分式

2

1

-+x x 的值为0，则x 的值为 A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．﹣1或2

6. 下列各式中，正确的是

A ． 22x y x y

-++=- B ．222

()x y x y x y x y --=++ C ．

1a b b ab b ++= D ． 231

93

x x x -=

-- 7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D .

若BC =4cm ，BD=5cm ，则点D 到AB 的距离是

A ．5cm

B ．4cm

C ．3cm

D ．2cm

C

D

B

A

8．如图，从边长为a +1的正方形纸片中剪去一个边长为a ﹣1的正方形（a ＞1），剩余部分沿虚线

剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是

a-1

a +1

A ． 2

B ．

2a C ．

4a D ． a 2﹣1

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．二次根式2+x 中，x 的取值范围是 ．

10．等腰三角形两边长分别为6和8，则这个等腰三角形的周长为 ． 11．已知2a b -=，那么224a b b --的值为 ．

12．如图，OP =1，过P 作OP PP ⊥1且11=PP ，根据勾股定理，得21=OP

；

再过1P 作121OP P P ⊥且21P P =1，得32=OP

；又过2P 作232OP P P ⊥且

132=P P ，得=3OP 2；…；依此继续，得=2012OP ，=n OP （n 为自然数，且

n ＞0）．

三、解答题（共6 道小题，每小题5分，共 30 分） 13．计算：

22783-+--

(

)

25-．

14．分解因式：ax 2–2ax + a ．

15．计算：x y x y y x x ??+-÷

???

．

16．已知：如图，C 是线段AB 的中点，∠A =∠B ，∠ACE =∠BCD ．

求证：AD =BE ．

P 4

P 3

P 2

P

P 1O

E

D B

C A

17．解方程：

212

x

x x +=

+．

18．已知x 2=3，求（2x +3）（2x ﹣3）﹣4x （x ﹣1）+（x ﹣2）2的值．

四、解答题（共 4 道小题，每小题5分，共 20 分）

19．如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分

别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．

20．如图1，已知三角形纸片ABC ，AB =AC ，∠A = 50°，将其折叠，如图2，使点A 与点B 重合，折痕为ED ，点E ，D 分别在AB ，AC 上，求∠DBC 的大小．

21．甲、乙两人分别从距目的地6公里和12公里的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果

甲比乙提前10分钟达到目的地．求甲、乙的速度．

图2(A )A B C D E

图1A B

C

方法一方法二

22．已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ，∠DCB=∠B ，若AC=10，AB=26，

求AD 的长．

五、解答题（共3道小题，23，24小题每题7分，25小题8分，共 22 分） 23．如图，四边形ABCD 中，AD =2，∠A =∠D = 90°，∠B = 60°，BC =2CD ． （1）在AD 上找到点P ，使PB +PC 的值最小．保留作图痕迹，不写证明； （2）求出PB +PC 的最小值．

24．如图，AD 是△ABC 的角平分线，点F ，E 分别在边AC ，AB 上，且FD =BD ． （1）求证∠B +∠AFD =180°；

（2）如果∠B +2∠DEA =180°，探究线段AE ，AF ，FD 之间满足的等量关系，并证明．

A

B

C D A

B

C

D

A

C

B

E

D

F

25．已知A (-1，0)，B (0，-3)，点C 与点A 关于坐标原点对称，经过点C 的直线与y 轴交于点D ，

与直线AB 交于点E ．

（1）若点D ( 0，1)， 过点B 作BF ⊥CD 于F ，求∠DBF 的度数及四边形ABFD 的面积； （2）若点G （G 不与C 重合）是动直线CD 上一点，点D 在点（0，1）的上方，且BG =BA ，试

探究∠ABG 与∠ECA 之间的等量关系.

备用图

x

O

y

x

O

y

昌平区2013—2014学年第一学期初二年级质量监控

数学试卷参考答案及评分标准 2014．1

一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）

题 号 1

2

3

4

5

6

7

8

答 案

B

D

D

C

A

B

C

C

二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）

题 号 9 10

11

12

答 案

x ≥-2

20或22

4

2013，1+n

三、解答题（共6 道小题，每小题5分，共 30 分）

13．解：原式=1-23-22+ ……………………………………………… 4分 =4-23． ……………………………………… 5分 14．解：原式=a (x 2

-2x +1) ………………………………………… 2分 =a (x -1)2

． ………………………………………………… 5分

15．解：原式=y x x

xy y xy x +????

? ??-22 ……………………………………… 2分

= y

x x

xy y x +?-22 ……………………………………… 3分 =

y x x

xy y x y x +?

