高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附答案解析

高中数学《三角函数与解三角形》知识点归纳

一、选择题

1．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}

0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（） A ．35,

22??

????

B ．35,22??

???

C ．725,

26??

????

D ．725,26??

???

【答案】D 【解析】【分析】

化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间．【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣

），作出f （x ）的函数图象如图所示：

令2sin （ωx ﹣

3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=

+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω

，k ∈Z ，设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A =

322ππωω+，x B =46ππ

ωω

+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，

即

322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜．故选B ．

【点睛】

本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．

2．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9

）的图象上所有点（） A ．向左平移518

个单位长度 B ．向右平移518

个单位长度 C ．向左平移536π

个单位长度 D ．向右平移

536

个单位长度【答案】D 【解析】【分析】

先将函数cos 29y x π??

=- ??

转化为7sin 218

y x π??

，再结合两函数解析式进行对比，得出结论．【详解】函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ????

???

???=-

=-+=+=++ ? ? ? ????

??????

??? ∴要得到函数sin 29y x π?

?=+ ??

?的图象，

只需将函数cos 29y x π?

=- ??

?的图象上所有点向右平移

536

个单位长度，故选D ．【点睛】

本题考查函数()sin y A x b ω?=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．

3．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（） A ．1

x << B ．

x << C ．12x << D ．01x <<

【答案】D 【解析】【分析】

根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】

将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，

设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则

cos 0A '∠<，

所以()()()()()2222342340x x x x x x x ?+++<+?

+++>+??>?

，解得01x <<.

故选：D. 【点睛】

本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形

【答案】C 【解析】【分析】

根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案．【详解】

根据题意，在ABC ?中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=，变形可得：

sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，

即有sin sin a A c C =，

又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ．【点睛】

本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．

5．已知在锐角ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

2cos cos b C c B =，则

111

tan tan tan A B C

++的最小值为（） A

．【答案】A 【解析】【分析】

先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】

∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴

()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+????22

tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1

B C B B

B C B B +=-

=-=---， ∴21112tan 111

tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++

27tan 3

6tan B B =+. 又∵在锐角ABC ?中, tan 0B >,

∴

27tan 36tan B B +≥=

，当且

仅当tan 2

B =

时取等号，

∴min

111tan tan tan 3A B C ??++=

??，故选A. 【点睛】

本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.

6．已知函数sin(),0

()cos(),0

x a x f x x b x +≤?=?

+>?的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移

（）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（）. A ．

π B ．3

π C ．

π D ．π

【答案】D 【解析】【分析】

根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(

),0,0sin x a x f x cos x b x ?+≤?

+>??的图像关于y 轴对称，所以

sin cos 22a b ππ????

-+=+ ? ?????

，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π

2π()2

a b k k Z +=

+∈，从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】

本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.

7．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πω?ω???

=+∈>>< ??

的图象（部分）如图所示，则ω，?分别为（）

A ．,3

ωπ?==

B ．2,3

ωπ?==

C ．,6

ωπ?==

D ．2,6

ωπ?==

【答案】C 【解析】【分析】

由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23

f =确定?. 【详解】由图可得，2A =，511

4632T =-=，所以22T πω

==，ωπ=，又1()23f =，

所以12sin()23π??+=，2,32k k Z ππ?π+=+∈，即2,6

k k Z π

?π=+∈，又2

，故6

?. 故选：C 【点睛】

本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中

档题.

8．锐角ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若

()sin 303A B C π?

?+++= ???，2b =26c +=，则角B =（）

A ．

π B ．

π C ．

π D ．

512

π 【答案】B 【解析】【分析】

先由()sin 03A B C π??

++= ??

?求出3

A π

，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】

因为()sin 03A B C π??

+++= ??

所以

11sin sin 022A A A A A +==

所以tan A =0,2A π?

∈ ??

，所以3

A π

所以由余弦定理得：

22co 12322s a b c bc A -=+-=+=??

所以a =

所以2

222

32cos 22a c b B ac +-+-===

因为0,2B π??

∈ ??

，所以4

B π

故选：B 【点睛】

本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.

9．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω?

?=+>< ??

?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关

于y 轴对称，且1π2f ω??

=- ???

，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（）

A ．()sin 26f x x π?

B ．()sin 2π6f x x ?

?=- ???

C ．()sin 4π6f x x ?

?=+ ??

D ．()sin 4π6f x x ?

?=- ??

【答案】C 【解析】【分析】

由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由

12f πω??

=- ???

