连续时间傅里叶变换
第二章 连续时间傅里叶变换
1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS
(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞
dt t f T 1)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t
jn ∈ω，函数周期为
T 1，角频率为
1
1122T f π
=
π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 (4) 三角形式的FS ：
(i) 展开式：
∑∞
=ω+ω+
=1110)
sin ()(n n n t n b t con a a t f
(ii) 系数计算公式：
(a) 直流分量：
?=
1
)(11
0T
dt
t f T a
(b) n 次谐波余弦分量：
N
n tdt n t f T a T
n ∈ω=
?,cos )(21
11
(c) n 次谐波的正弦分量：N
n tdt n t f T b T
n ∈ω=
?1
,sin )(211
(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。 (v)
合并同频率的正余弦项得：
(a)
∑∞
=ψ+ω+
=1
10)
cos()(n n n t n c c t f
(b) ∑∞
=θ+ω+
=110)
sin()(n n n t n d d t f
n
ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系：
(a) 000d c a ==
(b) n n n n n d c a θ=ψ=sin cos (c) n n n n n n d c b θ=ψ-=cos sin (d) 000a d c ==
(e) 2
222n n n n b a d c +==
(f)
n
n n a b arctg
-=ψ
(g) n
n n b a arctg
=θ
(5) 复指数形式的FS ：
(i) 展开式：
∑∞
-∞
=ω=
n t
jn n e F t f 1
)(
(ii) 系数计算：
Z
n dt e t f T F T
t jn n ∈=
?ω-,)(11
11
(iii) 系数之间的关系：
?????≠-==0),(21
0,
0n jb a n a F n n n *
*,n
n n n F F F F ==--
)
0(,2121212
2≠+====-n b a d c F F n n n n n n
)
0(,≠==+-n d c F F n n n
n
n
n n a F F =+-
j
b F F n n n /=--
)
0(442
2222≠==+=
=
-n F F F b a d c n
n n n
n n
n
(iv)
n
F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
(v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。 (6) 奇偶信号的FS ：
(i) 偶信号的FS ：
?ω=1
11
cos )(2T
n tdt
n t f T a ；
sin )(21
11
=ω=
?T
n tdt n t f T b ； n n n a d c ==
n n n n n F a jb a F -==-=
22 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；
2π
=θn (ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。 (iii)奇信号的FS ：
0==n a a ；
?ω=
1
11
sin )(2
T
n tdt
n t f T b ；n n n n jF b d c 2===；
n n n jb F F 21-
=-=- (n F 纯虚，奇对称)；
2π-
=ψn ；0=θn (iv) 奇的周期信号的FS 系数只有正弦项。 (7) 周期信号的傅里叶频谱：
(i) 称{}n F 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS 谱。 (ii)称
{}n F 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS 幅度谱。
(iii)称{}n ?为傅里叶复数相位频谱，简称FS 相位谱。
(iv)周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率1ωn (或频率1nf )上有值。
(v)FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T π=ω。
(vi)FS 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS 频谱的值、幅度和相位
(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS 频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。
(viii)称n c 为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。
(ix)称n F 为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。
(8) 周期矩形脉冲序列的FS 谱的特点：
(i) 谱线包络线为Sa 函数；
(ii) 谱线包络线过零点：(其中
1
12T π=
ω为谱线间隔)：
π=πτ
k T n 1
，或
τπ
=
ωk n 21，0,≠∈k Z k 即当τ
π=ω=ω/21k n 时，0===n n n F c a 。 (iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。
(iv) 带宽τπ=βω/2或τ
=β/1f 只与矩形脉冲的脉宽τ有关，而与脉高和周期均无关。(定义
τπ/2~0为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)
(9) 周期信号的功率：
[]∑∞
-∞
==
n n
F t f P 2
)(
(10) 帕斯瓦尔方程：
?1
)(121
T
dt t f T 2
∑∞
-∞
==
n n
F
2 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)
(1) 信号f (t )的傅里叶变换：
[]
)()()(t f F dt e t f F t j ?
∞
∞
-ω-==
ω?
是信号)(t f 的频谱密度函数或FT 频谱，简称为频谱(函数)。
(2) 频谱密度函数)(ωF 的逆傅里叶变换为：[])(?)(21)(1ω=
ωωπ=-∞
∞-ω?
