高考数学之冲破压轴题讲与练专题09 数列中不等式恒成立问题【解析版】

第二章数列与不等式

专题09 数列中不等式恒成立问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.

本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．

(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．

【压轴典例】

例1.（2019·浙江高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每

12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2

）记,n C n *=

∈N

证明：12+.n C C C n *++<∈N L 【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】

(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=?

??+=+??

，解得：102a d =??

=?，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- .

其前n 项和()()02212

n n n S n

n +-?=

=-.

则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：

()()()()2

1112n n n n n b n n b n n b ++=-+?+++????????????，

据此有：

()()()()()()()()2

222

121112121n n n n n

n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()

()22112121(1)(1)(1)(2)

n n n n n n b n n n n n n n n n +--++=

=++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：

()(

)

1121211

n n n a n C n n b n n n n n n n -=

=<=<=--+++-，

则(

)(

)

122

102

212

12n C C C n n n +++<-+-++--=L L .

例2. （2018·浙江高考模拟）数列满足

，

，……，

（1）求，，，的值；（2）求与

之间的关系式

；

（3）求证：【答案】（1），

，

；（2）

；（3）详见解析.

【解析】（1）

，

，；

（2）

！

；

（3）证明：由（2

）可知

，

所以

. 所以

时不等式成立，而

时不等式显然成立，所以原命题成立.

例3.（2019·河南高考模拟（理））已知数列

}{n

b 的前n 项和为n

，

n n S b +=，等差数列

}{n

a 满足

123

b a =，

157

b a +=

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b ++++

【答案】（Ⅰ）1n a n =+,1

12n n b -??= ?

；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）2n n S b +=Q ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴= 当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：11

n n b b -=

∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 1

12n n b -??∴= ???

设等差数列{}n a 的公差为d

123b a =Q ，157b a += 11

346a d a d +=?∴?+=?，解得：12

1a d =??=?

()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-?=+

（Ⅱ）证明：设()2

12231111231222n

n n n T a b a b a b n -????=++???+=?+?+???++? ? ?????

()231

11112312222n n T n +??????∴=?+?+???++? ? ? ???????

两式相减可得：

()()231

1111111111421111122222212

n n n n n T n n ++-??- ?

??????????

??=+++???+-+?=-+?+ ? ? ? ? ?

??????????

-1

22n n ++=- 3

n n n T +=-

即122313

n n n n a b a b a b -+++???+=-

n n +>Q

122313n n a b a b a b -∴++???+< 例4.（2016高考浙江理）设数列{}n a 满足1

n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1

2n n a a

-≥-，n *∈N ；

（II ）若32n

n a ??≤ ???

，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *

∈N ．

【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．【解析】（I ）由112n n a a +-

≤得11

n n a a +-≤，故 111222

n n n n n a a ++-≤，n *

∈N ，所以

1122311

122312222222

n n n n n a a a a a a a a --??????

=-+-+???+- ? ? ??????? 121111222

n -≤

++???+ 1<，

因此

()1122n n a a -≥-．

（II ）任取n *

∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，

112

1112

12222222

2n m n n n n m m n

n n n m m a a a a a a a a +++-+++-??????

=-+-+???+- ? ? ???????

11111

222n n m +-≤

++???+ 11

2n -<，故

11222m n

n n m a a -??<+? ???

11132222m n n m -????≤+???? ???????

3224m

n ??

=+? ???

．

从而对于任意m n >，均有

3224m

n n a ??

<+? ???

．

由m 的任意性得2n a ≤． ①

否则，存在0n *

∈N ，有02n a >，取正整数00

2log 2n n a m ->且00m n >，则

02log 23322244n a m m n n a -?????

，

与①式矛盾．

综上，对于任意n *

∈N ，均有2n a ≤．

例5.（2019·河北石家庄二中高考模拟（理））已知等比数列{}n a 满足1,23428n n a a a a a +<++=，且32

a +是

,a a 的等差中项.

()1求数列{}n a 的通项公式；

()2若1,2

log n n n b a a = 12

···+b n n S b b =++，对任意正整数n ，()10n n S n m a +++<恒成立，试求m 的取

值范围.

【答案】（1）2n

n a =；（2）(],1-∞-.

【解析】

()1设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .依题意，

有()32422a a a +=+，代入23428a a a ++=，得38a =.因此2420a a +=

即有3

112

20,8,q a q a q a q ?+=??=??，解得122q a =??=?或11,232,

q a ?=???=? 又{}n a 数列单调递增，则122

q a =??=?故2n

n a =.

