现代控制理论实验报告

现代控制理论实验报告

二〇一六年五月

实验一 线性定常系统模型

一 实验目的

1. 掌握线性定常系统的状态空间表达式。学会在MATLAB 中建立状态空间模型的方法。

2. 掌握传递函数与状态空间表达式之间相互转换的方法。学会用MATLAB 实现不同模型之间的相互转换。

3. 熟悉系统的连接。学会用MATLAB 确定整个系统的状态空间表达式和传递函数。

4. 掌握状态空间表达式的相似变换。掌握将状态空间表达式转换为对角标准型、约当标准型、能控标准型和能观测标准型的方法。学会用MATLAB 进行线性变换。

二 实验内容

1. 已知系统的传递函数

)

3()1(4

)(2

++=

s s s s G (1）建立系统的TF 或ZPK 模型。

（2）将给定传递函数用函数ss( )转换为状态空间表达式。再将得到的状态空间表达式用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。

（3）将给定传递函数用函数jordants( )转换为对角标准型或约当标准型。再将得到的对角标准型或约当标准型用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。

（4）将给定传递函数用函数ctrlts( )转换为能控标准型和能观测标准型。再将得到的能控标准型和能观测标准型用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。

2. 已知系统的传递函数

u x x ??

?

???+??????--=106510 []x y 11=

（1）建立给定系统的状态空间模型。用函数eig( ) 求出系统特征值。用函数tf( ) 和zpk( )将这些状态空间表达式转换为传递函数，记录得到的传递函数和它的零极点。比较系统的特征值和极点是否一致，为什么?

（2）用函数canon( )将给定状态空间表达式转换为对角标准型。用函数eig( )求出系统特征值。比较这些特征值和（1）中的特征值是否一致，为什么? 再用函数tf( )和zpk( )将对角标准型或约当标准型转换为传递函数。比较这些传递函数和（1）中的传递函数是否一致，为什么?

（3）用函数ctrlss( )将给定的状态空间表达式转换为能控标准型和能观测标准型。用函数eig( )求系统的特征值。比较这些特征值和（1）中的特征值是否一致，为什么?再用函数tf( )将它们转换为传递函数。比较这些传递函数和（1）中的传递函数是否一致，为什么?

三 实验结果

1. 已知系统的传递函数 )

3()1(4

)(2

++=s s s s G

>> num=4; >> den=[1 5 7 3 0]; >> G=tf(num,den)

Transfer function: 4 ------------------------- s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 s >> z=[]; >> p=[0 -1 -1 -3]; >> k=4; >> G=zpk(z,p,k)

Zero/pole/gain: 4 --------------- s (s+1)^2 (s+3)

>> Gss=ss(G)

a =

x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0

x2 0 -1 1 0

x3 0 0 -1 1

x4 0 0 0 -3

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 2

c =

x1 x2 x3 x4 y1 2 0 0 0

d =

u1

y1 0

Gtf=tf(Gss)

Transfer function:

4

-------------------------

s^4 + 5 s^3 + 7 s^2 + 3 s >> Gzpk=zpk(Gtf)

Zero/pole/gain:

4 --------------- s (s+3) (s+1)^2

2. u x x ???

???+??????--=106510 []x y 11=

>> A=[0 1; -5 -6 ];B=[0;1]; >> C=[1 1];D=0; >> G=ss(A,B,C,D) a =

x1 x2 x1 0 1 x2 -5 -6 b = u1 x1 0 x2 1 c =

x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 0

Continuous-time model.

>> a=[0 1 ;-5 -6] a =

0 1

-5 -6

>> eig(a)

ans =

-1

-5

>> Gtf=tf(G)

Transfer function:

s + 1

-------------

s^2 + 6 s + 5

>> Gzpk=zpk(Gtf)

Zero/pole/gain:

(s+1)

-----------

(s+5) (s+1)

结论：由上述结果可看出系统的特征值和极点是一致的。

>> A=[0 1; -5 -6 ];B=[0;1];

>> C=[1 1];D=0;

>> G=ss(A,B,C,D);

>> G1=canon(G,'modal')

a =

x1 x2

x1 -1 0

x2 0 -5

b =

u1

x1 0.559

x2 1.346

c =

x1 x2 y1 0 0.7428

d =

u1

y1 0

Continuous-time model. >> Gtf=tf(G1)

Transfer function:

1

-----

s + 5

>> Gzpk=zpk(Gtf)

Zero/pole/gain:

1

-----

(s+5)

实验二 线性定常系统状态方程的解

一 实验目的

1. 掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB 求解状态转移矩阵。

2. 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。

二 实验内容

1. 求下列系统矩阵A 对应的状态转移矩阵

?