F F d e F t f t j
(3) 称t j e ω-为FT 的变换核函数，t
j e ω为IFT 的变换核函数。
(4) FT 与IFT 具有唯一性。如果两个函数的FT 或IFT 相等，则这两个函数必然相等。
(5) FT 具有可逆性。如果[])()(ω=F t f F ，则必有
[])
()(1
t f F F
=
ω-；反之亦然。 (6) 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成
)
()()(ω?ω=ωj e F F
(i) 称
)
(ωF 为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性； (ii) 称())()(ω=ω?F Arg 为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。 (7) FT 频谱可分解为实部和虚部：)
()()(ω+ω=ωi r jF F F
)
()
(arctan )(,)()()(2
2ωω=ω?ω+
ω=
ωr i
i r F F F F F
()()
)(sin )()(,)(cos )()(ω?ω=ωω?ω=ωF F F F i r
(8) FT 存在的充分条件：时域信号)(t f 绝对可积，即?∞
∞-∞
注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT 。 (9) FT 及IFT 在赫兹域的定义：
?∞
∞
-π-=
dt
e t
f f F ft j 2)()(；
?∞
∞-π=
df
e
f F t f ft
j 2)()(
(10) 比较FS 和FT ：
3 典型非周期信号的FT 频谱
(1) 单边指数信号：)0()()(>=-a t u e t f at
ω
+=
=
=
=
ω?
?
?∞ω+-∞ω--∞
∞
-ω-j a dt e dt e e dt e t f F t j a t j at t j 1)()(0
)(0
幅度谱：
221)(ω+=
ωa F
相位谱：
()???
??ω-=???? ??ω+ω-=ω=ω?a arctg a j a Arg F Arg 22)()( 单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。
ω
ω
|F(ω)| 1/a
?(ω) π/2 -π/2 0 0
t 0
1
f (t ) (a )
(b )
(c )
图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱
(2) 偶双边指数信号：)
0()(>=-a e
t f t
a
?
?
?∞ω--∞-ω-∞
∞
-ω-+=
=ω0
0)()(dt e e dt e e dt e t f F t j at t j at t j
2
2
)(0)(211ω+=ω++ω-=+
=
?
?
∞ω+-∞
-ω+--a a j a j a dt e dt e t j a t
j a ，为实偶函数。
幅度谱：
222)(ω+=
ωa a F
相位谱：0)(=ω?
偶双边指数信号及其频谱如图2所示。
ω
F(ω) 2/a
0 t 0 1
f (t ) (a )
(b )
图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱
(3) 矩形脉冲信号：)()(t EG t f τ= (脉宽为、脉高为E ) ???∞
∞
-ττ-ττ-ω-ω-ω=
=
=ω2
/2
/2
/2/cos )()(tdt E dt Ee dt e t f F t j t j
?
??
??ωτ?τ=ω
ω?
=ττ-2sin 2/2
/Sa E t E ，为实函数。
幅度谱：?
??
??ωττ=ω2)(Sa E F
相位谱：
-
∈??????
?
<ωτπ+<ω<τ+π>ωτ
π+<ω<τπ=ω?Z k F k k F k k )
0)(()1(4)12(2,)0)(()12(24,0)(对应对应
矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。
F (ω)
E τ=矩形脉冲面积
0 τπ2 τπ4
τπ
6 ω
-τ/2 0 τ/2 t
f (t )=)(t EG τ E
(a ) (b )
图3 (a)矩形脉冲信号 (b)频谱
矩形脉冲FT 的特点：
(i) FT 为Sa 函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积；
(ii) FT 的过零点位置为)0(/2≠τπ=ωk k ；
(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间[]τπτπ-∈ω/2,/2之内
(iv) 带宽为τπ=ω/2B 或τ
=/1f B ，只与脉宽τ有关，与脉高E 无关。
信号等效脉宽：)0(/)0(f F =τ 信号等效带宽：
τ=
1f B
图4 (a)信号的等效脉宽 (b)等效带宽
(4) 符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT 。
ω
=
=
ω?∞
∞
-ω-j dt e t Sgn F t j 2)()(
幅度谱：
ω
=
ω2
)(F
相位谱：
??
?<ωπ>ωπ-=ω?0,2/0,2/)( 符号函数及其频谱如图5所示。
|F(ω)|
-a a ω (b )Sgn(t)1
0 t
-1
(a )
图5 (a)符号函数 (b)频谱
(5) 冲激信号：
[]E
Ee dt e
t E t E F j t
j ==δ=
δω-ω-∞
∞-?0)()(
均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。
强度为E 的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。
[]π=
ωδ-2)(1E E F
FT 定义 FT 可逆性 FT 可逆性
IFT 定义
ω
+
ωπδ=ωj F 1)()(
在0=ω处有一个冲激，该冲激来自)(t u 中的直流分量。 单位阶跃信号及其幅度谱如图6所示。
|F(ω)| (π)
0 ω
u(t) 1
0 t
图6 单位阶跃函数及其幅度谱
4 FT 的性质
(1) 线性性：[]
∑∑
=
???
