专题四 第1讲 函数、函数与方程
第1讲 函数、函数与方程
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B 级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B 级；(3)函数与方程是B 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点.
真 题 感 悟
1.(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________.
解析 要使函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1].
答案 [－3，1]
2.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝?????x ＋a ，－1≤x ＜0，????
??25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ? ????－52＝f ? ????92，则f (5a )的值是________. 解析 由已知f ? ????－52＝f ? ????－52＋2＝f ? ??
??－12＝－12＋a ， f ? ????92＝f ? ????92－4＝f ? ????12＝????
??25－12＝110. 又∵f ? ????－52＝f ? ??
??92， 则－12＋a ＝110，∴a ＝35，
∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.
答案 －25
3.(2017·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f (x )＝
???x 2，x ∈D ，x ，x ?D ，
其中集合D ＝??????????x ???x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________.
解析 由于f (x )∈[0，1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，x ∈Q ，且
x ?Z 时，设x ＝q p ，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质.若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0，1)，
可设lg x ＝n m ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质.因此10n m ＝q p ，10n ＝? ??
??q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lg x ?Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只考虑lg x 与每个周期x ?D 部分交点，画出函数草图如图.
图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ?D 部分，且
x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10，因1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点(1，0)，因此方
程解的个数为8个.
答案 8
4.(2015·江苏卷)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝???0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，
则方程| f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________.
解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝
???－ln
x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，
当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x 2x ＜0，故当1
＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.
由图象可知| f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.
答案 4
考 点 整 合
1.函数的性质
(1)单调性
(ⅰ)用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.
(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.
(2)奇偶性
①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则 f (0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；
(3)周期性
常见结论有①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝
－f (x )? ??
??或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 2.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
3.求函数值域有以下几种常用方法：
(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等.
4.函数的零点问题
(1)函数f (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数
形结合，利用两个函数图象的交点求解.
热点一 函数性质的应用
【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________.
(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x
与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m
i ＝1
(x i ＋y i )＝________. 解析 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝1，于是－1≤f (x －2)≤1等价于f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.
(2)由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，1)对称，
则y ＝f (x )的图象关于点(0，1)对称.
又y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，x ≠0的图象也关于点(0，1)对称.
则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.
则∑m i ＝1 (x i ＋y i )＝∑m i ＝1x i ＋∑m i ＝1y i ＝0＋m 2×2＝m . 答案 (1)[1，3] (2)m
探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).
【训练1】 (1)(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.
(2)(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 f (x )＝4x ，则f ? ?? ??－52＋f (1)＝________. 解析 (1)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)， 又f (x )在R 上是偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6. (2)因为f (x )是周期为2的奇函数， 所以f (1)＝f (－1)＝－f (1)，即f (1)＝0， 又f ? ????－52＝f ? ????－12＝－f ? ?? ??12＝－412＝－2， 从而f ? ?? ??－52＋f (1)＝－2. 答案 (1)6 (2)－2 热点二 函数图象的应用 【例2】 (1)(2017·南京、盐城调研)已知函数f (x )＝???－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0. 若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________. (2)(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)函数y ＝| f (x )|的图象如图.y ＝ax 为过原点的一条直线， 当a ＞0时，与y ＝| f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时成立；当a ＜0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)相切的情况， 即y ′＝2x －2，切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)，由分析可知x 0 ＝0，所以a ＝－2，综上，a ∈[－2，0]. (2)设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在唯一的 整数x 0，使得g (x 0)＜h (x 0)， 因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，可知g (x )在? ?? ??－∞，－12上单调递减，在? ?? ??－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故???h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1）， 即? ????a ＜1，－2a ≤－3e ，所以32e ≤a <1. 答案 (1)[－2，0] (2)???? ??32e ，1 探究提高 (1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图 象求参数范围. (2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究. 【训练2】 (2017·南通调研)已知函数f (x )＝???x 2－4，x ≤0，e x －5，x >0. 若关于x 的方程| f (x )|－ax －5＝0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为________. 解析 关于x 的方程| f (x )|－ax －5＝0有三个不同的实数解，即函数y ＝| f (x )|与函数y ＝ax ＋5(过定点(0，5))的图象有三个不同的交点. 作出函数图象如图所示， ①当a >0时，y ＝ax ＋5与y ＝4－x 2(x <0)相切，即x 2＋ax ＋1＝0，由Δ＝a 2－4＝0，a >0，得a ＝2，当a ＝2时，符合题意； 当y ＝ax ＋5经过点(－2，0)时，a ＝52也符合题意； ②当a <0时，y ＝ax ＋5与y ＝5－e x (x >0)相切，设切点(x 0，5－e x 0)，x 0>0，则切线方程为y －(5－e x 0)＝－e x 0 (x －x 0)，代入点(0，5)，解得x 0＝1，此时a ＝－e ，符合题意； 当y ＝ax ＋5经过(ln 5，0)时，a ＝－5ln 5，也符合题意； ③当a ＝0时，两函数的图象有两个交点，不符合题意. 综上所述，满足条件的所有实数a 的取值集合为 ???? ??－e ，－5ln 5，2，52. 答案 ? ?????－e ，－5ln 5，2，52 热点三 函数与方程问题 [命题角度1] 函数零点个数的求解 【例3－1】 (2017·常州模拟)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ? ?? ??π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________. 解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·? ????2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝ sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示. 