第一章常用逻辑用语学案

【学习目标】

1.通过实例了解命题的概念，会判断命题的真假．

2.了解四种命题的形式，能正确判断四种命题之间的关系．

3.会应用命题的等价性来判断命题的真假.

【特别关注】

1.利用四种命题的关系判断四种命题的真假．(重点)

2.会写命题的逆命题、否命题、逆否命题．

3.判断一个语句是否是命题．(易混点)

【启动思维】

1．两直线平行，同位角相等为原命题，其逆命题为．

2．判断(1)3≥2，(2)一个数的平方大于零，是否正确？

【走进教材】

1．命题及其结构

(1)命题：在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以

的陈述句叫做命题．其中的语句叫做真命题，

的语句叫做假命题．

(2)命题的数学形式：若p则q，其中p叫做命题的，q叫做命题的．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题

命题 表述形式 原命题 若p 则q 逆命题 否命题 逆否命题

(2)四种命题间的关系

3．四种命题之间的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有 的真假； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性

．

【自主练习】

1．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1

y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2

2．若x 2＝1，则x ＝1的否命题为( )

A ．若x 2≠1，则x ＝1

B ．若x 2＝1，则x ≠1

C ．若x 2≠1，则x ≠1

D ．若x ≠1，则x 2≠1

3．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________命题．(填“真”或“假”)

4．把下列命题改写成“若p，则q的形式”，并判断命题的真假：

(1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；

(3)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.

【典例导航】

题型一判断命题的真假

例1、判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由，若是，判断其真假．

(1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；

(2)x－2>0；

(3)集合{a，b，c}有3个子集；

(4)这盆花长得太好了！

(5)x＋y为有理数，则x，y也都是有理数．

【变式训练】

1.判断下列语句是不是命题：

(1)2是无限循环小数；

(2)x2－3x＋2＝0；

(3)当x＝4时，2x>0；

(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

(5)一个数不是合数就是质数；

(6)作△ABC≌△A′B′C′；

(7)二次函数的抛物线太美了！

(8)4是集合{1,2,3}的元素．

题型二命题的结构

例2、指出下列命题的条件与结论．

(1)负数的平方是正数.

(2)正方形的四条边相等．

(3)质数是奇数．

(4)矩形是两条对角线相等的四边形．

【变式训练】

2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式：

(1)各数位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；

(2)斜率相等的两条直线平行；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)钝角的余弦值是负数．

题型三四种命题的关系

例3、写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假．

(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．

(2)如果x>8，那么x>0.

(3)当x＝－1时，x2－x－2＝0.

【变式训练】

3.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)当c＜0时，若ac＞bc，则a＜b；

(2)若x－2＋(y＋1)2＝0，x＝2且y＝－1；

(3)若四边形是矩形，则其对角线相等．

【学习目标】

1.通过具体实例理解充分条件、必要条件、充要条件．

2.会判断充分条件和必要条件．

3.能证明命题的充要条件.

【特别关注】

1.充分条件和必要条件的判断．(重点)

2.充分条件和必要条件的区分．(易混点)

3.充要条件的判断．(重点)

4.证明充要条件时，充分性和必要性的区分．(易混点)

【启动思维】

1．命题的基本结构形式是，其中是条件，是结论．

2．原命题和它的命题同真假．

【走进教材】

1．充分条件与必要条件

2.充要条件

(1)如果既有，又有，就记作p?q，p是q的充分必要条件，简称条件．

(2)概括地说：如果，那么p与q互为充要条件．

(3)充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一

是，二是．

【自主练习】

1．a＞b是a＞|b|的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．

4．指出下列各题中，p是q的什么条件？

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)p：数列{an}是等差数列，q：数列{an}的通项公式是a n＝2n＋1.

【典例导航】

题型一充分条件、必要条件的判断

例1、下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()

A．a>b＋1B．a>b－1

C．a2>b2D．a3>b3

例2、“x＞1”是“|x|＞1”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

例3、用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“既不充分也不必要条件”填空．

(1)“p：x>1”是“q：1

x<1”的________．

(2)“p：sin α＝

3

2”是“q：α＝

π

3”的________．

(3)“p：四边形是平行四边形”是“q：四边形是矩形”的

________．

(4)p：a＝b，q：直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的________．【变式训练】

1.给出下列四组命题：

(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.