，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．

【详解】

解：将函数()()sin (0,)2

f x x π

ωφωφ=+><

的图象向右平移

个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ??

=-+ ???

的图象；

∵所得图象关于y 轴对称，∴6

k ωπ

φπ-+=+

，k Z ∈．

∵()1sin sin 2f ππφφω??=-=+=- ?

，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63

k ωπ

π-

，620k ω=-->,

则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π??

=+ ??

. 故选C ．【点睛】

本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．

10．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3

C π

<”，则p 是q 的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】【分析】

由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】

充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，

整理得，22

12cos a b C ab

++>，

由基本不等式，222a b ab ab

+≥=，

当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1

cos 2C >，解得3

C π<，充分性得证；

必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291

cos 247562

C +-==>??，

故3

C π

，但228ab c =<，故3

C π

推不出2ab c >.

故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】

本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.

11．在ABC ?中，060,A BC D ∠==是边AB 上的一点，CD CBD =?的面积

为1，

则BD 的长为（） A ．

B ．4

C ．2

D ．1

【答案】C 【解析】

sin 1sin

2BCD BCD ∠=∴∠=

242

BD BD ∴=-=∴=,选C

12．若函数()sin()f x A x ω?=+（其中0A >，||)2

?<图象的一个对称中心为(

，

0)，其相邻一条对称轴方程为712

x π

，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )

A ．向右平移

个单位长度 B ．向左平移12

个单位长度

C ．向左平移6

个单位长度 D ．向右平移

个单位长度

【答案】B 【解析】【分析】

由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出?的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ω?=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【详解】

根据已知函数()()sin f x A x ω?=+

(其中0A >，)2π

的图象过点,03π?? ???，7,112π??

???

，可得1A =，

1274123

πππω?=-，解得：2ω=．再根据五点法作图可得23

?π?+=，

可得：3

，

可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π??

故把()sin 23f x x π?

?=+ ??

?的图象向左平移12π个单位长度，可得sin 2cos23

6y x x π

π?

=++

= ??

的图象，故选B ．【点睛】

本题主要考查由函数()sin y A x ω?=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出?的值，函数()sin y A x ω?=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．

13．若,2παπ??∈ ???

，2cos2sin 4παα??

=- ???，则sin 2α的值为（）

A ．7

B ．

C ．18

D ．

【答案】A 【解析】【分析】

利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4

αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得；【详解】

解：因为2cos2sin 4παα??

???

所以(

)

2cos sin sin

cos cos

sin 4

αααα-=-

所以()())2cos sin cos sin cos sin αααααα-+=

- ,cos sin 02παπαα??∈-≠ ???

Q ，

所以cos sin 4

αα+=

所以()2

1cos sin 8αα+=，即22

1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28

α+= 所以7sin 28

α=- 故选：A 【点睛】

本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；

14．已知sin α，sin()10

αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（） A ．

512

B ．

π C ．

π D ．

π 【答案】C 【解析】【分析】由题意，可得22

αβ-

<-<

，利用三角函数的基本关系式，分别求得

cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.

【详解】

由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2

π.

又sin(α－β)，∴cos(α－β).

又sin α

＝

5，∴cos α

＝5

， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝

－

×10??- ? ???

.∴β＝4π. 【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15．在OAB ?

中，已知OB =u u u v 1AB u u u v

=，45AOB ∠=?，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v

的最小值为（）

【答案】A 【解析】【分析】

根据OB =u u u r

,1AB =uu u r ,45AOB ∠=?,由正弦定理可得OAB ?为等腰直角三角形,进而求得

点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r

.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r

的最小值.

【详解】

在OAB ?中,

已知OB =u u u r

,1AB =uu u r ,45AOB ∠=?

由正弦定理可得sin sin AB OB

AOB OAB

∠∠u u u r u u u r

sin OAB =

∠,解得sin 1OAB ∠=

即2

OAB π∠=

所以OAB ?为等腰直角三角形

以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:

则点A 坐标为22,22? ??

所以2222OA ?= ??u u u r ,)

2,0OB =u u u

因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r

则)

222,022OP λμ

? =+ ??

u u u r 222,22λμλ??

? ???

= 则2

22222OP λμλ??=++??

? ? ? ?

????

u u u r 2222λλμμ=++

因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得

()()2

2322232λλλλ+-+-218518λλ-=+2

99555λ?

?=-+ ??

?所以当95λ=时, min 935

5OP ==

u u u r 故选:A 【点睛】

本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.

