吉林省普通高中2016-2017学年高三毕业第三次调研测试试卷理科数学Word版含答案

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第三次调研测试

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；

3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1. 设全集,U R =集合{|1}A x x =>，集合{|},B x x p =>若()U A B =? e，则p 应 该满足的条件是 A ．1p >

B ．p ≥1

C ．1p <

D ．p ≤1

2．已知复数1i

z i

=

+，其中i 为虚数单位.则||z =

A ．

12

B C D ．2

3．已知向量(,2),(2,1),(3,)a x b c x ===

，若a ∥b ，则a c =

A ．4

B ．8

C ．12

D ．20

4．已知点(2,0)F 是双曲线2233(0)x my m m -=>的一个焦点，则此双曲线的离心率 为

A ．

12

B C ．2 D ．4

5．3)n

x

的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若 32A

B

=，则n = A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

6．给出下列几个命题：

① 命题:p 任意x R ∈，都有cos 1x ≤，则:p ?存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤．

② 命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为假命题．

③ 空间任意一点O 和三点,,A B C ，则32OA OB OC =-

是,,A B C 三点共线的充

分不必要条件．

④ 线性回归方程y bx a =+对应的直线一定经过其样本数据点1122(,),(,),,x y x y

(,)n n x y 中的一个．其中不正确．．．的个数为 A. 1

B.

2

C. 3

D. 4

7．若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上； ②,P Q 关于原点对称。则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”(点对

(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对”)．已知函数1()()2,0

1,0

x

f x x x x ??=???>+≤，则此函

数的“友好点对”有 A. 3对

B. 2对

C. 1对

D. 0对

8．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方 形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ 的值为 A ．

1

3

B

C ．

2324

D ．

2425

9．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为 A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

10．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进 行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表

表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位 数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位 用横式表示，以此类推， 例如6613

用算筹表示就是： ，则9117

用算筹可表示为

A.

B

． C ．

D

．

11．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，11231,,n n n n n

a a a a a ++??

=??-?

若310S =，则180S = A ． 600或900

B ． 900或560

C ． 900

D ． 600

12．定义在区间D 上的函数()f x 和()g x ，如果对任意x D ∈，都有|()()|1f x g x -≤ 成立，则称()f x 在区间D 上可被()g x 替代，D 称为“替代区间”．给出以下问题：

①2()1f x x =+在区间(,)-∞+∞上可被2

1

()2

g x x =+

替代； ②如果()ln f x x =在区间[1,]e 可被()g x x b =-替代，则22b -≤≤；

③设212()lg()(),()sin ()f x ax x x D g x x x D =+∈=∈，则存在实数(0)a a ≠及区 间12,D D , 使得()f x 在区间12D D 上被()g x 替代。 其中真命题是 A ．①②③

B ．②③

C ．①③

D ．①②

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

123456789

纵式横式

是奇数

是偶数

13．设,x y 满足不等式组60200x y x y x +-≤??

--≤??≥?

，则2z x y =-+的最小值为 .

14．已知等差数列{}n a 中，570

sin a a xdx π

+=?

，

则468a a a ++= .

15．某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的

16．已知,A B 是椭圆22221x y a b +=和双曲线22

221x y a b

-=

的公共顶点，其中0a b >>，P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点（,P M

都异于,A B ），且满足()PA PB MA MB λ+=+

（R λ∈），设直线,,AP BP ,AM

BM 的斜率分别为1234,,,

k k k k ，若12k k +34k k += .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） 已知函数2()c o s 22s i n 2s i n

f x x x x =+

+． （Ⅰ）将函数(2)f x 的图像向右平移6

π

个单位得到函数()g x 的图像，若[,]122x ππ∈，

求函数()g x 的值域；

（Ⅱ）已知,,a b c 分别为ABC ?中角,

,A B C 的对边，且满足()1f A =，

(0,

)2

A π

∈，2a b ==，求ABC ?的面积．

18．（本小题满分12分）

据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查

1

11

2正视图

俯视图

侧视图

x

15题图

（Ⅰ）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．

19．

（本小题满分12分）

已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA BC ==， 2,AB = M 为PC 中点.