(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．

(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．

(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．试分别指出p是q的什么条件．

题型二充分条件、必要条件的应用

例4、是否存在实数p，使q：“4x＋p<0”是r：“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．

【变式训练】

2.已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．

题型三充要条件的证明

例5、设n∈N

＋

，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 例6、求证：方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是

0

【变式训练】

3.试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

【学习目标】

1.理解全称命题和特称命题．

2.能判定全称命题和特称命题的真假．

3.理解全称命题、特称命题的否定之间的关系．

4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

【特别关注】

1.对全称命题和特称命题的理解．(重点)

2.对不含量词的全称命题和特称命题真假的判断．(易混点)

3.对全称命题和特称命题的否定的理解．(重点)

4.写出全称命题和特称命题的否定．(易混点)

【启动思维】

1．“x>1”是“1

x<1”的______条件(填充分、必要或充要)．

2．命题有四种形式，否命题相对于原命题来说否定的什么？

【走进教材】

1、量词

一、全称量词

概念：短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．

注意以下几点：

(1)将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为?x∈M，p(x)；

(2)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．

例如p：对所有整数x，x2－1＝0，q：对所有整数x,5x－1是整数，其中命题p、q都是全称命题．

二、存在量词

概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号

“?”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．

注意以下几点：

(1)特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．

(2)存在命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．

2、全称命题与特称命题

3、全称命题与特称命题的不同表述

同一个全称命题、存在命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择：

4、含有一个量词的命题的否定．

含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：?x0∈M，?p(x0)．

全称命题的否定是特称命题．

含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定?p：?x∈M，?p(x)．

【自主练习】

1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()

A．每个二次函数的图象都开口向上

B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b

C．存在一条直线与两个相交平面都垂直

D．存在一个实数x0使不等式x02－3x0＋6<0成立

2．命题“有的函数没有解析式”的否定是()

A．有的函数有解析式

B．任何函数都没有解析式

C．任何函数都有解析式

D．多数函数有解析式

3．下列语句：①有一个实数a不能取对数；②所有不等式的解集A，都有A?R；

③有的向量方向不定；④自然数的平方是正数．其中全称命题有________(填序号)，特称命题有__________(填序号)．

4．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：

(1)当a＞1时，则对任意x，曲线y＝a x与曲线y＝log a x有交点．

(2)被5整除的整数的末位数字都是0.

(3)有的四边形没有外接圆．

【典例导航】

题型一全称命题与特称命题的辨析

例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(4)矩形的对角线不相等；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．【变式训练】

1.判断下列语句是否是全称命题或存在性命题：

①有一个实数a，a不能取对数；

②所有不等式的解集A，都有A?R；

③三角函数都是周期函数吗？

④有的向量方向不确定；

⑤自然数的平方是正数．

题型二全称命题特称命题真假的判定

例2、判断下列命题的真假：

(1)p：所有的单位向量都相等；

(2)p：任一等比数列{a n}的公比q≠0；

(3)p：存在x0∈R，x02＋2x0＋3≤0；

(4)p：存在等差数列{an}，其前n项和Sn＝n2＋2n－1.

【变式训练】

2.判断下列命题的真假．

(1)所有的素数都是奇数；

(2)有一个实数，使x2＋2x＋3＝0；

(3)有些整数只有两个正因数；

(4)所有奇数都能被3整除．

题型三含有一个量词的命题的否定

例3、已知命题p：?n∈N,2n＞1 000，则?p为() A．?n∈N,2n≤1 000B．?n∈N,2n＞1 000 C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n＜1 000

【变式训练】

3.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形；

(4)存在一个实数x

0，使得3x

<0.

【学习目标】

1.通过实例了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．

2.会判断含“且”、“或”、“非”的命题的真假.

【特别关注】

1.对含“且”“或”“非”的命题真假的判断．(重点)

2.“且”“或”“非”在逻辑判断中的综合应用．(易混点)

【启动思维】

1．命题是指用表达的，可以判断的句．2．矩形的对角线相等且互相平分；矩形有外接圆或有内切圆，想一想两者说法有何不同？

【走进教材】

1．“p”且“q”

用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“”．

当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是命题；在两个命题p 和q之中，至少有一个命题是假命题，新命题“p且q”是假命题．

2．“p”或“q”

用“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“”．

在两个命题p和q之中，至少有一个命题是真命题时，新命题“p或q”是真命题；当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”是假命题．