?
?
??
?n
n n n
n n t f F a t f a F )()(
线性性包括：齐次性[][])()(t f aF t af F =；叠加性[][][])()()()(2121t f F t f F t f t f F +=+。
(2) 奇偶虚实性：
偶?偶 奇?奇
实偶?实偶 (FT 可变为余弦变换) 实奇?虚奇 (FT 可变为正弦变换)
实信号的FT ：(实信号可分解为：实偶+实奇)
实部是偶函数，虚部是奇函数：实?实偶+j 实奇
偶共扼对称：)()(*
ω=ω-F F
幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数：实?实偶EXP(实奇)
虚信号的FT 具有奇共扼对称性：)()(*
ω-=ω-F F
偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称：)
()(ω=ω-F F 。 实信号或虚信号的FT 幅度谱偶对称，幅度谱函数是偶函数。 (3) 反褶和共轭性：
时域 频域 原信号 f (t ) F() 反褶 f (-t ) F(-)
共扼 f *(t ) F *
(-) 反褶+共扼 f *(-t ) F *()
(4) 对偶性：
傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的：()t j t j e e
ωω-=*
；()
t j t
j e e ω-ω=*
[]?
∞
∞
-ω-ω
ωπ==ωd e F t f F F t
j )(21)()(1
[]{}*
*
)(21
ωπ=ω
F F
[]ω
ω=
ωω-∞
∞-ω?d e
g g F t
j )()(表示按自变量进行傅里叶变换，结果是t 的函数。
IFT 可以通过FT 来实现。
FT 的对偶特性：)(2)]([ω-π=f t F F
若)(t f 为偶函数，则[])(2)(ωπ=f t F F ；
若)(t f 为奇函数，则[])(2)(ωπ-=f t F F 。
(5) 尺度变换特性：
)0(,1)]([≠??
?
??ω=
a a F a at f F
此性质表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。
(6) 时移特性：[][]0
)()()(0t j t j e
t f F e F t t f F o
ω-ω-=ω=-
时移不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位。 与尺度变换特性综合：
[])0(,1)(/00≠??
? ??ω=
-ω-a e a F a t at f F a t j
(7) 频移特性：
[]
)
()(00ω-ω=ωF e t f F t j
与尺度变换特性综合：
())0(,10/0≠ω-ω=???
?
??????? ??ωa a F e a t f a F a t j 频谱搬移：时域信号乘以一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率位置处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移目的。 (8) 微分特性：
时域微分：)
()(ωω=???
???F j t f dt d F 频域微分： [])()()
(t f jt F d dF -=ωω
如果连续运用微分特性，则
)()()(ωω=???
?
????F j t f dt d F n n n
[
]
)()()
(t f jt F d F d n n
n -=ω
ω
(9) 积分特性：
时域积分：)
()0()()()(1ωδπ+ωω=???
?
?
?ττ-∞
-?F F j d f F t
如果ωω)(F 在0=ω处有界(或0)0(=F )，则)
()()(1
ωω=??
?
?
?
?ττ-∞-?F j d f F t
频域积分：
)(1)()0()(t f jt
t f d F -+δπ?λλ?
ω∞-
(10) 卷积定理：
时域卷积定理：[][][])()()()(2121t f F t f F t f t f F ?=* 频域卷积定理：
[][][])()(21
)()(2121t f F t f F t f t f F *π=
?
(11) 时域相关性定理：
[]
[][]
)()()(2*121t f F t f F t R F f f =
若)(2t f 是实偶函数，则[])
()()(2121ωω=F F t R F f f 。此时，相关性定理与卷积定理一致。
自相关的傅里叶变换：
[]
[][][]
2
*)()()()(t f F t f F t f F t R F f ==。即函数的自相关函数与其幅度谱的平
方是一对傅里叶变换对）。
(12) 帕斯瓦尔定理：df
f F d F dt t f 2
2
2
)
2()
(21
)(???∞
∞-∞
∞-∞
∞
-π=
ωωπ
=
5 周期信号的FT
(1) 正余弦信号的FT ：
[][])()(2cos 000ω-ωδ+ω+ωδπ=????