（Ⅰ）在图中作出平面ADM 与PB 的交点N ，并指出点N 所在位置（不要求给出理由）； （Ⅱ）在线段CD 上是否存在一点E ，使得直线AE 与平面ADM 所成角的正弦值为

E 的位置；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角A M D C --的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知O 为坐标原点，抛物线2

:(0)

C y n x n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为

5

2

，曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴. （Ⅰ）求线段OQ 的长；

（Ⅱ）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交曲线C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线,,PA PE PB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由． 21．（本小题满分12分）

已知函数2

()(2)l n f x x a x a x

=-++，其中常数0a >． （Ⅰ）当2a >，求函数()f x 的单调递增区间；

A

B C

D

M P

（Ⅱ）设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =， 若

()()

0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”，当4a =时，试

问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系x O y 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系有相同的长度单位.已知点N

的极坐标为)4

π

，M 是曲线1:1C ρ=上任意一点，点G

满足OG OM ON =+

，设点G 的轨迹为曲线2C .

（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若过点(2,0)P 的直线l

的参数方程为1222

x t y t =-=?

??

????（t 为参数），且直线l 与曲线2

C 交于,A B 两点，求

11

||||

PA PB +的值.

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知定义在R 上的函数()||||,*f x x m x m N =-+∈，存在实数x 使()2

f x <成立．

（Ⅰ）求正整数m 的值；

（Ⅱ）若1,1,()()f

f αβαβ>>+=，求证：4

1

9

2

α

β

+

≥

．

吉林市普通中学

2016—2017学年度高中毕业

班第三次调研测试

数学（理科）参考答案及评分标准

2．填空题

13. 【答案】-6 14. 【答案】3 15. 【答案】 2 16. 【答案】3．解答题 17．

（Ⅰ）解：因为()2

cos22sin 2sin f x x x x =++，

所以()222cos sin 2sin 2sin f x x x x x =-++ ………………………………………….1分

22cos sin 2sin x x x =++

12sin x =+

所以(2)12sin 2f x x =+ ……………………………………………………2分

因为函数()2f x 的图像向右平移6

π

个单位得到函数()g x 的图像

所以()2sin[2()]16

g x x π

=-+ ……………………………………………………..3分

即()2sin(2)13

g x x π

=-+ ……………………………………………….. ……4分

因为,122x ππ??

∈?

??

? 所以1

sin(2)[,1]32

x π-∈-，所以()[0,3]g x ∈

所以函数()g x 的值域为()[0,3]g x ∈ …………………………………………………6分

（Ⅱ）解：因为()1f A =

所以sin 2

A ，因为(0,)2A π∈ …………………………………………………..……7分

所以1

cos 2

A = …………………………………………………………………8分

又222

cos 2b c a A bc

+-=，a =2b = …………………………………...……10分

所以4c = …………………………………………………………..……11分

所以ABC ?面积1

sin 2

ABC S bc A ?=

= ……………………………………………12分

（运用正弦定理求出，也同样给分）

（Ⅱ）因为四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，以A 为坐标原点，以直线AB ,AD ,AP 所在直线建立空间直角坐标系如图所示： 则

(0,0,0)(0,0,1)

(0,1,0)(2,1,0)

11(1,,)

22

A P D C M

……………………………………………………………4分

设在线段CD 上存在一点(,1,0)E x ，则(,1,0)AE x =

…………………… ……5分

设直线AE 与平面AMD 所成角为θ，平面AMD 的法向量为(,,)u x y z =

，

则,u AM u AD ⊥⊥

即110220

x y z y ?++=?

??=?令2z =，则(1,0,2)u =- ………………………….…………………………………7分

则||sin 10||||

AE u AE u θ?==

，所以1x =

所以在线段CD 上存在中点E ，

使得直线AE 与平面AMD

…………………………8分

（Ⅲ）设平面CMD 的法向量'''

(,,)v x y z = ，则,v CM v CD ⊥⊥

'''

'1102220x y z x ?--+=??

?-=?

令'1z =-，则'

1y =-，所以(0,1,1)v =-- ……….……10分

所以cos ||||

v u v u φ?== 所以二面角A MD C --

的平面角的余弦值为 ………………………..……12分 20. （Ⅰ）解：由抛物线2

:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为

52

得 5

242

n +

=，所以2n =，故抛物线方程为22y x =，(2,2)P ………….……2分 所以曲线C

在第一象限的图像对应的函数解析式为y =

'y =

..……4分 故曲线C 在点P

处的切线斜率1

2

k =

=，切线方程为：12(2)2y x -=-

令0y =得2x =-，所以点(2,0)Q - …………………………………………5分

故线段2OQ = ……………………………………………………6分 （Ⅱ）解：由题意知1:2l x =-，因为2l 与1l 相交，所以0m ≠ 设2:l x my b =+，令2x =-，得2b y m +=-，故2

(2,)b E m

+--

………….……7分 设1122(,),(,)A x y B x y ， 由2

2x my b

y x

=+??

