八年级上册数学 全册全套试卷易错题(Word版 含答案)

八年级上册数学全册全套试卷易错题（Word版含答案）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC

=，D、E是斜边BC上两动点，且

∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF.

（1）试说明：△AED≌△AFD；

（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；

（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.

【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130

【解析】

试题分析：()1由ABE AFC

≌，得到AE AF

=，BAE CAF

∠=∠，

45,

EAD

∠=45,

BAE CAD

∴∠+∠=45,

CAF CAD

∴∠+∠=即

45.

DAF

∠=EAD DAF

∠=∠，从而得到.

AED AFD

≌

()2由△AED AFD

≌得到ED FD

=，再证明90

DCF

∠=?，利用勾股定理即可得出结论.

()3过点A作AH BC

⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.

2

AH BH BC

===

1

DH BH BD

=-=或7,

DH BH BD

=+=求出AD的长，即可求得2

DE.

试题解析：()1ABE AFC

≌，

AE AF

=，BAE CAF

∠=∠，

45,

EAD

∠=90,

BAC

∠=

45,

BAE CAD

∴∠+∠=

45,

CAF CAD

∴∠+∠=

即45.

DAF

∠=

在AED和AFD中，{

AF AE

EAF DAE

AD AD，

=

∠=∠

=

.

AED AFD

∴≌

()2AED AFD

≌，

ED FD

∴=，

,90.AB AC BAC =∠=?

45B ACB ∴∠=∠=?， 45ACF ，

∠=? 90.BCF ∴∠=?

设.DE x =

,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==

222,FC DC DF +=

()2

2239.x x ∴+-=

解得： 5.x = 故 5.DE =

()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.2

AH BH BC ==

= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.

点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.

2．如图，AB=12cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC=BD=9cm ，点P 在线段AB 上以3 cm/s 的速度，由A 向B 运动，同时点Q 在线段BD 上由B 向D 运动．

（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当运动时间t=1（s ），△ACP 与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；

（2）将 “AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB=∠DBA ”，其他条件不变．若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能使△ACP 与△BPQ 全等. （3）在图2的基础上延长AC ，BD 交于点E ，使C ，D 分别是AE ，BE 中点，若点Q 以（2）中的运动速度从点B 出发，点P 以原来速度从点A 同时出发，都逆时针沿△ABE 三边运动，求出经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇．

【答案】（1）△ACP ≌△BPQ ，理由见解析；线段PC 与线段PQ 垂直（2）1或3

2

（3）9s 【解析】 【分析】

（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．

（3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得． 【详解】

（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9， 又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP 与△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =??

∠=∠??=?

，

∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）， ∴∠ACP=∠BPQ ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°， ∠CPQ=90°，

则线段PC 与线段PQ 垂直. （2）设点Q 的运动速度x,

①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，

912t

t xt

=-??

=?， 解得3

1

t x =??

=?， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，

912xt

t t =??

=-?

解得

6

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

，

综上所述，存在

3

1

t

x

=

?

?

=

?

或

6

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

使得△ACP与△BPQ全等.

（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，

设经过x秒后P与Q第一次相遇，

∵AC=BD=9cm，C，D分别是AE，BD的中点；

∴EB=EA=18cm.

当V Q=1时，

依题意得3x=x+2×9，

解得x=9；

当V Q=

3

2

时，

依题意得3x=

3

2

x+2×9，

解得x=12.

故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.

3．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若

AB=82，BC=16．

（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；

（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设

BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．

【答案】（1）4；（2）8

【解析】

【分析】

（1）过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，由点P 和点Q 同时出发，且速度相同，得出BP=CQ ，根据PF ∥AQ ，可知∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，则可得出∠B=∠PFB ，证出BP=PF ，得出PF=CQ ，由AAS 证明△PFD ≌△QCD ，得出，再证出F 是BC 的中点，即可得出结果；

（2）过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，易知△PBF 为等腰三角形，可得BE=1

2

BF ，由（1）证明方法可得△PFD ≌△QCD 则有CD=1

2

CF ，即可得出BE +CD =8． 【详解】

解:（1）如图①，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，

∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同， ∴BP=CQ ， ∵PF ∥AQ ，

∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ， 又∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB ， ∴∠B=∠PFB ， ∴BP=PF ，

∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ， ∴△PFD ≌△QCD ， ∴DF=CD=

1

2

CF ， 又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ， ∴F 是BC 的中点，即FC=1

2

BC=8， ∴CD=

1

2

CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值． 如图②，点P 在线段AB 上， 过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，

易知△PBF 为等腰三角形， ∵PE ⊥BF ∴BE=

12BF ∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=

12

CF ∴()1111

82222

BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== 【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．

4．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=?是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．

()1当点E 在线段AD 上时，

①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =； ②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+；

()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数

量关系(直接写出结果，不需要证明)．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD

【解析】

【分析】

（1）①根据等边对等角，求到B C

∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF

?是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到

120

AFB ADC

∠=∠=?，推出ABF ACD

??

≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；

②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；

（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．

【详解】

（1）①证明：AB AC

=

B C

∴∠=∠

,60

DF DE ADB

=∠=?，且E与A重合，

ADF

∴?是等边三角形

60

ADF AFD

∴∠=∠=?

120

AFB ADC

∴∠=∠=?

在ABF

?和ACD

?中

AFB ADC

B C

AB AC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

ABF ACD

∴??

≌

BF DC

∴=

②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，

∵∠ADB＝60°DE＝DF

∴△DEF为等边三角形

∵AG∥EF

∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°

∴∠DAG＝∠AGD

∴DA＝DG

∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF

由①易证△AGB≌△ADC

∴BG＝CD

∴BF ＝BG ＋GF ＝CD ＋AE

（2）如图3，和（1）中②相同，过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，

由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，

BF CD BF BG GF AE ∴+=+==

故BF AE CD =-． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

5．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点

E .连接CE 并延长，交射线AD 于点

F . （1）如图，连接AE ，

①AE 与AC 的数量关系是__________； ②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；

（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.

【答案】(1) ①AB=AE ；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF ，理由见详解. 【解析】 【分析】

（1）①根据轴对称性，即可得到答案；

②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，由ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证?FCG是等边三角形，得GF=FC，再证?ACG??BCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.

【详解】

（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，

∴AB和AE关于射线AD的对称，

∴AB=AE.

故答案是：AB=AE；

②∵点B关于射线AD的对称点为点E，

∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，

∵ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，

∴∠ACE=1

180(602)60

2

αα??

--=+

??，

∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α

+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：

作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，

∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，

∴∠ABC=∠AFC=60°，

∴?FCG是等边三角形，

∴GF=FC，

∵ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∴∠ACG=∠BCF=α.

在?ACG和?BCF中，

∵

CA CB

ACG BCF CG CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴?ACG??BCF(SAS)，

∴AG=BF，

∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AG=BF=EF，

∵AF-AG=GF，

∴AF-EF=CF.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.

二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

6．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．

(1)求证：∠BAD=∠EDC；

(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.

（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.

【详解】

解：(1)如图1，

∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，

又∵DE=DA，

∴∠E=∠DAE，

∴∠BAD=∠EDC．

(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，

∵DE=DA，

∴DM=DA，

由(1)可得，∠BAD =∠EDC ， ∴∠MDC =∠BAD ，

∵△ABD 中，∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°， ∴∠MDC +∠ADB =120°， ∴∠ADM =60°， ∴△ADM 是等边三角形， ∴AD =AM ． 【点睛】

本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.

7．如图，ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且AD AE =，连接DE ．

（1）如图①，若35B C ∠=∠=?，80BAD ∠=?，求CDE ∠的度数； （2）如图②，若75ABC ACB ∠=∠=?，18CDE ∠=?，求BAD ∠的度数；

（3）当点D 在直线BC 上(不与点B 、C 重合)运动时，试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)40°；（2）36°；（3）∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ． 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；

（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D 在线段BC 上时，

∠ADC=y°+α，③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论． 【详解】

(1)∵∠B=∠C=35°， ∴∠BAC=110°， ∵∠BAD=80°, ∴∠DAE=30°， ∵AD=AE ，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°；

(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，

∴∠E=75°?18°=57°，

∴∠ADE=∠AED=57°，

∴∠ADC=39°,

∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，

∴∠BAD=36°.

（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β

①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α

∴

y x a

y x aβ

?=+

?

=-+

?

①

②

，①-②得，2α﹣β=0，

∴2α=β；

②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α

∴

y x a

y a xβ

?=+

?

+=+

?

①

②

，②-①得，α=β﹣α，

∴2α=β；

③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α

∴

180

180

y a x

x y a

β?

?

?-++=

?

++=

?

①

②

，②-①得，2α﹣β=0，

∴2α=β．

综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．

【点睛】

考核知识点：等腰三角形性质综合运用.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质，分类讨论分析问题是关键．

8．已知如图1，在ABC

?中，AC BC

=，90

ACB

∠=，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.

（1）求证：AE CG

=.

（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：

BE CM

=.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出

△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；

（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．

【详解】

（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．

又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．

又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．

在△AEC和△CGB中，∵

CAE BCG

AC BC

ACE CBG

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；

（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC．

在△BCE和△CAM中，

BEC CMA

ACM CBE

BC AC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

9．如图，已知DCE

∠与AOB

∠，OC平分AOB

∠．

(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=?，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由. 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD CE =．

理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=?， …

请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． (3)若120AOB ∠=?，60DCE ∠=?．

①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．

②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．

【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC -= 【解析】 【分析】

（1）通过ASA 证明CDO CEF ??≌即可得到CD=CE ；（2）过点 C 作CM OA ⊥，

CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，通过AAS 证明CMD CNE ??≌同样可得到CD=CE ；（3）①方法一：过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥垂足分别为 M ，N ，通过AAS 得到

CMD CNE ??≌，进而得到,CD CE DM EN ==，利用等量代换得到=OE OD ON OM ++，在 Rt CMO ?中，利用30°角所对的边是斜边的一半得

12OM OC =，同理得到1 2

ON OC =，所以OE OD OC +=；方法二：以CO 为一边作

60

FCO

∠=?，交O B于点F，通过ASA证明CDO CEF

??