????+=ωω-ωt j t j o o e e F t F [][]
)()(sin 000ω-ωδ-ω+ωδπ=ωj t F
余弦信号和正弦信号的频谱如图7所示：
[]t F 0cos ω []t jF 0sin ω (π) (π) (π) -ω0
-ω0 0 ω0 ω 0 ω0 ω (-π)
图7 余弦信号和正弦信号的FT
(2) 一般周期信号的FT ：
(i)设周期为1T 的周期信号)(t f 在第一个周期内的函数为)(0t f ，则
)
()()()()(*)()()(1
0101010t t f nT t t f nT t t f nT t f t f T n n n ?*=-δ*=-δ=-=
∑∑∑∞
-∞
=∞-∞
=∞-∞
=
(ii) 周期单位冲激序列的FT ：
[]
)
()()(1
1111
ω?ω=ω-ωδω=?ω∞
-∞
=∑n T n t F
(a) FT 的对偶性(
)
(211ω-ωπδ?ωn e t jn ) (b) 冲激串FS 为：
t
jn n n T e t 1
1)(ω∞
-∞
=∑α=
?
(c)
?-ω-?=
α2
/2/1
11
11
)(1T T t
jn T n dt e
t T 1
1T =
(d) FT 的线性性 (iii) 一般周期信号的FT ：
[][]
∑∞-∞
=ω-ωδω?ω=??=ωn T o n F t F t f F F )()()()()(1101[]∑∞
-∞
=ω-ωδ?ωω=n n n F )
()(1101
(iv)
)(1
)(2101
101ω=ωπω=
n F T n F F n
(v) 关系图：
f 0 (t) F 0(ω)
E τ
E
-τ/2 0 τ/2 t
0 2π/τ ω
F n
E τ/ T 1
f (t) 0 2π/τ ω
F (ω)
E τ/ω1
-T 1 -τ/2 0 τ/2 T 1 t 0 2π/τ ω
FT
FS FT … …
图8 非周期信号FT 与周期信号FS/FT 比较
6 抽样信号的FT
(1) 抽样信号的FT ：∑∞
-∞=ω-ω=
ωn s s
s n F T F )
(1
)(
(2) 理想抽样前后信号频谱的变化如图9所示：
(3) 结论1：按间隔s T 进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的s T 分之一按周期s s T /2π=ω所进行的周期延拓。 (4) 结论2：时域离散频域周期
f (t ) F (ω)
0 t (a ) -ωc 0 ωc
ω
)
(t Ts ? )
(ω?ωωs s
(1)
(ωs )
-T s T s
t (b )
ωs
0 ωs ω
f s (t )
-T s T s t (c )
-T s T s t (d )
图9 理想抽样信号的FT
7 抽样定理
(1) 抽样定理：要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号（即抽样不会导致任何信息丢失），必须满足：信号是频带受限的(信号频率区间有限)；采样率s ω至少是信号最高频率的两倍。 (2) 概念(名词)：
抽样周期：进行理想采样的冲激串的周期s T 。 抽样频率：s s T f /1= 抽样角频率：s s T /2π=ω
奈奎斯特率：无失真恢复原信号条件允许的最小抽样率c s
ω=ω2(min)或
c
s f f 2(min)=
奈奎斯特间隔：所允许的最大抽样周期
c
s f T 21(max)=
奈奎斯特频率(折叠频率)：信号经采样后，采样率的一半2/s ω或2/s f ) 奈奎斯特区间：[]2/,2/s s ωω- 或 []2/,2/s s f f -
(3) 性质：在连续信号的抽样满足抽样定理时，奈奎斯特频率2/s ω是信号频率的上限。
(4) 从抽样信号恢复原始信号的方法：
(i) 理论上：
)(2)()(t Sa t f t f c s
c s ωωω
*=
()()()[]
∑∞
-∞
=-ωωω=
n s c s s c nT t Sa nT f 2
(ii)工程上：将)(t f s 通过截止频率为c ω、放大倍数为s T 的低通滤波器。
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用 姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要： 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。 关键词： 傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。 一傅里叶变换 1.定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换 傅里叶逆变换 2.分类 连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.
Chirp信号的傅里叶变换的特征比较.
