2017-2018学年广西桂林市高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

桂林市2017-2018学年上学期期末质量检测

高二年级数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设,a b R ∈，且a b >，则下列判断一定正确的是（ ）

A ．33a b >

B ．22a b >

C ．11a b

< D ．a b > 2. 下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）

A ．22

14y x -= B ．2214x x -= C ．2212y x -= D ．2

212x x -= 3. 在ABC ?中，已知03,2,45a b B ==∠=，那么角A 等于（ ）

A ．030

B ．030或0150

C ．060

D ．060或0120

4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A -，点(1,1)B -是动点，且直线AP 与BP 的斜之积等于13

，则动点P 的轨迹方程为（ ）

A ．2232x y -=-

B ．2232(1)x y x -=-≠±

C ．2232x y -=

D ．2232(1)x y x -=≠± 5.设变量,x y 满足线性约束条件211y x y x y ≤??+≥??-≤?

，则目标函数3z x y =+的最大值是 （ ）

A ．12

B ．11

C ．3

D ．1-

6. 已知命题：p q ∧ 为真，则下列命题是真命题的是（ ）

A ．()()p q ?∧?

B ．()()p q ?∨?

C ．()p q ∨?

D ．()p q ?∧

7. 已知点P 是椭圆22

21(2)4

x y a a +=>上的一点，12,F F 分别是椭圆的左右焦点，且12PF F ?的周长是12，则椭圆的离心率为（ ）

A ．45

B ．56

C ．12

D ．22

8. 在ABC ?中，三个角,,A B C 对应的三边分别是,,a b c ，若222sin sin 3sin sin sin B A B C C -=-，则角A 等于（ ）

A ．3π

B ．4π

C ．

6π D ．12π 9. 设x R ∈，则“2450x x --<”是“2650x x ++<”的（ ）

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

10. 设()471031022222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（ ）

A ．2(81)7n -

B ．12(81)7n +-

C ．32(81)7n +-

D ．42(81)7

n +- 11. 设ABC ?中，三个角,,A B C 对应的三边分别是,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，则角B 的取值范围是（ ）

A ．(0,]6π

B ．[,)6ππ

C ．(0,]3π

D ．[,)3π

π 12. 以椭圆22

195

x y += 上的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 坐标为(2,1)，双曲线C 上点0000(,)(0,0)P x y x y >> ，满足1212

PM PF PM PF PF PF ??= ，则12PMF PMF S S ??-的值为（ ）

A ．12

B ．1

C ．2

D ．4 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知{}n a 为等差数列，4518a a +=，则8S = ．

14.过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=， 那么AB = ．

15.若命题“对1x ?>，都有21a x x ≤+

-”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 16.过双曲线2

221y x b

-=的右焦点F 作一条直线l ，直线l 与双曲线相交于,A B 两点，若有且仅有三条 直线l ，使得弦AB 的长度恰好等于2，则双曲线离心率的取值范围为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知等差数列{}n a 满足124310,2a a a a +=-=.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？

18. 在如图所示四边形ABCD 中，003,53,2,120,752

AD DC AC BC ADC BCD ===

∠=∠=,求四边形ABCD 的面积.

19.甲乙两地相距100km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80/km h ，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的19

倍，固定成本为a 元. （1）将全程匀速匀速成本y （元）表示为速度(/)v km h 的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）若400a =，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？

20. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线:(2)l y k x =+.

（1）若抛物线C 和直线l 没有公共点，求k 的取值范围；

（2）若0k <，且抛物线C 和直线l 只有一个公共点M 时，求MF 的值.

21.已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2()n n S a n N +=+∈.

（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；

（2）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .

22.设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，如图所示，过点A 作与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q += ，过三点2,,A Q F 的圆恰好与直线:330l x y --=相切.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过右焦点2F 作斜率为的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以,PM PN 为临边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

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高二年级数学（理）参考答案及评分标准

一、选择题

1-5:AADBB 6-10: CACBD 11、C 12：C

二、填空题

13. 72 14.8 15. 221a >+ 16.(1,2)

三、解答题

17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，

则431121

242102a a d a a a a d d -===?????+=+==?? ，所以1(1)22n a a n d n =+-=+. （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，

因为23378,16b a b a ====，所以12,4q b ==，

所以61642128b -=?=，

由12822n =+，得63n =，所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.

18.解：（1）由AD DC =，得00

0180120302

DAC DCA -∠=∠==， 连接对角线AC ，在ADC ?中， 由正弦定理，得sin sin AD AC ACD ADC =∠∠，即00

53sin 30sin120AD =，解得5AD =， 在ABC ?中，000753045BCA BCD ACD ∠=∠-∠=-=，

则11sin sin 22

ABCD ACD ACB S S S AD DC ADC AC BC ACB ???=+=??∠+??∠ 00113255sin12053sin 45103222

=???+???=. 19.解：（1）可变成本为219v ，固定成本为a 元，所用时间为

100v ， 所以21001()9y v a v =+，即1100()9a y v v

=+，定义域为(0,80]. （2）14004000100()93y v v =+≥，当且仅当4009v v

=，即60v =时，等号成立， 所以当60v =时，min 40003

y =， 答：当货车以60/km h 的速度行驶，全程运输成本最小.

20.解：（1）联立方程24(2)1

y x y k x ?=?=++? ，

整理得244(21)0ky y k -++=，

由抛物线C 和直线l 没有公共点，则0?<，

即216(21)0k k -+-<，解得1k <-或12

k >. （2）当抛物线C 和直线l 只有一个公共点时，记公共点坐标为00(,)M x y ， 由0?=，即216(21)0k k -+-=，解得1k =-或12k =

， 因为0k <，故1k =-，

将1y x =--代入24y x =得2210x x -+=，解得01x =， 由抛物线的定义知：01122

p MF x =+=+=. 21.解：（1）当1n =时，112S a a ==+，

当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，

因为{}n a 是等比数列，

所以111221a a -=+==，即11,1a a ==- ，

所以数列{}n a 通项公式为12()n n a n N -+=∈.

（2）由（1）得1(21)(21)2n n n b n a n -=-=-?，

则22111325272(21)2n n T n -=?+?+?+?++-? 232112325272(23)2(21)2n n n T n n -=?+?+?+?++-?+-? ， 两式相减可得23211

1122222222(21)22n n n T n --=?+?+?+?++?--? 23112(2222)(21)2n n n -=++++++--? 114(21)(21)2(32)2n n n n n -=+---?=-?，

所以3(23)2n n T n =+-?

22.解：设0(,0)Q x ，由2(,0),(0,)F c A b ，

知20(,0),(,)F A c AQ x b =-=- ，因为2F A AQ ⊥ ，所以2

2000,b cx b x c

--==-， 由于12220F F F Q += ，即1F

为2F Q 的中点， 故2

2b c c c

-+=-，所以22223b c a c ==-，即2a c =， 于是21

3(,0),(,0)22F a Q a -，于是2AQF ?的外接圆圆心为1(,0)2

a ，半径r a =， 该圆与直线330x y --=，则1322

a a --=，解得2a =， 所以1,3c

b ==，所求椭圆的方程为22

143

x y +=. （2）由（1）可知2(1,0)F ，

设:(1)l y k x =-，联立方程组22(1)143

y k x x y =-???+=??，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2

1212122

8,(2)34k x x y y k x x k +=+=+-+， 11221212(,)(,)(2,)PM PN x m y x m y x x m y y +=-+-=+-+ ，

由于菱形的对角线垂直，故()0PM PN MN +?= ,