2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用(三)

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：

垂径定理的运用（三）

一．选择题

1．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D （mm）用科学记数法可表示为（）mm．

A．4×104B．0.4×105C．20000 D．4×102 2．（古题今解）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深﹣寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）

A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸

3．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）

A．a B．a C．（﹣1）a D．（2﹣）a 4．如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）

A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或8cm 5．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB＝8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）

A．0.4厘米/分B．0.5厘米/分C．0.6厘米/分D．0.7厘米/分6．如图是一个小孩荡秋千的示意图，秋千链子OB的长度为2米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60°，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC是（）

A．（2﹣）米B．米C．（2﹣）米D．米

7．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）

A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸

8．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB＝8m，∠CAD＝30°，则大棚高度CD约为（）

A．2.0m B．2.3m C．4.6m D．6.9m

9．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）

A．2 B．C．3 D．

10．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）

A．2 B．C．2D．3

二．填空题

11．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．

12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．

13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．

14．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm．

15．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB ＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小

路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）

16．如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB＝120mm，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝20mm，则原轮片的半径是mm．

三．解答题

17．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．

18．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE＝．

（1）求半径OD；

（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？

19．“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m）．

（1）经过2min后小雯到达点Q，如图所示，此时他离地面的高度是多少？

（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？

20．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．

（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，到第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？

（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；

离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条毕直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？

参考答案

一．选择题

1．解：根据图形可知，两圆相切，

过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1＝PO2＝200

PO＝R﹣50

根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2

解得：R＝200

∴D＝2R＝400＝4×102．

故选：D．

2．解：∵弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，∴AE＝5，OE＝OA﹣1

在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即：OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13 ∴直径CD＝2OA＝26寸

故选：D．

3．解：如图，正方形ABCD是圆内接正方形，BD＝a，

点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，则OB＝，

△BOC是等腰直角三角形，

作OF⊥BC，垂足为F，由垂径定理知，点F是BC的中点，

∴OF＝OB sin45°＝，

∴x＝EF＝OE﹣OF＝a．

故选：B．

4．解：如图，已知OA＝5cm，AB＝8cm，OC⊥AB于D，求CD的长，

理由如下：当油面位于AB的位置时

∵OC⊥AB根据垂径定理可得，∴AD＝4cm，

在直角三角形OAD中，

根据勾股定理可得OD＝3cm，

所以CD＝5﹣3＝2cm；

当油面位于A'B'的位置时，CD′＝5+3＝8cm．

故选：D．

5．解：作垂直AB的直径交圆为C，D交AB于E，利用相交弦定理，得AE?BE＝CE?（10﹣CE），解得CE＝2或8，

从图中可知这里选答案为8，

从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为8÷16＝0.5（分钟）．

故选：B．

6．解：∵点A为弧BD的中点，O为圆心

由垂径定理知：BD⊥OA，BC＝DC，弧AB＝弧AD

∵∠BOD＝60°

∴∠BOA＝30°

∵OB＝OA＝OD＝2

∴CB＝1

在Rt△OBC中，根据勾股定理，知OC＝

∴AC＝OA﹣OC＝2﹣

故选：A．

7．解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，

∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，

∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，

连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，

解得x＝13，

CD＝2x＝2×13＝26（寸）．

故选：D．

8．解：根据OC⊥AB，则AD＝AB＝4m．

在直角△ACD中，∠CAD＝30°，则CD＝AD?tan30°＝≈2.3m．

则大棚高度CD约为2.3m．

故选：B．

9．解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝AB＝×8＝4．

由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD＝＝＝3，CD＝5﹣3＝2．故选：A．

10．解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，

∵OC⊥AB，OA＝OB

∴O即为此圆形镜子的圆心，

∵AC＝1，OC＝2，

∴OA＝＝＝．

故选：B．

二．填空题（共6小题）

11．解：由题意可知OE⊥AB，

∵OE为⊙O半径，

∴尺＝5寸，

设半径OA＝OE＝r寸，

∵ED＝1，

∴OD＝r﹣1，

则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，

∴木材直径为26寸；

故答案为：26．

12．解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，

∴AD＝4，

∴OD＝＝3，

∴OA﹣OD＝2，

∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为：10．

13．解：设⊙O的半径为r．

在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝r﹣1，OA＝r，

则有r2＝52+（r﹣1）2，

解得r＝13寸，

∴⊙O的直径为26寸，

故答案为：26．

14．解：如图，连接OA，

∵CD＝2cm，AB＝8cm，

∵CD⊥AB，

∴OD⊥AB，

∴AC＝AB＝4cm，

∴设半径为r，则OD＝r﹣2，

根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，

解得：r＝5．

∴这个玉片的外圆半径长为5cm．

故答案为：5．

15．解：作OC⊥AB于C，如图，

则AC＝BC，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣120°）＝30°，

在Rt△AOC中，OC＝OA＝10，AC＝OC＝10，

∴AB＝2AC＝20≈69（步）；

而的长＝≈84（步），

的长与AB的长多15步．

所以这些市民其实仅仅少走了15步．

故答案为15．

16．解：在直角△OAD中，设半径是x，则OA＝x，OD＝x﹣20，AD＝AB＝60mm．根据勾股定理定理得到：

x2＝（x﹣20）2+602，

解得x＝100mm．

所以原轮片的半径是100mm．

三．解答题（共4小题）

17．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，

∴8米高旗杆DE的影子为：12m，

∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，

∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），

∴GM＝MH＝4m．

如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．

设小桥所在圆的半径为r，

∵MN＝2m，

∴OM＝（r﹣2）m．

在Rt△OGM中，由勾股定理得：

∴OG2＝OM2+42，

∴r2＝（r﹣2）2+16，

解得：r＝5，

答：小桥所在圆的半径为5m．

18．解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，

∴ED＝CD＝12，

在Rt△DOE中，

∵sin∠DOE＝＝，

∴OD＝13（m）；

（2）OE＝＝＝5，

∴将水排干需：5÷0.5＝10（小时）．

19．解：（1）过点Q作QB⊥OA，垂足为B，交圆于点C，

由题意知，匀速转动一周需要12min，经过2min后转周，∴∠AOQ＝×360°＝60°，

∴OB＝OQ cos60°＝OQ＝×20＝10，BT＝OT﹣OB＝10，AB＝BT+AT＝10.5，此时他离地的高度为10.5m；

（2）作GD⊥AO，交AO的延长线于点M，由题意知AM＝30.5，OM＝10，

∴∠GOD＝2∠DOM＝120°，

此时他离地的高度为10.5+20＝30.5m，

所以他有12÷3＝4分时间在离地面不低于30.5m的空中．

20．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000＝1111，到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111＝11111

到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111＝111111＞80000

所以，到第6天所有鸡都会被感染；

（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．

∵OE⊥CD，

∴CE＝CD＝2

在Rt△OCE中，OE2＝32﹣22＝5（2分）

在Rt△OAE中，，

∴AC＝AE﹣CE＝

∵AC＝BD

∴AC+BD＝．

答：这条公路在该免疫区内有（）千米．