Chirp信号的傅里叶变换的特征比较 Chirp信号即线性调频信号是瞬时频率在某个范围内随时间变化的正弦波，因其良好的频带利用率，具有较强的抗干扰、抗多途效应和抗多普勒衰减以及良好的频带利用率等优点，因此在通信、声呐、雷达等领域具有广泛的应用。本文就瞬时频率范围（信号的调频宽度）和信号的持续时间（信号的周期）对傅里叶变换后的chirp函数的频谱函数的影响做出讨论，运用MATLAB仿真分析比较。 一．信号的调频宽度上下限对频谱函数的影响 1）高频宽度300情况下的频谱函数。信号的采样频率为43000，扫描时间为0.05，初始频率设为19700，结束频率位置为20000。 2）低频宽度300情况下的频谱函数。信号的采样频率为2000，信号的持续时间为0.05，初始频率设为40，结束频率设置为340。 由上面两幅图可以看出，当它们满足，幅度谱的大小基本都在 0.01和0.015之间，这是因为它们的调频上下限之差相同都是300，且时间周 期都为0.05。由公式可知，幅度与信号的调频宽度（表示傅里叶变换后的频带宽度）和时间周期有关。 二．信号的调频宽度对频谱函数的影响 1）高频宽度10000情况下的频谱函数。信号的采样频率为48000，扫描时间为0.05，初始频率设为10000，结束频率位置为20000。
2）低频宽度80情况下的频谱函数。信号的采样频率为1000，信号的持续时间为0.05，初始频率设为40，结束频率设置为120。 上面两图在频带宽度内的幅度谱差异很明显，这是因为只有当时，近似程度才更高。 三．信号的持续时间对频谱函数的影响 1）低频宽度80情况下的频谱函数。信号的采样频率为1000，chirp 脉冲为0.05，信号的持续时间为2，初始频率设为40，结束频率设置为120。 上图的信号周期是2，发射脉冲长度为0.05与之前其它参数相同的图4比较可知，频带宽度基本相同，在频带宽度内的幅度谱没有太大变化，只是频点上的曲线多了些波动。
离散时间傅里叶变换.
第3章 离散时间傅里叶变换 在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。 3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质 3.1.1 非周期序列傅里叶变换 1．定义 一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为： 正变换： ∑∞ -∞ =ω-ω = =n n j j e n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1) 反变换： ? π π -ωωω-ωπ = =d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2) 记为： )()(ω?→←j F e X n x 当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。 [例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得 ωω=--=--== = ω-ω-ωω-ω-ωω-ω -ω-ω-=ω-∞ -∞ =ω ∑∑ 2 1sin 3sin )() (11)()(2 521 212133365 6j j j j j j j j j n j n n j n j e e e e e e e e e e e n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件： 图3-1
连续时间信号傅里叶变换及调制定理
乐山师范学院学生实验报告 实验课程名称： matlab 与信号系统实验 实验日期：2014年 月 日 姓名 学号 同组人 班级 系（院） 专业 级 班 指导老师 一、实验项目名称 连续时间信号傅里叶变换及调制定理 二、实验目的 1．学会用MA TLAB 求符号运算法的傅立叶正反变换； 2. 理解调制对信号频谱的影响 三、实验主要仪器设备仪器、器材、软件等 PC 机与matlab 软件 四、实验原理 见指导书 五、实验内容、步骤 1.求信号)()(t e t f t ε-=的频谱函数，并分别作出原函数与频谱函数的波形。 2.求信号2 )1(2)(ωω ωj j F += 的原函数，并分别作出原函数与频谱函数的波形。 3.设信号)100sin()(t t f π=，载波)(t y 为频率为400Hz 的余弦信号。试用MATLAB 实现调幅信号)(t y ，并观察)(t y 的频谱和)(t f 的频谱，以及两者在频域上的关系。 4.设),10cos( )()(),1()1()(1t t f t f t u t u t f π=--+=，试用MATLAB 画出)(),(1t f t f 的时域波形及其频谱，并观察傅里叶变换的频移特性。 六、实验记录（数据、现象、报表、软件、图象等） 1、 syms t w; f=exp(-1*t).*heaviside(t); y=fourier(f);
y=simplify(y); subplot(121); ezplot(f,[-3,3]); subplot(122); ezplot(w,y,[-2,2]); -2 02 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9t exp(-t) heaviside(t) -2 -1 01 2 -3-2 -101 2 34 x y x = w, y = 1/(1+i w) 2、 syms t w ; ft=ifourier((2*w/(1+i*w)^2),t); y=ifourier(ft); y=simplify(y); subplot(121); ezplot(real(ft)); subplot(122); ezplot(imag(ft)); -5 05 -1 -0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 t i exp(-t) heaviside(t) (t-1)-i conj(exp(-t) heaviside(t) (t-1))0 2 4 6 -0.6 -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3 t -1/2 i (2 i exp(-t) heaviside(t) (t-1)+2 i conj(exp(-t) heaviside(t) (t-1)))
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下： ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω ][)( （1.1） 通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。这是由于： ) ()()(tan ) ()()() (sin )()()(cos )()(2 22 ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X = +=== （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出： ωπ ωπ πω d e e X n x n j j )(21 ][?- = （1.3）
快速傅里叶变换的意义
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 傅里叶变换属于谐波分析。 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？ 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。 因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;４. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 2、图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区
连续时间傅里叶变换