=?消去x 得：2220y my b --=

则12122,2y y m y y b +==- ………………………………………..……9分 直线PA 的斜率为

112111222

22

22

y y y x y --==-+-， 同理直线PB 的斜率为

22

2

y +, 直线PE 的斜率为

2

24

b m ++

………………………………………………….……10分 因为直线,,PA PE PB 的斜率依次成等差数列

所以

122y ++22

2

y +=2224

b m ++

即

22

222b b m b m

++=-+ …………………………………………………………..…11分

因为2l 不经过点Q ，所以2b ≠- 所以222m b m -+=，即2b =

故2:2l x my =+，即2l 恒过定点(2,0) ……………………………………………12分 21.

（Ⅰ）解 函数()f x 的定义域为(0,)+∞ ………………………………….……1分 因为()()2

2ln f x x a x a x

=-++

所以2

'2()(1)

2(2)2()2(2)a

x x a x a x a f x x a x x x

---++=-++==， …….……3分

因2a >，

12

a > 由'()0f x >，即2()(1)20a

x x x

-->得01x <<或2a x >， …………………….4分

由'()0f x <得12

a

x <<；

所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1),(,)2a +∞，单调递减区间为(1,)2

a

； . ……5分

（Ⅱ）解法一：当4a =时，2'

264

()x x f x x

-+=

所以在点P 处的切线方程为20000000

264

()()64ln x x g x x x x x x x -+=

-+-+ ……7分

令()()()x f x g x ?=-

则2

2000000

4

()64ln (26)()(64ln )x x x x x x x x x x x ?=-+-+

----+ 易知0()0x ?=； ………………………………………………………………….8分

又

'0044()26(26)x x x x

x ?=+--+

-0022()(1)x x x x

=--=0 则00

2

x x x x ==

或 ………………………………………………………9分

当00x <<时，

002x x >，令'()0x ?<，则002x x x <<，所以函数()x ?在00

2

(,)x x 上单调递减，所以当002(,

)x x x ∈时，0()()0x x ??<=，从而有002(,)x x x ∈时，0

()

0x x x ?<-；

当0x >002x x <，令'()0x ?<，则002x x x <<，所以()x ?在00

2

(,)x x 上单调递减，所以当002(

,)x x x ∈时，0()()0x x ??>=，从而有002(,)x x x ∈时，0

()0x x x ?<-；

所以当0)x ∈+∞ 时，函数()y f x =不存在“类对称点”。 ……11分

当0x =

'

22

()(x x x

?=

，所以()x ?在(0,)+∞上是增函数，

当0x x >时，0()()0x x ??>=，

()

0x x x ?>-

当0x x <时，0()()0x x ??<=，

()

0x x x ?>-

故

()

0x x x ?>-恒成立

所以当0x =()y f x =存在“类对称点”。 ………………………….……12分

（Ⅱ）解法二

当4a =时，2'

264

()x x f x x

-+=

所以在点P 处的切线方程为20000000

264

()()64ln x x g x x x x x x x -+=

-+-+

若函数()()22ln f x x a x a x =-++存在“类对称点” 00(,())P x f x

则等价当00x x <<时，()()f x g x <，当0x x >时()()f x g x >恒成立 ................8分 ① 当00x x <<时()()f x g x <恒成立，

等价于22

20000000

264

64ln ()64ln x x x x x x x x x x x -+-+<-+-+恒成立

即2230000000(24)4ln 44ln 0x x x x x x x x x x -++++-< 令2230000000()(24)4ln 44ln x x x x x x x x x x x ?=-++++- 而0()0x ?=

'2200002(2)()4()2(24)x x x x x x x x x x x

?--=-++

= 要使()0x ?<在00x x <<恒成立，只要()x ?在00,)x （单调递增即可 所以00

2

x x ≤

，即00x <≤ .....................................................................10分 ② 当0x x >时()()f x g x >

恒成立，同理可得0x ≥ ..........................................11分

所以0x =

所以函数()()22ln f x x a x a x =-++存在“类对称点”，其中一个“类对称点”

横坐标为

0x ....................................................................................12分

23.

（Ⅰ）解：因为|||||()|||x m x x m x m -+≥--=

要使不等式||||2x m x -+<有解，则||2m <， ……2分

解得22m -<< ……3分 因为*

m N ∈，所以1m = ……4分 （Ⅱ）证明：因为()(),1,2f

f αβαβ>+=所以()()21212f f αβαβ+=-+-=

即2αβ+= ……6分

所以

4

1

141()()2αβα

β

αβ+

=

++=14(5)2βααβ++9(52

≥+= ……8分 （当且仅当

4β

α

α

β

=

时，即42,33αβ==等号成立） ……9分

所以4

1

9

2α

β

+

≥

……10分