线性代数：可交换整理

下面是可交换矩阵的充分条件：

(1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换;

(2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换;

(3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换;

(4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换;

(5) 设A , B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且对角线上的子块均可交换，则A ,

B 可交换;

(6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换;

(7) 设A可逆,则A 与其逆矩阵可交换;

注：A的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换。

(8) （n=0,1..., ）可与(m=0,1..., )交换.这一点由矩阵乘法的结合律证明。

定理2

(1) 设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B 可交换;

(2) 设A m +αAB = E ,其中m 为正整数,α为非零实数,则A , B 可交换.

定理3

(1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换;

(2) 设A , B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - k·E) B ,则A , B 可交换.

定理4

下列均是A , B 可交换的充要条件:

(1) A2 - B2 = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B)

(2) ( A ±B) 2 = A 2 ±2 AB + B2 ;

(3) ( AB)T= ATBT;

(4) ( AB)*= A*B*

定理5

可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：

(AB) = A ·B .

定理6

(1) 设A , B 均为(反) 对称矩阵, 则A , B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵;

(2) 设A , B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A , B 可交换的充要条件是AB 为反对称性质1

设A , B 可交换,则有:

(1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整数;

(2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换;

(3) A - B = ( A - B ) ( A + A B …+B ) = ( A + A B + …+ B) ( A - B)

(4) ( A + B )^m =

(矩阵二项式定理)

性质2

设A , B 可交换,

(1) 若A , B 均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵;

(2) 若A , B 均为幂等矩阵, 则AB , A + B -AB 也为幂等矩阵;

(3) 若A , B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵;

(4) 若A , B 均为幂零矩阵,则AB , A + B 均为幂零矩阵.

若A,B可交换，则A，B可同时上三角化。