最新届步步高大一轮复习讲义74汇总

2014届步步高大一轮复习讲义74

§7.4 基本不等式

2014高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题．

复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用．

1．基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a

b

≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤????a ＋b 22

(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥

????a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为

a ＋b

2

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2

4.(简记：和定积最大)

[难点正本 疑点清源]

1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤? ????a ＋b 22

(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m

x (m >0)的单调性．

1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 答案 81

解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤?

??

??x ＋y 22

＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81.

2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1

t 的最小值为________．

答案 －2

解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1

t

－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．

3．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2

y 的最小值是_________．

答案 8

解析 因为1x ＋2

y

＝(2x ＋y )????1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立．

4．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6

答案 C

解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15???

?

1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝1

5

(3x ＋4y )????1y ＋3x ＝15????3x

y

＋4＋9＋12y x ＝135＋15????3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12y

x ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.

5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是

( )

A.????－∞，1

4

B.???

?0，1

4

C.???

?－1

4，0

D.?

???－∞，1

4 答案 A

解析 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤? ??

??a ＋b 22

＝1

4 (a ＝b 时取等号)． 故ab 的取值范围是?

???－∞，14.

题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例1 已知x >0，y >0，z >0.

求证：????y x ＋z x ????x y ＋z y ????

x z ＋y z ≥8.

思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证． 证明 ∵x >0，y >0，z >0， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0， x z ＋y z ≥2xy z

>0， ∴????y x ＋z x ????x y ＋z y ????x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8.

当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．

探究提高 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．

已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.

证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c

＝3＋????b a ＋a b ＋????c a ＋a c ＋????c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时，取等号．

题型二 利用基本不等式求最值

例2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1

y

的最小值为________；

(2)当x >0时，则f (x )＝2x

x 2＋1

的最大值为________．

思维启迪：利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x ＋1

y 中

的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式． 答案 (1)3＋22 (2)1

解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x

y ≥3＋2 2.

当且仅当y x ＝2x

y

时，取等号．

(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x

≤2

2

＝1，

当且仅当x ＝1

x

，即x ＝1时取等号．

(1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是

( ) A ．3

B ．4

C.92

D.112

(2)已知a >b >0，则a 2＋16

b (a －b )的最小值是________．

答案 (1)B (2)16

解析 (1)依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，

即x ＋2y ≥4.

当且仅当????? x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即?????

x ＝2，

y ＝1

时等号成立．

∴x ＋2y 的最小值是4.

(2)∵a >b >0，∴b (a －b )≤? ????b ＋a －b 22＝a 2

4

，

当且仅当a ＝2b 时等号成立．

∴a 2＋16b (a －b )

≥a 2＋16a 24

＝a 2＋64

a 2

≥2a 2·64

a

2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．

∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16

b (a －b )取得最小值16.

题型三 基本不等式的实际应用

例3 某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房

子侧面的长度x 不得超过 5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为 150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

思维启迪：用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0

最值，可以考虑单调性．

解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12

x

×400)＋5 800

＝900?

???x ＋16

x ＋5 800 (0

???x ＋16

x ＋5 800 ≥900×2x ×16

x ＋5 800＝13 000(元)，

当且仅当x ＝16

x ，即x ＝4时取等号．

故当侧面的长度为4米时，总造价最低．

(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每

批生产x 件，则平均仓储时间为x

8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到

每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

( )

A ．60件

B ．80件

C ．100件

D ．120件

答案 B

解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8

＝20.

当且仅当800x ＝x

8

(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.

忽视最值取得的条件致误

典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝????a ＋1a ???

?b ＋1

b 的最小值． 易错分析 在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．

审题视角 (1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围． 规范解答

解 方法一 y ＝????a ＋1a ???

?b ＋1

b ＝?

???ab ＋1ab ＋????b a ＋a b ≥????ab ＋1

ab ＋2 ＝????ab ＋1ab 2＝???

?4ab ＋

1

ab －3ab 2 ≥?

?

???2

4ab ·1

ab

－3×

a ＋

b 22＝????4－322＝254.[10分] 当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝????a ＋1a ????b ＋1b 取最小值，最小值为25

4.[12分]

方法二 y ＝????a ＋1a ????b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a

＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋(a ＋b )2

－2ab

ab

＝2

ab

＋ab －2.[8分] 令t ＝ab ≤? ??

??a ＋b 22＝1

4，即t ∈????0，14. 又f (t )＝2

t

＋t 在????0，14上是单调递减的，[10分] ∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝1

2

.

∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值25

4

.[12分]

温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件.

方法与技巧

1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．

2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：

(1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1

x －2

＋2≥2＋2＝4.

(2)0

3(3x )(8－3x )

≤13? ????3x ＋8－3x 22＝163. 失误与防范

1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．

3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

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