()2

2log 2?2n n n

n b n ==-Q ， 232122232++2,n S n ∴-=?+?+????? ① ()23412122232122n n n S n n +-=?+?+?+???+-?+?，②

-①②，得

(

)231

2122222?2

n n n n n S n n ++-=+++???+-=

-- 112?22n n n ++=--.

()10n n S n m a +++

对任意正整数n 恒成立，

n n m ++∴<-对任意正整数n 恒成立，即1

n m <

-恒成立. 1

112

n Q

->-，1m ∴≤-，即m 的取值范围是(],1-∞-. 例6.（2019·江苏高考模拟）已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，且2S 6＜S 3．（1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d ，求

a d

的取值范围；（2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），求a 1?q 的取值范围．【答案】(1)1

a d

＜﹣3；（2）a 1?q ＞0 【解析】

在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，

若对任意的正整数m 、n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，（1）设{a n }为等差数列，且公差为d ，则：2ma 1+

2(21)2m m -d+2na 1+2(21)2n n -d ＜2[（m+n ）a 1+()(1)

m n m n ++-d]，

整理得：（m ﹣n ）2d ＜0，则d ＜0，由2S 6＞S 3，整理得：9a 1+27d ＞0，则a 1＞﹣3d ，所以d ＜0，

a d

＜﹣3；（2）设{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），则

()()()2m 2n m+n 111a 1q a 1q 2a 1q 1q

---+

---，整理得

a 1q

-（2q m+n ﹣q 2m ﹣q 2n

）＜0，则：﹣

1a 1q -（q m ﹣q n ）2＜0，所以1

a 1q -＞0，由2S 6＞S 3，则：2q 6﹣q 3﹣1＜0 解得：﹣

＜q 3＜1，由于q ＞0，所以：0＜q ＜1，则：a 1＞0．即有a 1?q ＞0．例7. （2017·高考模拟（理））已知数列{}n a 前n 项和n S ，点()(

,n n S n N ∈在函数2

y x x =+

的图象上．

(1)求{}n a 的通项公式；

(2)设数列21n n a a +??????

的前n 项和为n T ，不等式1

log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值

范围．

【答案】（1）n a n =；（2）1

(0,)2

. 【解析】

（1）Q 点(),n n S 在函数()21122f x x x =+的图象上，211

n S n n ∴=+.① 当2n ≥时，()()2

1111122

n S n n -=-+-，② ①-②得n a n =.

当1n =时，111a S ==，符合上式.

()

*n a n n N ∴=∈．

（2）由（1）得

()

211

2n n a a n n +=+

11122n n ??

- ?+??

， 13242

111n n n T a a a a a a +∴=

+++L 111111123242n n ??=

-+-++- ?+??L 31114212n n ??=

-+ ?++??

． ()()

013n n T T n n Q +-=

>++，

∴数列{}n T 单调递增，

{}n T ∴中的最小项为11

T =.

要使不等式()1

log 13

n a T a >-对任意正整数n 恒成立，

只要()11

log 133

a a >-，

即()log 1log a a a a -<. 解得102

a <<

，即实数a 的取值范围为10,2?? ???

例8.（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列{}n a 中，首项为

2，其前n 项和是n S ，且335441,,2

a S S a S ++成等差数列,数列{}n b

满足条件

b 123n 1.a a a a =L

(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设 1

n n n

c a b =-

,记数列{}n c 的前n 项和 n T .

①求 n T ;②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有 k n T T ≥. 【答案】(Ⅰ) 1()2

n a =；(1)n b n n =+；

(Ⅱ)①见解析；②见解析. 【解析】

(Ⅰ)设1

1n n a a q -=. 由已知得 53344122S a S a S =

+++ 即 5341

222

S a S =+ 进而有()543122S S a -=. 所以53122a a =，即2

14q = ，则12

q =±，

由已知数列{}n a 是单调等比数列，且11.2a = 所以取1

q =，

数列{}n a 的通项公式为12n

n a ??= ???.

∵

1231

b n

a a a a =L ， ∴232222n ????=

L ()12

n n n

b += 则()1n b n n =+.

数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+. (Ⅱ)由(Ⅰ)得()

11121n n n n c a b n n =-

=-+ ①设n n p a =，{}n p 的前n 项和为n P .则2111112222

n n n P =+++=-L . 又设111

n n q b n n =

=-+，{}n q 的前n 项和为n Q . 则1111111122311n Q n n n ?

?????=-

+-++-=- ? ? ?++?

?????

L . 所以n n n T P Q =-= 112n

1111112n n n ?

?--=- ?++??

②令111111

2212n n n n T T n n ++-=--+=++ ()()()()

1122212n n n n n n ++++-++.