2 奇偶信号的FS: (i) 偶信号的FS: 2 a n f (t)cosn T] T 1 Fn 弘 1tdt ； bn 2 T1 f (t)sin n 1tdt c n d n a n (ii ) jbn an 2 2 偶的周期信号的 奇信号的FS: F n ( Fn 实, 偶对称)；n FS 系数只有直流项和余弦项。 2 T f(t)sinn 1tdt ； 5 dn T| 11 1 Fn F n jbn ( Fn 纯虚，奇对称)； a a n 0 ； b n b n 2jFn 第二章连续时间傅里叶变换 1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS (1) 狄义赫利条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝 为T i ,角频率为 ,2 f ,—。 Ti (3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 ⑷三角形式的FS: (i) 展开式：f(t) a 0 (ancon it bn sin n ,t) n 1 (ii) 系数计算公式： (a) 直流分量： ao f (t)dt T 1 T 1 (b) n 次谐波余弦分量： a n - f (t) cosn 1tdt, n N T1 T 1 2 (c) n 次谐波的正弦分量： bn — f (t)sinn 1tdt, n N T1 T 1 (iii) 系数an 和bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频； nf1为信号的n 次谐波。 (V) 合并同频率的正余弦项得： n 和n 分别对应合并后 门次谐波的余弦项和正弦项的初相位。 (vi) 傅里叶系数之间的关系： (5)复指数形式的FS: (i) 展开式：f (t) Fne jn 1t n (ii) 系数计算：Fn 丄 f(t)e jn 1t dt, n Z T] T 1 (iii) 系数之间的关系： (iv) Fn 关于 n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。 (v) 正负n (n 非零)处的Fn 的幅度和等于Cn 或dn 的幅度。 对可积 丁 f(t)dt 。 (2)傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集可以是三角函数集 {1,cosn *,sinn 1t ：n N}或复指数函数集 {e jn 术:n Z},函数周期
傅里叶变换_百度文库.
傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z 变换的意义来源:于理扬的日志 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中, 傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域, 傅里叶变换具有多种不同的变体形式, 如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加, 从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割, 每一部分只是一个时间点对应一个信号值, 一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后, 其实还是个叠加问题, 只不过是从频率的角度去叠加, 只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号, 但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值（或频率值,我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小, 那么相位呢, 它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位（频域与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
实验2 离散时间傅里叶变换
电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建 一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换 二、实验目的： 熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。 三、实验内容： 1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换 (a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n = 2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。 3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。 4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。 5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求： (a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ； (b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论； (c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。 四、实验原理：
1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义： 2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数 (2)()()j j X e X e ??π+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。 *()() Re[()]Re[()] Im[()]Im[()]()() ()() j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠ 4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有 1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+ 5．时移 [()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---== 6．频移 00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-= 7．反转（翻褶） [()]()j F x n X e ω--= 五、实验器材（设备、元器件）： PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1 六、实验步骤： 本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。 [()]()()(), ()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：
信号处理中傅里叶变换简介
傅里叶变换 一、傅里叶变换的表述 在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。 信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。通过对连续非周期信号x c(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。 1、CFS（连续时间傅里叶级数） 在数学中，周期函数f(x)可展开为 由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为 其中，
为了简写，有 其中， 为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得 故有
令 则 对于D n，有 n≤0时同理。 故 CFS图示如下：
Figure 1 理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x(t)展开都有很高的精度。 2、CFT（连续时间傅里叶变换） 连续非周期信号x(t)，可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。当然，从时域上也可以反过来看成x(t)的周期延拓。将x(t)进行CFS展开，有 若令 则 有