≌，得到

,

CD CE OD EF

==，所以OE OD OE EF OF OC

+=+==；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF

得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.

【详解】

解：(1)OC平分AOB

∠，145

∠=∠2=?

∴，

390245,123

??

∴∠=-∠=∴∠=∠=∠

OC FC

∴=

又456590?

∠+∠=∠+∠=

在CDO

?与CEF

?中，

13

46

OC FC

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

()

CDO CEF ASA

∴??

≌

CD CE

∴=

(2)如图2，过点C作CM OA

⊥，CN OB

⊥，垂足分别为M，N，

∴90

CMD CNE

∠=∠=?，

又∵OC平分AOB

∠，

∴CM CN

=，

在四边形O DCE中，

12360

AOB DCE

∠+∠+∠+∠=?，

又∵90

AOB DCE

∠=∠=?，

∴12180

∠+∠=?，

又∵13180

∠+∠=?，

∴32

∠=∠，

在CMD

?与CNE

?中，

32

CMD CNE

CM CN

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴()

CMD CNE AAS

??

≌，

∴CD CE

=.

(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC

+=.

理由如下：

方法一：如图3(1)，过点C作C M OA

⊥，CN OB

⊥，

垂足分别为M，N，

∴90

CMD CNE

∠=∠=?，

又∵OC平分AOB

∠，

∴CM CN

=，

在四边形ODCE中，

12360

AOB DCE

∠+∠+∠+∠=?，

又∵60120180

AOB DCE

∠+∠=?+?=?，

∴12180

∠+∠=?，

又∵23180

∠+∠=?，

∴13

∠=∠，

在CMD

?与CNE

?中，

13

CMD CNE

CM CN

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴()

CMD CNE AAS

??

≌，

∴,

CD CE DM EN

==.

∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在Rt CMO

?中，

1

4

90590302

AOB ∠=?-∠=?-∠=?，

∴12OM OC =

，同理1 2

ON OC =， ∴11

22

OE OD OC OC OC +=

+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=?，交 O B 于点 F ， ∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=?， ∴3180260FCO ∠=?-∠-∠=?， ∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠， ∴COF ?是等边三角形， ∴CO CF =，

∵4560DCE ∠=∠+∠=?，

6560FCO ∠=∠+∠=?，

∴46∠=∠，

在CDO ?与CEF ?中， 1346CO CF ∠=∠??

=??∠=∠?

∴()CDO CEF ASA ??≌， ∴,CD CE OD EF ==.

∴OE OD OE EF OF OC +=+==.

②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=. 如图，以OC 为一边，作∠OCF=60°与OB 交于F 点 ∵∠AOB=120°，OC 为∠AOB 的角平分线 ∴∠COB=∠COA=60° 又∵∠OCF=60° ∴△COF 为等边三角形 ∴OC=OF

∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°

∴∠OCD=∠FCB

又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°

∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°

∴∠COD=∠CFE

∴△COD≌△CFE（ASA）

∴CD=CE，OD=EF

∴OE=OF+EF=OC+OD

即OE-OD=OC

-=.

在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC

如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点

∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线

∴∠COB=∠COA=60°

又∵∠OCG=60°

∴△COG为等边三角形

∴OC=OG

∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE

又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°

∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°

∴∠CGD=∠COE

∴△CGD≌△COE（ASA）

∴CD=CE，OE=DG

∴OD=OG+DG=OC+OE

即OD-OE=OC

【点睛】

本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.

10．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．

（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；

（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；

（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）

【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4

【解析】

【分析】

（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；

（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质解答；

（3）根据等腰直角三角形的性质计算．

【详解】

解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，

∴PC＝1cm，

∴AB＝PC，

∵DP⊥AP，

∴∠APD＝90°，

∴∠APB+∠CPD＝90°，

∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠BAP＝∠CPD，

在△ABP和△PCD中，

B C

BAP CPD

AB PC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABP≌△PCD，

∴BP＝CD＝4cm；

（2）PB＝PC，

理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，

∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP＝∠EDP．

∵DP⊥AP，

∴∠DPA＝∠DPE＝90°，

在△DPA和△DPE中，

ADP EDP

DP DP

DPA DPE

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

∴△DPA≌△DPE（ASA），

∴PA＝PE．

∵AB⊥BP，CM⊥CP，

∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．

在△APB和△EPC中，

ABP ECP

APB EPC

PA PE

∠=∠

?

?

∠=

?

?=

?

，

∴△APB≌△EPC（AAS），

∴PB＝PC；

（3）∵△PDC是等腰三角形，

∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，又∵DP⊥AP，