2015年广东省高考数学试卷(理科)

2015年广东省高考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）若集合M={x |（x +4）（x +1）=0}，N={x |（x ﹣4）（x ﹣1）=0}，则M ∩N=（ ）

A ．{1，4}

B ．{﹣1，﹣4}

C ．{0}

D ．?

2．（5分）若复数z=i （3﹣2i ）（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．2﹣3i

B ．2+3i

C ．3+2i

D ．3﹣2i

3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

A ．y=√1+x 2

B ．y=x +1x

C ．y=2x +

1

2

x D ．y=x +e x 4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）

A ．521

B ．1021

C ．11

21 D ．1

5．（5分）平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是（ ）

A ．2x +y +5=0或2x +y ﹣5=0

B ．2x +y +√5=0或2x +y ﹣√5=0

C ．2x ﹣y +5=0或2x ﹣y ﹣5=0

D ．2x ﹣y +√5=0或2x ﹣y ﹣√5=0

6．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{4x +5y ≥81≤x ≤30≤y ≤2

，则z=3x +2y 的最小值为（ ）

A ．4

B ．235

C ．6

D ．31

5

7．（5分）已知双曲线C ：x 2a ﹣y 2b =1的离心率e=5

4

，且其右焦点为F 2（5，0），

则双曲线C 的方程为（ ）

A ．x 24﹣y 23=1

B ．x 29﹣y 216=1

C ．x 216﹣y 29=1

D ．x 23﹣y 24=1

8．（5分）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）

A ．至多等于3

B ．至多等于4

C ．等于5

D ．大于5

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）

必做题（11～13题）

9．（5分）在（√x ﹣1）4的展开式中，x 的系数为 ．

10．（5分）在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25，则a 2+a 8= ．

11．（5分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a=√3，sinB=12

，

C=π

6

，则b= ． 12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）

13．（5分）已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则P= ．

14．（5分）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin （θ﹣π

4

）=√2，点A 的极坐标为A

（2√2，7π

4），则点A 到直线l 的距离为 ．

15．如图，已知AB 是圆O 的直径，AB=4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于D 和点P ，则OD= ．

三、解答题

16．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m →

=（√22，﹣√22

），n →=（sinx ，

cosx ），x ∈（0，π

2

）．

（1）若m →⊥n →

，求tanx 的值； （2）若m →

与n →

的夹角为π

3，求x 的值．

17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图： 工人编号 年龄 工人编号

年龄 工人编号

年龄 工人编号

年龄

1

40 10 36 19 27 28 34

2 3 4 5 6 7 8 9

44 40 41 33 40 45 42 43

11 12 13 14 15 16 17 18

31 38 39 43 45 39 38 36

20 21 22 23 24 25 26 27

43 41 37 34 42 37 44 42

29 30 31 32 33 34 35 36

39 43 38 42 53 37 49 39

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值x 和方差s 2；

（3）36名工人中年龄在x ﹣s 和x +s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？

18．（14分）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E 是CD 的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF=2FB ，CG=2GB ． （1）证明：PE ⊥FG ；

（2）求二面角P ﹣AD ﹣C 的正切值； （3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．

19．（14分）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x ﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；

（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；

（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线

与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m ≤√a ?2e 3

﹣1．

20．（14分）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y 2﹣6x +5=0相交于不同的两点A

，

B ．

（1）求圆C 1的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数 k ，使得直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．

21．（14分）数列{a n }满足：a 1+2a 2+…na n =4﹣n+2

2

n?1，n ∈N +．

（1）求a 3的值；

（2）求数列{a n }的前 n 项和T n ；

（3）令b 1=a 1，b n =T n?1n +（1+12+13+…+1

n

）a n （n ≥2），证明：数列{b n }的前n 项

和S n 满足S n ＜2+2lnn ．

2015年广东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）

A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．?

【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，

N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，

则M∩N=?．

故选：D．

2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z=（）

A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i

【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则z=2﹣3i，

故选：A．

3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

A．y=√1+x2B．y=x+1

x

C．y=2x+

1

2x

D．y=x+e x

【解答】解：对于A，y=√1+x2是偶函数，所以A不正确；

对于B，y=x+1

x

函数是奇函数，所以B不正确；

对于C，y=2x+1

2

是偶函数，所以C不正确；

对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．

故选：D．

4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红