傅里叶变换公式
连续时间周期信号傅里叶级数：?= T dt t x T a )(1 ??--= = T t T jk T t jk k dt e t x T dt e t x T a π ω2)(1 )(1 离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑= - =-= = N n n N jk N n n jkw k e n x N e n x N a /21 1 0π 连续时间非周期信号的傅里叶变换：()? ∞∞ --=dt e t x jw X jwt )( 连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ? ∞ ∞ -=π 21 )( 连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞ -∞ =??? ? ? ? -=k k k w a jw X T 22)(πδπ 连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ? ∞ ∞ --=0221 )( πδπ 离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞ -∞ =-= n n j e n x e X ωω j ][)( 离散时间非周期信号傅里叶反变换：? = π 2d e )(e π 21][ωωωn j j X n x 离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞ -∞ =-= k k k a X )(π2)e (0 j ωωδω 离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωω ωδωd e n n j ?--=π 20 πl)2(π2π 21][x 拉普拉斯变换：()dt e t s X st -∞ ∞ -? =)(x 拉普拉斯反变换：()()s j 21 t x j j d e s X st ?∞ +∞ -= σσ π Z 变换：∑∞ -∞ =-=n n z n x X ][)z ( Z 反变换： ??-== z z z X r z X n x n n d )(πj 21d )e ()(π21][1j π2ωω
连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系
连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系 对于连续限带（B ）的时间信号x (t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率f s =1/T s = 2B'>2B ），其样点为x n =x (nT s )。可以由样点序列进行内插来恢复原始信号x (t)： ()()()sin 2')s n x t x nT c B t n = -∑ (1) 证明： 抽样采用理想冲击脉冲串：()()s T s t t nT δδ= -∑ ()()()s s T x t x t t δ= ()()s s n x nT t nT δ= -∑ (2) 其中2B'=1/T s 。由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号x s (t)的傅里叶变换为： 1()()s k s s k X f X f f T T δ?? =* - ??? ∑ (3) 其中*表示连续的卷积运算。于是得到 ()1s k s s k X f X f T T ??= - ?? ?∑ s k s k f X f T ?? =- ?? ?∑ (4) 即理想抽样信号在频域是原信号x (t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周 期为1/T s 。其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（《信号与系统》）/樊昌信先生（《通信原理》）/周炯盘先生（《通信原理》）。本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽样定理不再赘述。 在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B 。理想低通滤波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=( )2' f B ∏，它对应的时域单位冲激响应函数
用Matlab对信号进行傅里叶变换实例
目录 用Matlab对信号进行傅里叶变换 (2) Matlab的傅里叶变换实例 (5) Matlab方波傅立叶变换画出频谱图 (7)
用Matlab对信号进行傅里叶变换 1.离散序列的傅里叶变换DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 代码： 1 N=8; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去） 6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得 7 subplot(311) 8 stem(n,xn); 9 title('原始信号(指数信号)'); 10 subplot(312); 11 plot(w/pi,abs(X)); 12 title('DTFT变换') 结果： 分析：可见，离散序列的dtft变换是周期的，这也符合Nyquist采样定理的描述，连续时间信号经周期采样之后，所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。 2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)
与1中DTFT不一样的是，DTFT的求和区间是整个频域，这对 结果图：
分析：DFT只是DTFT的现实版本，因为DTFT要求求和区间无穷，而DFT只在有限点内求和。 3.快速傅里叶变换FFT（Fast Fourier Transform） 虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度，但是任然有相当大的计算量，不利于信息的实时有效处理，1965年发现的DFT解决了这一问题。 实现代码： 1 N=64; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 Xk=fft(xn,N); 5 subplot(221); 6 stem(n,xn); 7 title('原信号'); 8 subplot(212); 9 stem(n,abs(Xk)); 10 title('FFT变换') 效果图： 分析：由图可见，fft变换的频率中心不在0点，这是fft算法造成的，把fft改为fftshift可以将频率中心移到0点。
离散时间傅里叶变换
1、DTFT是离散时间傅里叶变换，DFT是离散傅里叶变换。 2、DTFT变换后的图形中的频率是一般连续的（cos(wn)等这样的特殊函数除外，其变换后是冲击串)，而DFT是DTFT的等间隔抽样，是离散的点。从表示中可以看出，其函数表示为X(k）,而DTFT的函数表示为X(exp(jw))。（这里主要突出DFT是DTFT的等间隔抽样，DTFT变化后的频率响应一般是连续的，DFT变换后的频率响应是离散的） 3、DTFT是以2pi为周期的。而DFT的序列X(k）是有限长的。 4、DTFT是以复指数序列{exp（-jwn）}的加权和来表示的，而DFT是等间隔抽样，既然是等间隔，那么间隔是多少呢？DFT里面有个重要的参数就是N，我们一般都会说，多少点DFT运算，这个点就是N(离散序列的长度)，抽样间隔就是将单位元分成N个间隔来抽样，绕圆一周，（2*pi）/N是间隔（这个应该很明显吧，一个圆周是2*pi，分成N个等分，就像我们生日的时候切蛋糕一样）。 5、DTFT和DFT都能表征原序列的信息。因为现在计算主要使用计算机，必需要是离散的值才能参与运算，因此在工程中DFT应用比较广泛，DFT还有一个快速算法，那就是FFT。 基本上你答了上面的5点，面试官至少会对你刮目相看的。因为很多人对概念是很模糊的。 