-+))(( …………………………………………… 4分 =

y

y

x -． …………………………………… 5分 16．证明：∵ C 是线段AB 的中点，

∴ AC =BC ． ……………………… 2分 ∵ ∠ACE =∠BCD ，

∴ ∠ACD =∠BCE ． ……………………………………… 3分 ∵ ∠A =∠B ，

∴ △ADC ≌△BEC ． ……………………… 4分 ∴ AD = BE ． ……………………………………………………………… 5分

E

D

B

C A

17．解： 2(x +2)+x (x +2)=x 2

………………………………………………………… 2分 2x +4+x 2+2x =x 2

4x =-4． …………………………………………………………… 3分 x =-1． ……………………………………………………… 4分

经检验x =-1是原方程的解． ………………………………………… 5分 ∴ 原方程的解为x =-1．

18．解：原式=4x 2-9-4x 2+4x +x 2-4x +4 ……………………… 3分

=x 2-5． ……………………………………… 4分

当x 2=3时，原式=3-5=-2． ………………………………… 5分

四、解答题（共 4 道小题，每小题5分，共 20 分） 19．解：画出一种方法，给2分，画出两种方法给5分．

20．解：∵ △ABC 中，AB =AC ，∠A = 50°，

∴ ∠ABC =∠C=6 5°. ……………… 2分 由折叠可知：∠ABD =∠A=50°. ……………… 4分 ∴ ∠DBC=6 5°-50°=15°. ……………… 5分

21．解：设甲、乙两人的速度分别为每小时3x 千米和每小时4x 千米． ………………………… 1分

根据题意，得

6112

364x x

+=

． ……………………………… 3分 解这个方程，得 x =6． ……………………………… 4分 经检验：x =6是所列方程的根，且符合题意． ∴ 3x =18，4x =24．

答：甲、乙两人的速度分别为每小时18千米和每小时24千米． ……………… 5分

方法一

方法二

图2

(A )A

B C

D E

图1A

B C

22．解：如图，延长CD 交AB 于点E . ……………… 1分

∵ AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ， ∴ ∠EAD = ∠CAD ，∠ADE=∠ADC =90°. ∴ ∠AED=∠ACD . ……………… 2分 ∴ AE=AC . ∵ AC=10，AB=26，

∴ AE=10，BE=16. ……………… 3分 ∵ ∠DCB=∠B ， ∴ EB= EC=16. ∵ AE= AC ，CD ⊥AD ，

∴ ED= CD=8. ……………………………………………… 4分 在Rt △ADC 中，∠ADC =90°，

∴22AD AC CD =-=22108-=6． ……………………………………… 5分

五、解答题（共3道小题，23，24小题每题7分，25小题8分，共 22 分）

23．解：（1）如图，延长CD 到点E 使DE =CD ，连接BE 交AD 于点P ． ……………… 2分

PB +PC 的最小值即为BE 的长．

（2）过点E 作EH ⊥AB ，交BA 的延长线于点H ． ∵ ∠A =∠ADC = 90°，

∴ CD ∥AB ．

∵ AD =2， ∴ EH =AD =2． ……………… 4分 ∵ CD ∥AB ， ∴ ∠1=∠3．

∵ BC =2CD ,CE=2CD ， ∴ BC = CE ． ∴ ∠1=∠2． ∴ ∠3=∠2．

∵ ∠ABC = 60°，

∴ ∠3=30°． ……………… 6分 在Rt △EHB 中，∠H =90°，

∴ BE =2HE =4． ………………………………………………… 7分 即 PB +PC 的最小值为4．

3

2

1

H P E D C B A D

C

B

A

E

24．解：（1）在AB 上截取AG =AF ．

∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠FAD =∠DAG ． 又∵AD =AD ， ∴△AFD ≌△AGD ．

∴∠AFD =∠AGD ，FD =GD ．

∵FD =BD ， ∴BD=GD ， ∴∠DGB=∠B ，

∴∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°． ………………………………………………… 4分 （2）AE = AF +FD ． ………………………………………………… 5分

过点E 作∠DEH=∠DEA ，点H 在BC 上． ∵∠B +2∠DEA =180°， ∴∠HEB =∠B ．

∵∠B+∠AFD=180°， ∴∠AFD =∠AGD =∠GEH ， ∴GD ∥EH ．

∴∠GDE =∠DEH =∠DEG ． ∴GD =GE ． 又∵AF =AG ，

∴AE =AG +GE =AF +FD ． ………………………………………………… 7分 25．解：（1）如图1，依题意，C （1，0），OC ＝1.

由D （0，1）,得OD ＝1.

在△DOC 中，∠DOC ＝90°，OD ＝OC ＝1.

可得 ∠CDO ＝45°. …………………1分 ∵ BF ⊥CD 于F ，

∴ ∠BFD ＝90°.

∴ ∠DBF ＝90°-∠CDO =45°. …………………2分 ∴ FD =FB 。

由D （0，1）, B （0，-3）,得BD ＝4.

在Rt △DFB 中，∠DFB =90°，根据勾股定理，得 ∴ FD =FB =22．

∴11

2222422BFD S BF FD ?=

?=??=. 而11

41222

ABD S BD AO ?=?=??=,

四边形ABFD 的面积=4+2=6. …………………5分

H F

D E B C

A

G C

D E

F

B

A

O

y

x

-3

-1

1

（2）如图2，连接BC . ∵ AO =OC ，BO ⊥AC ，

∴ BA =BC .

∴ ∠ABO =∠CBO .

设 ∠CBO =α，则∠ABO =α，∠ACB =90?-α. ∵ BG =BA ， ∴ BG =BC . ∵ BF ⊥CD ，

∴ ∠CBF =∠GBF .

设∠CBF =β，则∠GBF =β，∠BCG ＝90?-β. ∵ ∠ABG =222(),αβαβ+=+

∠ECA =180(90)(90).αβαβ----=+

∴ ∠ABG =2∠ECA . ……………………8分

图2

C

D E

F

B

A

O

y

x

-3

-1

1

G