不等式选讲(二选一)-高考理科数学总复习练习

8.2不等式选讲(二选一)

命题角度1含绝对值不等式的图象与解法

高考真题体验·对方向

1.(2018全国Ⅲ·23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

解(1)f(x)=

y=f(x)的图象如图所示.

(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为 5.

2.(2017全国Ⅰ·23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

解(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①

当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;

当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;

当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1

(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.

所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.

又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,

所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.

所以a的取值范围为[-1,1].

3.(2016全国Ⅰ·24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(1)在图中画出y=f(x)的图象;

(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

解(1)f(x)=

y=f(x)的图象如图所示.

(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,

可得x=1或x=3;

当f(x)=-1时,可得x=或x=5,

故f(x)>1的解集为{x|1

f(x)<-1的解集为.

所以|f(x)|>1的解集为

.

新题演练提能·刷高分

1.(2018安徽淮南一模)设函数f(x)=|2x-4|+1.

(1)画出函数y=f(x)的图象;

(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.

解(1)由于f(x)=则y=f(x)的图象如图所示:

(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax 的图象有交点,故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围是(-∞,-2)∪,+∞.

2.(2018河北邯郸一模)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-

3.

(1)求不等式f(x)≤2的解集;

(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.

解(1)由f(x)≤2,得

解得0≤x≤5,故不等式f(x)≤2的解集为[0,5].

(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=作出函数f(x)的图象,如图所示,

直线y=kx-2过定点C(0,-2),当此直线经过点B(4,0)时,k=;

当此直线与直线AD平行时,k=-2.

故由图可知,k∈(-∞,-2)∪,+∞.

3.(2018安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.

(1)求不等式f(x)≤-6的解集;

(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.

解(1)f(x)=|x+1|-2|x|=

则不等式f(x)≤-6等价于

解得x≤-5或x≥7.故不等式f(x)≤-6的解集为{x|x≤-5或x≥7}.

(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,

则当a=-2时,△ABC的面积取得最大值×4×3=6,∴f(x)的图象与直线y=a围成图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a<-2.

∵△ABC的面积是6,∴梯形ABED的面积不小于8.

∵AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,

∴×(4-2a)×(-2-a)≥14-6=8,a2≥12.

又a<-2,则a≤-2,

故实数a的取值范围是(-∞,-2].

4.(2018福建漳州期末调研)已知函数f(x)=|2x-1|+2|x+2|.

(1)求函数f(x)的最小值;

(2)解不等式f(x)<8.

解(1)因为f(x)=|2x-1|+2|x+2|≥|(2x-1)-2(x+2)|=5,所以f(x)=

(2)当x<-2时,由-4x-3<8,解得x>-,

即-

当-2≤x≤时,5<8恒成立,即-2≤x≤;

当x>时,由4x+3<8,解得x<,

即

所以原不等式的解集为.

5.(2018江西九校联考)已知函数f(x)=|2x|-|x+3|.

(1)若对于任意的实数x,都有f(x)≥2m2-7m成立,求m的取值范围;

(2)若g(x)=ax,方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解,求a的取值范围.

解(1)由于f(x)=|2x|-|x+3|

=

所以f(x)的最小值为f(0)=-3.又因为对任意的实数x,都有f(x)≥2m2-7m成立,只需2m2-7m≤-3,即2m2-7m+3≤0,解得≤m≤3,故m的取值范围为,3.

(2)方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点,

作出这两个函数图象,由图象可知,a的取值范围是[-1,1)∪{-2}.

6.(2018湖北天门、仙桃、潜江联考)已知函数f(x)=,其中a>1.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;

(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.

解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=

当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1.

当2

当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,

解得x≥5.

∴f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.

(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),

则h(x)=

由|h(x)|≤2,解得≤x≤.

又已知≤2的解集为{x|1≤x≤2},

∴

于是a=3.

命题角度2绝对值不等式中的最值与参数范围问题

高考真题体验·对方向

1.(2018全国Ⅰ·23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.

解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,

即f(x)=

故不等式f(x)>1的解集为.

(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.

若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;

若a>0,|ax-1|<1的解集为0

所以≥1,故0

综上,a的取值范围为(0,2].

