热力学与统计物理课后习题答案第六章

第六章 近独立粒子的最概然分布

试根据式（6.2.13）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

()()13

2232d 2d .V

D m h

πεεεε=

解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到

d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为

3

d d d .x y z V

p p p h （1）

用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为

2

34πd .V p p h

（2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为

2

.2p m

ε= 因此

d .

p p p md ε==

将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

()13

2232π()d 2d .V

D m h

εεεε= （3）

试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为

()1

2

2d d .2L m D h εεεε??

=

???

解: 根据式（6.2.14），一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为

d d .x

x p h

在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为

2d .L

p h

（1） 将能量动量关系

2

2p m

ε= 代入，即得

()1

2

2d d .2L m D h εεεε??

=

???

（2）

试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为

()2

22π.L D d md h

εεε=

解: 根据式（6.2.14），二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为

21

d d d d .x y x y p p h

（1） 用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为

cos ,sin .

x y p p p p θθ==

用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为

d d .p p θ

在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的状态数为

22

d d .L p p h θ

（2）

对d θ积分，从0积分到2π，有

20

d 2π.π

θ=?

可得在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（动量方向任意），二

维自由粒子可能的状态数为

2

2

2πd .L p p h

（3） 将能量动量关系

2

2p m

ε= 代入，即有

()2

22πd d .L D m h

εεε= （4）

在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为

.cp ε=

试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（6.2.16）已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为

2

3

4d .V p p h π （1） 将极端相对论粒子的能量动量关系

cp ε=

代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为

()()

2

3

4πd d .V

D ch εεεε=

（2）

设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为

l l l a e αβεω--=

和

,l l l a e αβεω''--''=

其中l ε和l ε'是两种粒子的能级，l ω和l ω'是能级的简并度.

解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '，总能量为E ，体积为V 时，两种粒子的分布{}l a 和{}

l a '必须满足条件

,

,

l

l l l l l

l

l

l

l

a

N a N a a E

εε''==''+=∑∑∑∑ （1）

才有可能实现.

在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布{}l a 和{}

l a '时各自的微观状态数为

!

,!!.!l l a l l

l l

a l l

l l

N Ωa N Ωa ωω'=

'''='∏∏∏∏ （2）

系统的微观状态数()0Ω为

()0.ΩΩΩ'=? （3）

平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使()0Ω或()0In Ω为极大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得

()()

In ln ln ln ln ln ln ln ,

l l l l l l l l l

l

l

l

ΩΩΩN N a a a N N a a a ωω'=?''''''=-++-+∑∑∑∑

为求使()0ln Ω为极大的分布，令l a 和l a '各有l a δ和l a δ'的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化. 使()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}

l a '必使

()0

δln 0,Ω=

即

()

0δln ln δln δ0.l

l

l l l l l

l a a Ω

a a ωω??'??'=-- ?=

? ?'????

∑∑ 但这些δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件

δδ0,

δδ0,

δδδ0.

l l

l l

l l l l l

l

N a N a E a a εε==''==''=+=∑∑∑∑

用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得

()0δln δδδln δln δ0.

l l

l l l l l l l l ΩN N E

a a a a ααβαβεαβεωω''---??'??'''=-++- ++? ? ?'????=∑∑

根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得

ln 0,

ln 0,

l

l l

l l l a a αβεωαβεω++='

''++='

即

.

l

l l l l l a e a e αβεαβεωω--'

'--=''= （4）

拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布. 两个分布的α和α'可以不同，但有共同的β. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数,N N '和能量E 具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的β.

同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？

解: 当系统含有N 个玻色子，N '个费米子，总能量为E ，体积为V 时，粒子的分布{}l a 和{}

l a '必须满足条件

,

,

l

l l l

a

N a N =''=∑∑

l l

l

l

l

l

a a E εε''+=∑∑ （1）

才有可能实现.

玻色子处在分布{}l a ，费米子处在分布{}

l a '时，其微观状态数分别为

()()(

)

1!,!1!

.

!!

l l l

l l l l

l l l a Ωa Ωa a ωωωω+-=-'

'='''-∏

∏

系统的微观状态数()0Ω为

()0.ΩΩΩ'=? （3）

平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使()0Ω或()0ln Ω为极大的分布. 将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得

()()()()()0ln ln ln ln ln ln ln .

l l l l l l l l l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

Ωa a a a a a a a ωωωωωωωω=++--+

????''''''''----????∑∑

令各l a 和l a '有δl a 和δl a '的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化，使用权

()0

ln Ω为极大的分布{}l a 和{}

l a '必使

()0

δln 0,Ω=

即

()

()

()

0ln δln δln δ0.

l l l l l l l l l l a a Ω

a a a a ωω''-+'

=+'

=∑∑ 但这此致δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件

δδ0,

δδ0,

δδδ0.

l l

l l

l l l l l

l

N a N a E a a εε==''==''=+=∑∑∑∑

用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得

()()()

δln δδδln δln δ0.

l l l l l l l l l l l l ΩN N E

a a a a a a ααβωωαβεαβε''---??

''-+?? ?

'''=---+-- ? ?'?? ?

??

=∑∑

根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得

ln 0,

ln

0,

l l

l l

l l l l a a a ωαβεωαβεω+--=''-''--='

即

,

1

.

1

l

l l l l

l a e

a e αβεαβεωω--''--=

-''=+ （4） 拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中α和α'不同，但β相等.