由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T L 递减.所以，4T 最大.

即当4k =时，k n T T ≥.

【压轴训练】

1．(2018·郑州模拟)已知数列{}n a 满足123n a a a a ?=2

n 2(n ∈N *

),且对任意n ∈N *

都有

12111......n

t a a a ++<,则实数t 的取值范围为 ( ) 1.(.)3A +∞ 1.[.)3B +∞ 2.(.)3C +∞ 2

.[.)3

D +∞ 【答案】D 【解析】

因为数列{}n a 满足123n a a a a ?=2n 2,

所以n=1时, 12a =,当n ≥2时, 2123121n a a a a n -?=-（）,可得: 21

2n n a -= ,

所以

2n 1n 11

,a 2

－＝当n=1时,也适合212n n a -=, 数列n 1{

}a 为等比数列,首项为12,公比为1

,所以 n n

12n 11

(1)11121224(1)1a a a 33414

-?＋＋＋＝＝－＜，－

因为对任意n ∈N *

都有 12111......n t a a a ++<,则t 的取值范围为2[.).3

+∞ 2.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，

，

对一切

恒成立，则的取值范围为__ __.

【答案】

【解析】

，

所以，

，

由得

，由函数

的单调性及

知，

当或时，最小值为30，故. 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；

(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n

k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)a n ＝3n －4. (2)?

????－7，294. 【解析】(1)设公差为d ，

则5a 1＋5×4

2d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，

∴a 1＝－1，d ＝3.

∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4. (2)由题意知S n ＝－n ＋

n －1

，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n

k ＜n

＋1＋9

对所有的正整数n 都成立．

∴当n 为奇数时，k ＞－? ??

??n ＋1＋9n 恒成立；

当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9

恒成立．

又∵n ＋1＋9

≥7，当且仅当n ＝3时取等号，

∴当n 为奇数时，n ＋1＋9

在n ＝3上取最小值7，

当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值29

，

∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是? ????－7，294.

4.(2019·湖北黄冈调研)数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝

n ＋1

a n (n ∈N *)． (1)证明：数列????

??a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n

4n －a n

，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.

【答案】(1) 2·

2n n a n －＝. (2)证明：见解析. 【解析】(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n

，又a 1

＝2，

所以数列????

??a n n 是首项为2，公比为1

2的等比数列，

所以a n n ＝2×? ????12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n

＝4n 2n .

(2)证明：b n ＝a n 4n －a n ＝4n

2n 4n －4n 2n

＝1

2n －1

，

因为对任意n ∈N *

，2n －1≥2n －1

，

所以b n ≤1

n －1.

所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2? ??

??1－12n <2. 5.(2019·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7. (1)求{a n }的通项公式；

(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值．【答案】(1)3

()2

n n a -=.

(2)8.

【解析】(1)由a 2＝2，S 3＝7得???

?a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2

＝7

，

解得?????a 1＝4q ＝12

或?????a 1＝1

q ＝2(舍去)．

所以a n ＝4·? ??

??12n －1

＝? ??

??12n －3

(2)由(1)可知，S n ＝a 1（1－q n

）1－q ＝4? ???

?1－12n 1－12

＝8? ?

??1－12n ＜8.

因为a n ＞0，所以S n 单调递增．

又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8)．

又S n ＜m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8.

6. （2019·临川一中实验学校高考模拟（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足

()2212n n n S a a n *+=+∈N ．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）已知对于N n *

∈，不等式

1231111

M S S S S ++++

. 【解析】

（1）1n =时，2

111212a a a +=+，又0n a >，所以11a =，

当2n ≥时，(

212n n n S a a n *

+=+∈N

()2111212n n n S a n a --*

-+=+∈N ，

作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-，因为0n a >，故10n n a a ->+，所以11

n n a a --=，故数列{}n a 为等差数列，所以1

n n a +=．（2）由（1）知()34n n n S +=

，所以()14411333n

S n n n n ??==- ?++??，从而

1231111

S S S S ++++L 411111111111=134253621123n n n n n n ??????????????-+-+-++-+-+- ? ? ? ? ? ???-+-++??????????????

L 411111411111221323123361239

n n n n n n ????=++---=---< ? ?++++++????．所以229

M ≥

，故M 的最小值为229．

7. 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n

3·2

n －1

，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范

围.

【答案】(1)a n ＝3n . (2) 3

∞[,+).

【解析】(1)设公差为d ，由题意得：

?????a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得?

????a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝3

2n (n ＋1)，

∴T n ＝

n （n ＋1）

n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）

n ＋1

， ∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）

＝

（n ＋1）（2－n ）2

n ＋1

， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1

2，

∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是3

2∞[,+).

8. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.

(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *

，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．

【答案】(1)当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)(－3，＋∞)．

【解析】 (1)由n 2

－5n ＋4<0，解得1

，所以n ＝2，3，

所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为2

259

5424

n a n n n ＝－＋＝(-)－，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.

(2)由对于n ∈N *

，都有a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2

＋kn ＋4，可以看作是关于

n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以3

k <，即得k >－3.

所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．

（2013·江西卷）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2

＋n)＝0.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令221(2)n n n n a b ++＝

，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *

，都有564

T <. 【答案】（1）2n a n =.（2）见解析.

10.（2016年高考四川理）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .

（Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线22

21n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121

433n n

n n e e e --++???+>.

【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析. 【解析】

（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n 3都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.

从而1=n n a q -.

由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=，由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.

所以双曲线2

21n

y x a -=的离心率

n e =

由5

q =解得43q =.

因为2(1)2(1)1+k k q q -->

*k q k -?N （）

. 于是1

1211+1

n n n q e e e q q q --++鬃

?>+鬃?=-，故1231

433n n n e e e --++鬃?>

. 11. 设函数()ln 1f x x px =-+ （1）求函数()f x 的极值点；

（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围；

（3）证明：222222222ln 2ln 3ln 4ln 21

(,2)2342(1)

n n n n N n n n --+++???+<

∈≥+ 【答案】（1）1

x p

=；（2）[1,)+∞；（3）见解析. 【解析】

（1）∵ ()ln 1f x x px =-+，∴()f x 的定义域为(0,)+∞，11'()px

f x p x x

，当0p ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上无极值点，当0p >时，()f x 有唯一极大值点1

x p

；（2）由（1）可知，当0p >时，()f x 在1x p =

处却极大值11

()ln f p p

=，此极大值也是最大值，要

使()0f x ≤恒成立，只需11

()ln

0f p p

=≤，解得1p ≥，故p 的取值范围为[1,)+∞；（3）令1p =，由（2）可知，ln 10x x -+≤，即ln 1x x ≤-，

222222

22222222

ln 1ln 2ln 3ln 111

ln 11112323n n n n n n n n n -≤-?≤?+++≤-+-++-L L

=222111111

(1)(

)(1)()232334(1)

n n n n n --++???+<--++???+???+ =11111111

(1)()(1)()2334121n n n n n ---+-+???+-=---++2212(1)

n n n --=

+. 12.(2019·大庆模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在曲线y ＝12x 2＋5

x 上，数列{b n }满足b n ＋b n

＋2

＝2b n ＋1，b 4＝11，{b n }的前5项和为45.

(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝

2a n －3

2b n －8，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k

恒成立的最大正整数k 的值．

【答案】(1)a n ＝n ＋2.b n ＝2n ＋3. (2)8.

【解析】(1)由已知得S n ＝12n 2＋5

2n ，

当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋5

2＝3；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1

＝12n 2＋52n －12(n －1)2

－52(n －1)＝n ＋2，当n ＝1时，符合上式．所以a n ＝n ＋2.

因为数列{b n }满足b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列．设其公差为d ，

则?

b 1＋3d ＝11，5b 1＋10d ＝45，解得?

b 1＝5，

d ＝2，

所以b n ＝2n ＋3. (2)由(1)得，c n ＝

2a n －3

2b n －8

＝

2n ＋1

4n －2＝

2n ＋1

2n －1＝14? ??

??1

2n －1－12n ＋1，

所以T n ＝14? ????1－13＋13－1

5＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝14? ?

??1－12n ＋1.

因为T n ＋1－T n ＝14? ????12n ＋1－12n ＋3＝1

22n ＋12n ＋3

＞0，

所以{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝1

，

故要使T n ＞k 54恒成立，只要T 1＝16＞k

恒成立，

解得k ＜9，所以使不等式成立的最大正整数k 的值为8.

13．（2019·重庆一中高三月考（文））设函数()223(0)x

f x e ax a a =-+>，对于x R ?∈，都有()5f x a

≥成立.

（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：

*1232

ln(),23n n n en e n N n n n n

+++++++>+∈L （其中e 是自然对数的底数）. 【答案】（Ⅰ）(]0,1（Ⅱ）见证明【解析】

（Ⅰ）()22()x

f x e a x R '=-∈Q ，

∴当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <，

)(x f ∴在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减.

x R ?∈Q ，()5f x a ≥都成立，min ()5f x a ∴≥.