2.(2018全国Ⅱ·23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;

(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.

解(1)当a=1时,

f(x)=

可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.

(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.

由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).

3.(2017全国Ⅲ·23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.

解(1)f(x)=

当x<-1时,f(x)≥1无解;

当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,

解得1≤x≤2;

当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.

所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.

(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.

而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-,

且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.

故m的取值范围为.

4.(2016全国Ⅲ·24)已知函数f(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.

解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.

(2)当x∈R时,

f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|

≥|2x-a+1-2x|+a

=|1-a|+a,

当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(分类讨论)

当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.

当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.

所以a的取值范围是[2,+∞).

新题演练提能·刷高分

1.(2018江西新课程质量监测)已知函数f(x)=|x+1|-|x-a|,其中a为实数.

(1)当a=1时,解不等式f(x)≥1;

(2)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)<2恒成立,求a的取值范围.

解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|=

故f(x)≥1?x≥,即不等式f(x)≥1的解集是,+∞.

(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)<2?|x+1|-|x-a|<2?x+1-|x-a|<2?|x-a|>x-1,

当x∈[0,1)时,x-1<0,显然满足条件,此时a为任意值;

当x=1时,a≠1;当x∈(1,+∞)时,

可得x-a>x-1或a-x>x-1,求得a<1.

综上,a∈(-∞,1).

2.(2018山东济南一模)已知函数f(x)=|2x-2|-|x+2|.

(1)求不等式f(x)≥6的解集;

(2)当x∈R时,f(x)≥-x+a恒成立,求实数a的取值范围.

解(1)当x≤-2时,f(x)=-x+4,

∴f(x)≥6?-x+4≥6?x≤-2,故x≤-2;

当-2

∴f(x)≥6?-3x≥6?x≤-2,故x∈?;

当x≥1时,f(x)=x-4,

∴f(x)≥6?x-4≥6?x≥10,故x≥10.

综上可知:f(x)≥6的解集为(-∞,-2]∪[10,+∞).

(2)由(1)知:f(x)=

当x≤-2时,-x+4≥-x+a恒成立,∴a≤4,

当-2

∴a≤-2,

当x≥1时,x-4≥-x+a恒成立,∴a≤-2.

综上,实数a的取值范围为(-∞,-2].

3.(2018山西一模)已知函数f(x)=|x-1|-a(a∈R).

(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值;

(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值.

解(1)因为f(x)min=f(1)=-a,

所以-a≥3,解得a≤-3,即a max=-3;

(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|,

当a=-1时,g(x)=3|x-1|≥0,0≠3,所以a=-1不符合题意,

当a<-1时,g(x)=

即g(x)=

所以g(x)min=g(-a)=-a-1=3,解得a=-4,

当a>-1时,同法可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2.

综上,a=2或-4.

4.(2018山东潍坊一模)设函数f(x)=|ax+1|+|x-a|(a>0),g(x)=x2+x.

(1)当a=1时,求不等式g(x)≥f(x)的解集;

(2)已知f(x)≥,求a的取值范围.

解(1)当a=1时,不等式g(x)≥f(x),

即x2+x≥|x+1|+|x-1|,

当x<-1时,x2+x≥-2x,x2+3x≥0,

∴x≥0或x≤-3,

∴此时,x≤-3,

当-1≤x≤1时,x2+x≥2,x2+x-2≥0,

∴x≥1或x≤-2,

∴此时x=1,

当x>1时,x2+x≥2x,x2-x≥0,

∴x≥1或x≤0,

∴此时,x>1,

∴不等式的解集为{x|x≤-3或x≥1}.

(2)f(x)=|ax+1|+|x-a|=

若0

∴a2+1≥,

解得a≥或a≤-,∴≤a≤1,

若a>1,则f(x)min=f=a+>2>,

∴a>1.

综上所述,a≥.

5.(2018山西太原二模)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m>0).

(1)当m=1时,解不等式f(x)≥3;

(2)当x∈[m,2m2]时,不等式f(x)≤|x+1|恒成立,求实数m的取值范围.解(1)当m=1时,f(x)=|x+1|+|2x-1|=

由f(x)≥3解得x≤-1或x≥1.

