人教版八年级数学上册 多边形及其内角和含答案解析

多边形及其内角和

基础题

1．下列图中不是凸多边形的是

A．B．C．D．

2．已知一个多边形的每一个外角都等于36°，下列说法错误的是

A．这个多边形是十边形B．这个多边形的内角和是1800°

C．这个多边形的每个内角都是144°D．这个多边形的外角和是360°

3．下列图形中，内角和与外角和相等的是

A．B．C．D．

4．如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是

A．n B．2n-2 C．2n D．2n+2

5．多边形的内角和不可能为

A．180°B．680°C．1080°D．1980°

6．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是___________．

7．某正n边形的一个内角为108°，则n=___________．

8．如果铺满地面，那么用正方形和等边三角形，正六边形三种组合的比例应为__________．

9．根据图中所表示的已知角的度数，可以求出∠α=__________°．

10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于__________．

11．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数．

能力题

12．不能够铺满地面的组合图形是

A．正八边形和正方形B．正方形和正三角形

C．正六边形和正方形D．正六边形和正三角形

13．下列说法正确的有

①由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内

角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形．

A．0个B．1个C．2个D．3个

14．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的

A．内角和增加180°B．外角和增加360°

C．对角线增加一条D．内角和增加360°

15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了___________米．

16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___________．

17．若一个多边形的内角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线__________条．

18．已知：四边形ABCD如图所示，

（1）填空：∠A+∠B+∠C+∠D=__________°．

（2）请用两种方法证明你的结论．

19．若一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1440 ，求原多边形的边数．

20．一个多边形的各内角都相等，且每个内角与外角之差的绝对值为60°，求此多边形的边数．

参考答案

1．【答案】A

【解析】A．不是凸多边形，整个多边形不是都在每条边所在直线的同侧；

B．是凸多边形，符合凸多边形的定义；

C．是凸多边形，符合凸多边形的定义；

D．是凸多边形，符合凸多边形的定义，故选A．

2．【答案】B

【解析】多边形的边数为：360°÷36°=10，所以，多边形的内角和为：（10-2）·180°=1440°，每一个内角为：180°-36°=144°，多边形的外角和为：360°，所以，说法错误的是B选项．故选B．

3．【答案】B

【解析】根据多边形内角和公式（n–2）×180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

设多边形的边数为n，根据题意得（n–2）×180°=360°，解得n=4．故选B．

4．【答案】D

【解析】设多边形边数为x，则（x-2）·180°=n·360°，即x=2n+2，故选D．

5．【答案】B

【解析】A．∵180o÷180o=1，故A是多边形的内角和；

B．∵680°÷180o=2……14，故B不是多边形的内角和；

C．∵1080o÷180o=6，故C是多边形的内角和；

D．∵1980o÷180o=11，故D是多边形的内角和，故选B．

6．【答案】9

【解析】(n?2)?180°=3×360°+180°，所以(n?2)?180°=6×180°+180°，n?2=7，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．

7．【答案】5

【解析】．∵正n边形的一个内角为108°，∴正n边形的一个外角为180°–108°=72°，∴n=360°÷72°=5．故答案为：5．

8．【答案】2∶1∶1

【解析】∵正方形、等边三角形和正六边形的内角的度数分别是90，60，120，

∴正方形、等边三角形和正六边形三种组合的比例应为2∶1∶1，故答案为：2∶1∶1．

9．【答案】50

【解析】∵图中110°角的外角为180°–110°=70°，∴∠α=360°–120°–120°–70°=50°．故答案为：50．

10．【答案】270°

【解析】∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=360°–（∠A+∠B）=270°，故答案为：270°．

11．【解析】设这个内角度数为x°，边数为n，

则（n-2）×180°-x=2570°，

n×180°=2930°+x，即x=n×180°-2930°，

∵0°

解得16.2

又∵n为正整数，

∴n=17，

则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°．

12．【答案】C

【解析】A、正八边形和正方形内角分别为135°、90°，由于135×2+90=360，故能铺满，不符合题意；

B、正三角形和正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满，不符合题意；

C、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90m+120n=360°，m=4-4

3

n，显然n取任何正整数

时，m不能得正整数，故不能够铺满，符合题意；

D、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60°，由于2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，

故能够铺满，不符合题意，故选C．

13．【答案】A

【解析】①中缺少“在平面内”这一前提，故错误；②中多边形的两边所在直线组成的角中有一个角是多边形内角的对顶角，它既不是多边形的内角，也不是多边形的外角，故错误；③中缺少“各个角都相等”这一条件，故错误．故选A．

14．【答案】A

【解析】因为n边形的内角和是（n–2）?180°，外角和为360°，对角线的条数为(3)

2

n n

-

，当边数增加一条就

变成n+1，则内角和是（n–1）?180°，内角和增加：（n–1）?180°–（n–2）?180°=180°；根据多边形的外角和特

征，边数变化外角和不变；对角线的条数为(2)(1)

2

n n

-+

．所以只有A正确，故选A．

15．【答案】120

【解析】根据多边形的外角和为360°，因为360°÷30°=12，所以他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．

16．【答案】360°

【解析】∵∠7=∠4+∠6，∠8=∠1+∠5，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°．故答案为：360°．

17．【答案】3

【解析】设多边形的边数是n，则（n-2）·180°=720°，解得n=6，

∴从这个多边形的一个顶点引出对角线是：6-3=3（条），故答案为：3．

18．【解析】（1）四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360?．

（2）证法一：如图1，连接AC，

∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠D+∠DAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠ACD+∠D+∠DAC=360°，

∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°．

证法二：如图2，在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD，

∵∠PAB+∠ABP+∠APB=180°，∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°，

∠DPC+∠PCD+∠CDP=180°，∠APD+∠ADP+∠DAP=180°，

∴∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×4–360°=360°．

19．【解析】设原多边形的边数为n，则增加一边后的边数为1

n+．

由多边形内角和定理得(12)1801440

n+-??=?，解得9

n=，

故原多边形的边数为9．

解答本例也可以利用多边形边数每增加1，其内角和就增加180?这一规律来解，即原多边形的内角和为1440180

?-?，若设原多边形的边数为n，则可得方程(2)1801440180

n-??=?-?，解得9

n=．

20．【解析】设一个内角与其外角分别为x°，y°，

则有

180 ||60 x y

x y

+=

?

?

-=

?

，

解得1

1120 60

x y =

?

?

=?或2

2

60

120

x

y

=

?

?

=

?

，

∴此多边形的边数为：360°÷60°=6或360°÷120°=3，∴此多边形的边数为6或3．