又min ()(ln )2ln 5f x f a a a a ==-+，

所以由2ln 55a a a a -+≥，得ln 0a a -≥.01a ∴<≤；

a ∴的取值范围是(]0,1.

（Ⅱ）当1a =时，()5f x a ≥，即2235x e x -+≥.

1x e x ∴≥+.∴当1x >-时，ln(1)x x ≥+.

令()*

1x n N n =

∈，则11ln n n n +??≥ ???

.且1n =时，1ln 2>. 11123411ln ln ln ln 23123n n n +????????

∴+

+++>++++ ? ? ? ?????????

L L

234

1ln ln(1)123

n n n +??=????=+ ???L ，

111

1ln(1)23n n ∴++++>+L .

1232

23n n n n n n n +++++++L 1111112n n n n ??????=++++++ ? ? ???????

L 11

111ln(1)1ln (1)23

n e n n ??=+++++>++=+ ???L ；

即

()*1232

ln (1)23n n n e n n N n n n n

+++++++>+∈L 恒成立. 14. 已知函数f(x)＝log k x(k 为常数，k>0且k≠1)，且数列{f(a n )}是首项为4，公差为2的等差数列． (1)求证：数列{a n }是等比数列；

(2)若b n ＝a n ·f(a n )，当k

时，求数列{b n }的前n 项和S n ；

(3)若c n ＝a n lga n ，问是否存在实数k ，使得{c n }中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】 (1)略 (2)S n ＝n·2n ＋3

(3)(0

，

)∪(1，＋∞) 【解析】 (1)由题意知f(a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log k a n ＝2n ＋2， ∴a n ＝k

2n ＋2

，∴2(1)2

212(1)n n n n a k k a k

++++＝＝.

∵常数k>0且k≠1，∴k 2

为非零常数．

∴数列{a n }是以k 4

为首项，k 2

为公比的等比数列． (2)由(1)知，b n ＝a n f(a n )＝k

2n ＋2

·(2n ＋2)，当k

时，b n ＝(2n ＋2)·2

n ＋1

＝(n ＋1)·2

n ＋2

∴S n ＝2·23

＋3·24

＋4·25

＋…＋(n ＋1)·2n ＋2

，① 2S n ＝2·24

＋3·25

＋…＋n·2

n ＋2

＋(n ＋1)·2

n ＋3

.②

②－①，得S n ＝－2·23

－24

－25

－…－2n ＋2

＋(n ＋1)·2

n ＋3

＝－23

－(23

＋24

＋25

＋…＋2

n ＋2

)＋(n ＋1)·2n ＋3

，

∴33

332(12)

21?2?2.12

()n n n n S n n --＋＋＝－－

＋＋＝ (3)存在．由(1)知，c n ＝a n lga n ＝(2n ＋2)·k

2n ＋2

lgk ，要使c n

lgk

对一切n∈N*成立．

①当k>1时，lgk>0，n ＋1<(n＋2)k2对一切n∈N*恒成立；

②当0(n＋2)k 2对一切n∈N*恒成立，只需2

1 (

)

2min

<，

∵

n n

单调递增，

∴当n＝1时，

()

2min

＝

∴k2<

，且0

综上所述，存在实数k∈(0，

)∪(1，＋∞)满足条件．

15.（2019·江苏高三月考（理））已知正项数列中，用数学归纳法证明：

【答案】见解析.

【解析】

当时，，，所以，时，不等式成立；

假设（）时，成立，则当时，

，

所以，时，不等式成立．

综上所述，不等式成立．

16.（2017·浙江高考模拟）已知无穷数列{}n a的首项1

a=，*

111

n n

a n N

a a

=+∈

（Ⅰ）证明：01

<<；

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

不等式恒成立问题

不等式恒成立问题一、教学目标 1、知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、情感目标；优化学生的思维品质二、教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择三、教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固练习----学生变式探究---学生总结四、教学过程 1、引人高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成）由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法解法一；分离参数由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ，又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x ∈[-1，1]，所以 a<1. 解法二；分类讨论、解不等式

（x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立解法三；构造函数求最值设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃；当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃；当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4 分别作两函数的图象

2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

不等式恒成立问题的基本类型及常用解法 - 副本

不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+b f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ???0 )(0)( n f m f f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立??? ?0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2 1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立?a ＞0 且△＜0; f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立?a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式 ②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论. 例3.不等式3 642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1）当a ＞0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立?? ??0)(0)( n f m f . （2）当a ＜0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ? ? ?0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式. 类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立?a ＞f(x)m ax ， a ＜f(x)对x ∈D 恒成立? a ＜f(x)m in . 说明：①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。例4.（2000.上海）已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。