运筹学习题解答

第二章 对偶问题与灵敏度分析

一、写出下列线性规划的对偶问题

1、P89,(a)

321422m in x x x Z ++=

???????≥=++≤++≥++.

,0,;534;332;2433213213

21321无约束x x x x x x x x x x x x

解：原模型可化为

321422m in x x x Z ++=

?????

??≥=++≥≥++.

,0,;534;3-3--2-;24332

13

2

1

32132

1321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为

321532m ax y y y W +-=

???????≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;223213213

21321无约束

y y y y y y y y y y y y

2、P89,(b)

321365m ax x x x Z ++=

???????≤≥≤++≥-+-=++.

0,0,;8374;35;5223213213

21321x x x x x x x x x x x x 无约束

解：令033

≥-='x x 原模型可化为

3

21365m ax x x x Z '-+=

?????

??≥'≥≤'+≤'='+.

0,0,;

83-74;3--5-;52-2321

3

21

3213

21321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束

于是对偶模型为

321835m in y y y W +-=

???????≥-≥---≥+-=++.

0,,;

332;6752;543213213

21321y y y y y y y y y y y y 无约束 或???????≥≤++≥+-=++.0,,;332;

6752;

54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束

二、灵敏度分析

1、P92, 线性规划问题

213m ax x x Z += ???

??≥≤+≤+0,1025;

742

12121x x x x x x

最优单纯形表如下

试用灵敏度分析的方法，分析：

（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变？ （2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变？ 解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需

??????

?

≤?-?+=≤?+?-=034131003513201413c c σσ 即 ?????≤≥42511c c 所以：42

5

1≤≤c 时可保持最优解不变。

2c 的分析：要使得最优解不变，则需

??????

?≤?-?+=≤?+?-=0

34313003532302423c c σσ 即 ???????

≥≤435622c c 所以：

5

6

432≤≤c 时可保持最优解不变。

（2）1b 的分析：要使得最优基保持不变，则需

03405310-2103/43/53/1-3/21111≥?????

?

??+-=???? ????????-=-b b b b B 即 ?????≥+-≥0

34050310

-211b b ???≤≥?8511b b

所以：851≤≤b 时可保持最优基不变。

2b 的分析：要使得最优基保持不变，则需

034353-1473/43/53/1-3/222

21≥????

?

?

?

?+-=???? ????????-=-b b b b B 即 ?????≥+-≥0343503-1422

b b ??

???≥≤?4351412b b

所以：144

35

2≤≤b 时可保持最优基不变。

2、P92, 已知线性规划问题 3212m ax x x x Z +-=

???

??≥≤+≤++0,,4263

212

1321x x x x x x x x 先用单纯形法求最优解，在讨论下列问题：

(1)目标函数中变量321,,x x x 的系数在什么范围内变化，最优解不变？ (2)两个约束的右端项分别在什么范围内变化，最优基不变？ (3)增加一个新的约束2221≥+-x x ，寻找新的最优解。 解：化标准型：

???

??≥=++-=+++042652

14

321i

x x x x x x x x

已得最优解10,651==x x ，其余变量均为0. （1）1c 的分析：要使最优解不变，必须

???

??≤-='≤-='≤--='0

0010114

13

12c c c σσσ 11≥?c

2c 的分析：要使最优解不变，必须

0222

≤-='c σ 22≤?c 3c 的分析：要使最优解不变，必须

0233

≤-='c σ 23≤?c

（2））1b 的分析：要使得最优基不变，则需

04411011111

≥??

????+=?

???????????=-b b b b B 01≥?b

2b 的分析：要使得最优基不变，则需

06661101111

≥??

????+=???????

?????=-b b b B 61-≥?b

3、P92, 已知线性规划问题

2123m ax x x Z +=

?????

????≥≤≤+≤+≤+0

,21-8262.

.212212121x x x x x x x x x t s

试用灵敏度分析的方法，分析：

（1）目标函数中的系数21,c c 在什么范围内变化，最优解不变？ （2）约束条件右端常数项43,b b 在什么范围内变化，最优基保持不变？ （3）增加变量7x ，其在目标中的系数T P C )2,3,2,1(,477==，重新确定最优解； （4）增加一个新的约束31≤x ，重新确定最优解。 解：（1）1c 的分析：要使得最优解不变，则需

???

????≤-?+='≤+?-='032231003123201413c c σσ ???≥≤?1411c c 411≤≤?c

2c 的分析：要使得最优解不变，则需

???

????≤-+='≤+-='

02c 31001c 3202423σσ ?????≤≥?6c 23c 22 6c 232≤≤?

（2）3b 的分析：要使得最优基不变，则需

032

23103428610

3

13

2011100323

1003132

3

31≥?

????????

?

??????????+=???????????????????

???????????----=-b b b B 23-≥?b

4b 的分析：要使得最优基不变，则需

343

3103418610

3

132011100323

10031

32441≥?

?

????????

?????????

?-=??????????????????????????????----=-b b b B 34b 4≥?

（3）

?

????

???????=???????????????????

?

??????????----=='-24102321103

13

2011100323

1

0031

32P 717B P

增加变量7x 到最终表中，由于07>σ，故需继续迭代找到新的最优解，详见下表：

所有的0≤j σ，故得新的最优解3

1

,35,343

7521====x x x x ，。 （4）由于原解不满足31≤x ，故不是可行解。将新约束化为等式约束，即

371=+x x

由上表知新的最优解2

1,21,25,23376521====

=x x x x x ，。 3、P94， 某厂生产A 、B 、C 三种产品，其所需劳动力、材料等等数据见下表。

（2） 产品A 的利润在什么范围内变化时，上述最有计划不需改变？

（3） 如果设计一种新产品D ，单件劳动力消耗为8h ，材料消耗为2kg ，每件获

利30元，问该种产品是否值得生产？

（4） 如果原材料数量不增，劳动力不足时可从市场雇佣，费用为元/h ，问该厂

要不要雇佣扩大生产？以雇佣多少为宜？

解：(1)设A 、B 、C 三种产品各生产321,,x x x 件，建立模型如下：

???

??≥≤++≤++++=;0,,;30543;450536.401030max Z 3

21321321321x x x x x x x x x t

s x x x 材料约束劳动力约束

求解该模型，得最优解0,0,10321===x x x ，最大利润300元。最终表如下：

(2)设A 产品的利润为1c ，则要使得最优计划不变，需

??

?

?

?

?

???

≤-=≤-=≤-=.

0310;

03540;03410151312c c c σσσ ???????≥≥≥?024215111c c c 241≥?c 即A 的利润高于24元时不需改变生产计划。

（3）设新产品D 生产6x 件，其资源消耗向量T P )2,8(6=，在最终表中的结果为

?

??

?

??=???? ????????-=='3/24283/1021B 61-6P P 其检验数为0103/24)30,0(306>=????

??-=σ，增加该产品的生产可以增加总利润。

(4) 因劳动力的影子价格（4x 的检验数）为0（<），因而增加劳动力对利润无益，故不需要雇佣劳动力。

（或者：最优解情况下，劳动力只用了)450(60106<=?，并未全部用完，故增加劳动力无益于利润的增加。）