16．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ?的面积

S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ?的面积为（）

．

．【答案】A 【解析】【分析】

根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得

sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据

sin 0C ≠，得1

cos 3

A =-

，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=

，代入公式=S . 【详解】

由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，因为sin 0C ≠，所以1cos 3

A =-

，由余弦定理2

2cos 23

a b c bc A bc --=-=

=，所以3bc =，由ABC ?

的面积公式得

S ===故选：A 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

17．将函数cos y x =的图象先左移4

π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的1

2，所得图象

的解析式为（） A ．sin 24y x π??

B ．1

3sin 2

4y x π??=+

???

C ．1

sin 2

4y x π??=+ ???

D ．3sin 24y x π?

?=+ ??

? 【答案】D

【分析】

根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】

cos sin 2y x x π??==+ ??

?向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π?

?=+ ???，

纵坐标不变，横坐标缩为原来的12

，变为3sin 24y x π?

?=+ ???. 故选：D . 【点睛】

本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.

18．函数()2

2sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ??

∈-

????的值域为（） A ．40,3??????

B ．41,3

??????

C ．51,4

??????

D ．50,4

??????

【答案】A 【解析】【分析】

化简得到()2

3sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】

根据2

sin cos 1x x +=，得()2

3sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ??

∈-????

，令sin t x =，由2,36x ππ??

∈-

????，得1sin 1,2x ??∈-????

，故[]0,1t ∈，有2

321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13

t =

，当1

3t =

时，最大值43

y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3??

????

. 故选：A . 【点睛】

本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.

19．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若

2sin sin sin B C A ?=，则ABC ?的形状是（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

【解析】【分析】

直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】

在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．

则：2221

222

b c a bc cosA bc bc +-===，

由于：0＜A ＜π，

故：A 3

．

由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，

所以：△ABC 为等边三角形．故选C ．【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

20．已知曲线1:sin C y x =，21

:cos 2

3C y x π??=- ???，则下面结论正确的是（）

A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π

个

单位长度，得到曲线2C

B ．把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3

π个单位长度，得到曲线2C

C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个

单位长度，得到曲线2C

D ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3

π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D

【分析】

根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】

A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12

倍得：sin 2y x =；向右平移3π

个单位长度后

得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ???

????

?=-=-=--=-- ?

? ? ????????

?，A 错误；

B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin

y x =；向右平移3π

个单位长度后

得：11121sin sin cos cos 232622

632y x x x x πππππ??????????

=-=-=--=- ? ? ? ?????????????，B 错误；

C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12

倍得：sin 2y x =；向左平移3π

个单位长度后

得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ???

????

?=+=+=++=+ ?

? ? ????????

?，C 错误；

D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin

y x =；向左平移3π

个单位长度后

得：1111

sin sin cos cos 232622

623y x x x x πππππ??????????=+=+=-+=- ? ? ? ?????????????，D 正确. 故选：D 【点睛】

本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.

2018年高考数学试题分类汇编-向量

1 2018高考数学试题分类汇编—向量一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案

新高考数学《不等式》练习题一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）

A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得 1 1322 a d a =--，当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立；当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：可行域

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项．方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.2 3 B ．1

C.32 D ．3 答案 D 解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析作出可行域如图．图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

高考数学19个专题分章节大汇编

高考理科数学试题分类汇编：1集合一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134，， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12，【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是

高三数学模考易错题汇总

高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-<

2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编一、集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–11}，则A ∪B = （A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞） 7，（天津文、理，1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ，则A B = . 10，（上海1）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = ．一、集合(2020) 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则 a =（） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.

高考数学试题分类汇编算法初步

高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是（A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C

4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是。【答案】5

Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。【答案】 2 3

11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：众数、中位数

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A

解析根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积．全国1卷理科理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科：

高考数学易错题举例解析

咼考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ?忽视等价性变形，导致错误。 x>0 y>0x + y>0 xy>0 ，但 x>1 y>2 与 x + y>3 xy >2 不等价。【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。 3 a b0① 错误解法由条件得b 32a 26② ②X 2 —① 6 a15③ ①X 2—②得8 b2④ 3 33 ③+④得10 3a b43 J 即 10 —f(3) 43 33333 错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时 b 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。 f⑴ a b 正确解法由题意有 b 、解得： f(2)2a - 2 1 a §[2f(2)f (1)],b j[2f(1) f(2)], f (3) 3a b 16 f(2) 5 -f (1). 16 37 把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3) 3 99 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ?忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】 2 2 2

⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是 49 十亠亠 (A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在 4