?

????-=0410A .令初始状态为??

?

???=01)0(x ，输入为零。

a) 用MATLAB 求状态方程的解析解。选择时间向量t ，绘制系统的状态响

应曲线。观察并记录这些曲线。

b) 用函数initial( )计算系统在初始状态作用下状态响应和输出响应的数值

解, 并用函数plot( ) 绘制系统的状态响应曲线和输出响应曲线。观察并记录这些响应曲线，然后将这一状态响应曲线与a)中状态响应曲线进行比较。

c) 根据b)中所得的状态响应的数值解，用命令plot(x(:,1), x(:,2))绘制系统的

状态轨迹。记录系统状态转移的过程，结合a)和b)中的状态响应曲线分析这一过程。

2. 已知系统

u x x ???

???+??????--=105610 []x y 01=

（1）令初始状态为??

?

???=01)0(x ，输入为零。

a) 用MATLAB 求状态方程的解析解。选择时间向量t ，绘制系统的状态响

应曲线。观察并记录这些曲线。

b) 用函数initial( )计算系统在初始状态作用下状态响应和输出响应的数值

解, 并用函数plot( ) 绘制系统的状态响应曲线和输出响应曲线。观察并记录这些响应曲线，然后将这一状态响应曲线与a)中状态响应曲线进行比较。

c) 根据b)中所得的状态响应的数值解，用命令plot(x(:,1), x(:,2))绘制系统的

状态轨迹。记录系统状态转移的过程，结合a)和b)中的状态响应曲线分析这一过程。 (2) 令初始状态为零，输入为)(1)(t t u =。

a) 用MATLAB 求状态方程的解析解。选择时间向量t ，绘制系统的状态响

应曲线。观察并记录这些曲线。

b) 用函数initial( )计算系统在初始状态作用下状态响应和输出响应的数值解,

并用函数plot( ) 绘制系统的状态响应曲线和输出响应曲线。观察并记录这些响应曲线，然后将这一状态响应曲线与a).中状态响应曲线进行比较。

c) 根据b)中所得的状态响应的数值解，用命令plot(x(:,1), x(:,2))绘制系统的

状态轨迹。记录系统状态转移的过程，结合a)和b)中的状态响应曲线分析这一过程。

（3）令初始状态为???

???-=11)0(x ，输入为)(1)(t t u =。求系统状态响应和输出响应

的数值解，绘制系统的状态响应曲线、输出响应曲线和状态轨迹。观察和分析这些响应曲线和状态轨迹是否是（1）和（2）中的响应曲线和状态轨迹的叠加。 （4） 令初始状态为零，输入为)5sin(3)(t t u =。用函数lsim( )计算状态响应和输出响应的数值解，并绘制系统的状态响应曲线、输出响应曲线和状态轨迹。 3. 已知系统

u x x ??

??

?

?????+??????????---=1006116100010 []x y 006=

且初始状态为????

?

?????-=101)0(x 。 （1）当输入为)()(t t u δ=时，用函数initial( )和impulse( )求解系统的状态响应和输出响应的数值解，并绘制系统的状态响应曲线、输出响应曲线和状态轨迹。 （2）当输入为)(1)(t t u =时，用函数initial( )和step( )求解系统的状态响应和输出响应的数值解，并绘制系统的状态响应曲线、输出响应曲线和状态轨迹。 （3）当输入为t t u =)(时，用函数initial( )和lsim( )求解系统的状态响应和输出

响应的数值解，并绘制系统的状态响应曲线、输出响应曲线和状态轨迹。 （4）当输入为)sin()(t t u =时，用函数initial( ) 和lsim( )求解系统的状态响应和输出响应的数值解，并绘制系统的状态响应曲线、输出响应曲线和状态轨迹。

三 实验结果

1.

??

??