(2)由题意得解得m>,

当x∈[m,2m2]时,不等式f(x)≤|x+1|等价于x+m+2x-1≤2(x+1), ∴x≤3-m,

∴2m2≤3-m,解得

∴实数m的取值范围是.

命题角度3不等式的证明高考真题体验·对方向

1.(2017全国Ⅱ·23)已知a>0,b>0,a3+b3=

2.证明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2.

证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6

=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)

=4+ab(a2-b2)2≥4.

(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)

=2+,

所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.

2.(2016全国Ⅱ·24)已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.

(1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

(1)证明f(x)=

当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;

当-

当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.

所以f(x)<2的解集M={x|-1

(2)解由(1)知,当a,b∈M时,-1

=(a2-1)(1-b2)<0.

因此|a+b|<|1+ab|.

新题演练提能·刷高分

1.(2018湖南、江西十四校第一次联考)已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.

(1)若不等式f(x)≥|m-1|有解,求实数m的最大值M;

(2)在(1)的条件下,若正实数a,b满足3a2+b2=M,证明:3a+b≤4.

(1)解若不等式f(x)≥|m-1|有解,只需f(x)的最大值f(x)max≥|m-1|即可.

因为|x-1|-|x+2|≤|(x-1)-(x+2)|=3,

所以|m-1|≤3,解得-2≤m≤4,

所以实数m的最大值M=4.

(2)证明根据(1)知正实数a,b满足3a2+b2=4,由柯西不等式可知(3a2+b2)(3+1)≥(3a+b)2,

所以,(3a+b)2≤16,因为a,b均为正实数,所以3a+b≤4(当且仅当a=b=1时取“=”).

2.(2018安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)=|x+2|+|2x+a|,a∈R.

(1)当a=1时,解不等式f(x)≥2;

(2)求证:f(x)≥|a-2|-|a|.

(1)解当a=1时,f(x)=|x+2|+|2x+1|≥2

?

?x≤-2或-2

?x≤-1或x≥-,

所以不等式的解集为.

(2)证明f(x)=|x+2|+|2x+a|=|x+2|+≥|a-2|-=|a-2|-|a|.

3.(2018吉林长春质量监测二)已知函数f(x)=|2x-3|+|3x-6|.

(1)求f(x)<2的解集;

(2)若f(x)的最小值为T,正数a,b满足a+b=,求证:≤T.

(1)解f(x)=|2x-3|+|3x-6|

=

=

由图象可知:f(x)<2的解集为.

(2)证明由图象可知f(x)的最小值为1,由均值不等式可知,当且仅当a=b时,“=”成立,即≤1=T.

4.(2018云南昆明第二次统考)已知函数f(x)=|x-1|.

(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥6;

(2)若a,b∈R,|a|<1,|b|<1,证明:f(ab)>f(a-b+1).

(1)解由f(2x)+f(x+4)≥6得|2x-1|+|x+3|≥6,

当x<-3时,-2x+1-x-3≥6,解得x<-3;

当-3≤x≤时,-2x+1+x+3≥6,

解得-3≤x≤-2;

当x>时,2x-1+x+3≥6,解得x≥.

综上,不等式的解集为.

(2)证明f(ab)>f(a-b+1)?|ab-1|>|a-b|,

因为|a|<1,|b|<1,即a2<1,b2<1,

所以|ab-1|2-|a-b|2=a2b2-2ab+1-a2+2ab-b2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0,

所以|ab-1|2>|a-b|2,即|ab-1|>|a-b|,所以原不等式成立.

5.(2018东北三省三校二模)设函数f(x)=|2x-1|.

(1)设f(x)+f(x+1)<5的解集为集合A,求集合A;

(2)已知m为集合A中的最大自然数,且a+b+c=m(其中a,b,c为正实数),设M=.求证:M≥8.

(1)解f(x)+f(x+1)<5,即|2x-1|+|2x+1|<5.

当x<-时,不等式化为1-2x-2x-1<5,

∴-

当-≤x≤时,不等式化为1-2x+2x+1<5,不等式恒成立;

当x>时,不等式化为2x-1+2x+1<5,

∴

综上,集合A=.

(2)证明由(1)知m=1,则a+b+c= 1.

则,

同理,

则=8,即M≥8.