观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 答案 2 探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定定理或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. [命题角度2] 由函数的零点(或方程的根)求参数 【例3－2】 (1)(2017·南京、盐城模拟)若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8＝0有唯一零点，则满足条件的实数m 所组成的集合为________. (2)已知函数f (x )＝???2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2， 函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数，所以函数f (x )的唯一零点只能是0，即f (0)＝m 2＋2m －8＝0，解得m ＝2或m ＝－4.当m ＝2时，f (x )＝x 2－2cos x ＋2，易证f ′(x )＝2x ＋2sin x >0，x ∈(0，＋∞)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减.此时f (x )有唯一零点；当m ＝－4时，f (x )＝x 2＋ 4cos x －4，f ? ????π3＝? ????π32－2<0，f (π)＝π2－8>0，所以f (x )在? ?? ??π3，π上有零点不符合，舍去，故实数m 的取值集合为{2}. (2)函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交 点，又y ＝f (x )＋f (2－x )＝???x 2＋x ＋2，x ＜0， 2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示， 由图可知，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同 的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是? ?? ??74，2. 答案 (1){2} (2)? ?? ??74，2 探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 【训练3】 (2017·泰州调研)设函数f (x )＝x 2＋3x ＋3－a ·e x (a 为非零实数)，若f (x )有且仅有一个零点，则a 的取值范围为________. 解析 令f (x )＝0， 可得x 2＋3x ＋3e x ＝a ， 令g (x )＝x 2＋3x ＋3e x ，则g ′(x )＝ （2x ＋3）·e x －e x ·（x 2＋3x ＋3）（e x ）2 ＝－x （x ＋1）e x ，令g ′(x )＞0，可得x ∈(－1，0)，令g ′(x )＜0，可得x ∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g (x )在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝a 有且仅有一个交点，结合y ＝g (x )及y ＝a 的图象可得a ∈(0，e)∪(3，＋∞). 答案 (0，e)∪(3，＋∞) 1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的 定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制. 2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0. 3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较. (1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较； (3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小. 4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 一、填空题 1.(2017·苏州调研)已知f (x )＝? ??2x －3，x >0，g （x ），x <0是奇函数，则f (g (－2))＝________. 解析 由题意可得g (x )＝－2－x ＋3(x <0)，则f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝1. 答案 1 2.(2011·江苏卷)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________. 解析 函数f (x )的定义域为? ?? ??－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t ＞0).因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在? ?? ??－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为? ?? ??－12，＋∞. 答案 ? ?? ??－12，＋∞ 3.(2017·苏北四市调研)函数f (x )＝???2x ，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0 的值域为________. 解析 当x ≤0时，y ＝2x ∈(0，1]；当x ＞0时，y ＝－x 2＋1∈(－∞，1).综上， 该函数的值域为(－∞，1]. 答案 (－∞，1] 4.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________. 解析 在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下： 由图象可得两图象有7个交点. 答案 7 5.(2012·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝???ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1 ，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ? ????12＝f ? ????32，则a ＋3b 的值为________. 解析 因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)?－a ＋1＝b ＋22，又 f ? ????12＝f ? ????32＝f ? ?? ??－12?12b ＋232 ＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－12＝－10. 答案 －10 6.已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________. 解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数. 又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2) ∴－2 ??－2，23 7.(2017·全国Ⅲ卷改编)函数y ＝1＋x ＋sin x x 2的部分图象大致为________(填序号). 解析 法一 易知g (x )＝x ＋sin x x 2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y ＝1＋x ＋sin x x 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，④满足. 法二 当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除①，③.又当x →＋∞时，y →＋∞，②不满足，④满足. 答案 ④ 8.(2014·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x ) ＝???? ??x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________. 解析 作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1) ＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12. 答案 ? ?? ??0，12 二、解答题 9.(2017·深圳中学调研)已知函数f (x )＝a － 22x ＋1 . (1)求f (0)； (2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论； (3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax ) 解(1)f (0)＝a－ 2 20＋1 ＝a－1. (2)∵f (x)的定义域为R， ∴任取x1，x2∈R且x1 则f (x1)－f (x2)＝a－ 2 2x1＋1 －a＋ 2 2x2＋1 ＝ 2·（2x1－2x2） （1＋2x1）（1＋2x2） ， ∵y＝2x在R上单调递增且x1 ∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1) ∴f (x)在R上单调递增. (3)∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)， 即a－ 2 2－x＋1 ＝－a＋ 2 2x＋1 ， 解得a＝1(或用f (0)＝0去解). ∴f (ax) 又∵f (x)在R上单调递增，∴x<2. ∴不等式的解集为(－∞，2). 10.已知函数f (x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a. (1)求函数f (x)的极值； (2)设函数k(x)＝f (x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围. 解(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)， 令f ′(x)＝2x－2 x＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f (x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k(x)＝f (x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)， 所以k′(x)＝1－2 x，令k′(x)＞0，得x＞2， 所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时， 函数k(x)取得最小值，k(2)＝2－2ln 2－a， 因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点.即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点， 所以???k （1）≥0，k （2）＜0，k （3）≥0，即有???1－a ≥0， 2－2ln 2－a ＜0，3－2ln 3－a ≥0， 解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3. 所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3]. 11.(2017·山东卷改编)已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，求正实数m 的取值范围. 解 y ＝(mx －1)2＝m 2? ? ???x －1m 2，相当于y ＝x 2向右平移1m 个单位，再将函数值放大m 2倍得到的； y ＝x ＋m 相当于y ＝x 向上平移m 个单位. ①若0＜m ≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意. ②若m ＞1，两函数的大致图象如图2所示. 为使两函数在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，只需(m －1)2≥1＋m ，得m ≥3或m ≤0(舍去). 综上，m ∈(0，1]∪[3，＋∞).