??--=3210

A

>> A=[0 1;-2 -3];syms t; phet=expm(A*t) phet =

[ -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t)] [ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)] A=[0

1;-2

-3];syms

s;G=inv(s*eye(size(A))-A);phet=ilaplace(G);X0=[1

-1]';Xt1=phet*X0;

>> B=[0 1]';Xt2=ilaplace(G*B*(1/s)) >> ex22 xt1 = [ exp(-t)] [ -exp(-t)] xt2 =

[ 1/2-exp(-t)+1/2*exp(-2*t)] [ exp(-t)-exp(-2*t)]

2. 已知系统为

u x x ???

???+??????--=103210 []x y 11=

>> A=[0 1;-2 -3]; B=[0;1]; C=[1 1]; D=0; G=ss(A,B,C,D) a =

x1 x2

x1 0 1

x2 -2 -3

b =

u1

x1 0

x2 1

c =

x1 x2

y1 1 1

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

>> t=0:0.5:10; x0=[1;-1];

>> [yo,t,xo]=initial(G,x0,t); plot(t,xo,':',t,yo,'-')

>>figure('pos',[50 50 200 150],'color','w')；

u=ones(size(t));

[yu,t,xu]=lsim(G,u,t); plot(t,xu,':',t,yu,'-')

实验三 线性定常系统的能控性和能观性

一 实验目的

1. 掌握能控性和能观测性的概念。学会用MATLAB 判断能控性和能观测性。

2. 掌握系统的结构分解。学会用MATLAB 进行结构分解。

3. 掌握最小实现的概念。学会用MATLAB 求最小实现

二 实验内容

1. 已知系统

u x x ??????+??????---=140143 []x y 11--=

（1）判断系统状态的能控性和能观测性，以及系统输出的能控性。说明状态能 控性和输出能控性之间有无联系。

（2）令系统的初始状态为零，系统的输入分别为单位阶跃函数和单位脉冲函数。用MATLAB 函数计算系统的状态响应和输出响应，并绘制相应的响应曲线。观察和记录这些曲线。当输入改变时, 每个状态变量的响应曲线是否随着改变？能否根据这些曲线判断系统状态的能控性？

（3） 将给定的状态空间表达式变换为对角标准型，判断系统的能控性和能观测性，与（1）的结果是否一致？为何？

（4）令（3）中系统的初始状态为零， 输入分别为单位阶跃函数和单位脉冲函数。用MATLAB 函数计算系统的状态响应和输出响应，并绘制响应的曲线。观察和记录这些曲线。当输入改变时, 每个状态变量曲线是否随着改变？能否根据这些曲线判断系统以及各状态变量的能控性？不能控和能控状态变量的响应曲线有何不同？

（5）根据（2）和（4）所得曲线能否判断系统状态以及各状态变量的能观测性？ 2. 已知系统

u x x

?

????

?

??????+????????????----=00124000020000300001

[]x

1

=

1

y0

（1）将给定的状态空间模型转换为传递函数模型。令初始状态为零，用MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，绘制和记录相应的曲线。

（2）按能控性分解给定的状态空间模型并记录所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型。它与（1）中所得的传递函数模型是否一致？为何？令初始状态为零，用MATLAB计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线。这一曲线与（1）中的输出曲线是否一致？为何？

（3）按能观测性分解给定的状态空间模型并记录分解所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型。它与（1）中的传递函数模型是否一致？为何？令初始状态为零，用MATLAB计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线。这一曲线与（1）中的输出曲线是否一致？

（4）按能控性能观测性分解给定的状态空间模型并记录分解所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型。它与（1）中的传递函数模型是否一致？为何？令初始状态为零，用MATLAB计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应的曲线。这一曲线与（1）中的输出曲线是否一致？为何？

三实验结果

1.

(1)

>> A=[-3 -4;-1 0]; B=[4;1]; Uc=ctrb(A,B)

Uc =

4 -16

1 -4

>> rank(Uc)

ans =

1

因为rank(Uc)=1≠n=2，所以系统的状态不完全能控。

>> A=[-3 -4;-1 0];B=[4;1];C=[-1 -1];D=0;Uc=ctrb(A,B);Uy=[C*Uc D] Uy =

-5 20 0

>> rank(Uy) ans = 1

由于rank(Uy)=1=m, 故系统是输出能控的。

A=[-3 -4;-1 0];C=[-1 -1];D=0;V=obsv(A,C) V =

-1 -1 4 4

>> rank(V) ans = 1

由于rank(V)=1不等于n,故不能观。

按能控性分解

u x x ????

