高中数学周期函数公式的总结推导证明过程

以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。

解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。 1. 已知f(X)是R 上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x +1)=(x +1)f(x)，则f [f (5

2)]= 解：令x=0，f(0)=0; 令x =?1

2，f (?1

2)=0； 令x =1

2，f (32)=0； 令x =3

2，f (5

2)=0； ∴ f [f (52)]=f (0)=0

2. 定义在R 上的函数f(x)满足f (x )={log 2(1?x ),x ≤0

f (x ?1)?f (x ?2),x >0，则f(2009)=

解：整理f (x )=f (x ?1)?f (x ?2)， 得到f (x ?1)=f (x )+f (x ?2)

令x=x+1得到，f (x )=f (x +1)+f (x ?1)

由公式6知道周期为6，即f (x +6)=f(x)，x>0 f(2009)=f (334×6+5)=f(5)。 由公式f (x )=f (x ?1)?f (x ?2)

得f (5)=f (4)?f (3)=(f (3)?f (2))?f (3)=?f (2)

=?(f (1)?f (0))=?((f (0)?f (?1))?f (0))

=f(?1)=0

，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x?y),x,y∈R，则f(2010)=

3.已知函数f(x)满足f(1)=1

4

思路：消元和赋值。

令x=x,y=1，则f(x)=f(x+1)+f(x?1)，

根据公式6知道，f(x+6)=f(x)，

∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。

令y=0，则4f(x)f(0)=2f(x)，

∵ x不恒为零，∴f(0)=1

2

∴f(2010)=1

。

2

下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。因为word 输入数学公式太过麻烦，所以手写了出来，以图片的形式奉上。