?

?????+??????????---=011310301100 []x y 210-=

>> A=[0 0 -1;1 0 -3;0 1 -3]; B=[1;1;0]; C=[0 1 -2]; [Ac Bc Cc Tc Kc]=ctrbf(A,B,C) Ac =

-1.0000 0.0000 -0.0000

-2.1213 -2.5000 0.8660

-1.2247 -2.5981 0.5000

Bc =

-1.4142

Cc =

1.7321 1.2247 -0.7071

Tc =

-0.5774 0.5774 -0.5774

0.4082 -0.4082 -0.8165

-0.7071 -0.7071 0

Kc =

1 1 0

2.

unction [Ak, Bk, Ck ,Tk]=kalmdec(A,B,C) %按能控能观测性分解

[Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf(A,B,C);

nc=rank(ctrb(A,B));

n=length(A); ic=n-nc+1:n;

[Ao1,Bo1,Co1,To1,Ko1]=obsvf(Ac(ic,ic),Bc(ic),Cc(ic));

if nc

[Ao2,Bo2,Co2,To2,Ko2]=obsvf(Ac(inc,inc),Bc(inc),Cc(inc));

end

[m1,n1]=size(To1); [m2,n2]=size(To2);

To=[To2,zeros(m2,n1);

zeros(m1,n2),To1];

T=To*Tc;

n1=rank(obsv(Ac(ic,ic),Cc(ic)));

n2=rank(obsv(Ac(inc,inc),Cc(inc)));

K=[zeros(1,n-nc-n2),ones(1,n2),2*ones(1,nc-n1),3*ones(1,n1)];

Ak1=T*A*inv(T);Bk1=T*B;Ck1=C*inv(T);

Ak=rot90(Ak1,2);

Bk=rot90(Bk1,2);

Ck=rot90(Ck1,2);

Tk=rot90(T,2);

>> A=[0 0 -1;1 0 -3;0 1 -3]; B=[1;1;0]; C=[0 1 -2]; [Ak Bk Ck Tk]=kalmdec(A,B,C) Ac =

-1.0000 0 1.2247

3.4641 -1.0000 -2.1213

-0.0000 0.0000 -1.0000

Bc =

-0.7071

-1.2247

Cc =

-1.4142 -0.0000 1.7321

Tc =

0.7071 -0.0000 -0.7071

-0.4082 -0.8165 -0.4082

-0.5774 0.5774 -0.5774

实验四 稳定性

一 实验目的

掌握系统稳定性的概念。学会使用MATLAB 确定线性定常系统和非线性定常系统的稳定性。

二 实验内容

1. 已知线性系统

x x ??

????=1001 （1）用函数eig( )，pole( )和zpkdata( )求出系统的特征值和极点。用函数pzmap( )绘制系统的零点和极点。确定系统的稳定性。

（2）任意给定对称正定矩阵Q ，用函数lyap( )求解Lyaponov 方程，确定系统的稳定性。与（1）的结果进行比较。

（3）令???

???=00B ，[]00=C ，0=D ，任意给定初始状态。用函数initial( )求出

系统的零输入响应，并绘制相应的状态响应曲线。说明稳定系统的状态响应曲线与不稳定系统的状态响应曲线的区别。

（4）令???

???-=11B ，[]11=C ，0=D ，初始状态为零。 用函数step( )求出系统

在单位阶跃信号作用下的状态响应和输出响应, 并绘制相应的曲线。分析系统的状态稳定和输出稳定是否一致。

2. 已知非线性系统

??

?+-=+-=32

2122113x x x x x x x

编制相应的程序，用克拉索夫斯基法确定系统在原点处的稳定性。

三实验结果

1.

(1) A=[1 0 ;0 1];

>> eig(A)

ans =

1

1

（2）A=[0 1;-2 -3];Q=eye(2);P=lyap(A,Q)

P =

1.0000 -0.5000

-0.5000 0.5000

>> s=posdef(P)

s =

matrix is positive definite matrix

可知系统是稳定的。

(2) function s=posdef(P) %判定矩阵的正定性r=length(P);

for i=1:r

pp(i)=det(P(1:i,1:i));

end

k=find(pp<0);j=find(pp==0);

if isempty(j)&isempty(k)