快速傅立叶变换（The Fast Fourier Transform,FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform,DFT）的一种快速算法，它是库利（Cooley）和图基（Tukey）于1965年提出的。FFT使DFT的次数由N^2减少到Nlog2(N)次，使DFT应用于实际变为现实，使DFT进一步得到完善。1976年，S.Winograd等人提出一种新算法：Winograd快速变换（Winograd Fast Fourier Transform Algorithm），该算法是基于中国剩余定理提出的，比FFT的运算速度更快。 因我也知之深浅，只作下面三点说明： 1.FFT是通过DFT运算中存在对称性和周期性而做的化简。 2.FFT可以通过对时间参量或者频率参量不断分解为奇偶表达式，再做进一步改进，分别称为时间抽取法和频率抽取法。 3.matlab给出的FFT介绍实际是DFT的表达式，未作DFT向FFT的简化过程说明，但计算过程内核是FFT。（N=1024时FFT比DFT快一百多倍） 对于一般的周期信号可以用一系列（有限个或者无穷多了）正弦波的叠加来表示。这些正弦波的频率都是某一个特定频率的倍数如5hz、2*5hz、3*5hz……（其中的5hz叫基频）。这是傅立叶级数的思想。所以说周期信号的频率是离散的。而且，对于周期信号有一个特点，信号的周期越长，信号的基频越小。 非周期信号可以看作周期无穷大的周期信号，那么它的基频就是无穷小，这样它的频率组成就编程了连续的了。求这个连续频率的谱线的过程就是傅立叶变换。包括这样几种： DTFT（时间离散，频率连续）
快速傅里叶变换的通俗解释
一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发. 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807 年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 三、傅立叶变换分类
傅里叶变换
傅里叶变换 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复 杂列? 傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先 由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂: 以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自，维基百科) 连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数 形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。连续傅里 叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为: 即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里
叶变换对(transform pair)。除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对: 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次，其中 a 不一定要为整数; 而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。 当f(t)为偶函数(或奇函数)时，其正弦(或余弦)分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform)或正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是，当f(t)为纯实函数时，F(?ω) = F*(ω)成立. 傅 里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积 分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的:
离散傅里叶变换(DFT)试题
第一章 离散傅里叶变换（DFT ） 填空题 （1） 某序列的DFT 表达式为 ∑-==1 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长 度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。 解：N ； M π 2 （2）某序列DFT 的表达式是 ∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度 是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。 解： N M π2 （3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称 （4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统 的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值 )(∞h 。 解： 2,2 1 21-=- =z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ，其中时域数字 序列)(n x 的序号 n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际 位置又是 。 解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N k πω2= （6）已知 }{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和 ][n h 的5点循环卷积为 。 解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x （7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--=== k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为 。
傅里叶变换(FFT)详解
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.360docs.net/doc/b215530578.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
{时间管理}第二章连续时间傅里叶变换
（时间管理）第二章连续时间傅里叶变换
第二章连续时间傅里叶变换 1周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS (1)狄义赫利条件：于同壹个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的 数目有限；信号绝对可积。 (2)傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集能够是三角函数集或复指数函数集，函数周期为T1，角频率为。 (3)任何满足狄义赫利条件周期函数均可展成傅里叶级数。 (4)三角形式的FS： (i)展开式： (ii)系数计算公式： (a)直流分量： (b)n次谐波余弦分量： (c)n次谐波的正弦分量： (iii)系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv)称为信号的基波、基频；为信号的n次谐波。 (v)合且同频率的正余弦项得： 和分别对应合且后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。 (vi)傅里叶系数之间的关系： (5)复指数形式的FS： (i)展开式： (ii)系数计算： (iii)系数之间的关系： (iv)关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。 (v)正负n(n非零)处的的幅度和等于或的幅度。 (6)奇偶信号的FS： (i)偶信号的FS： ；； (实，偶对称)；； (ii)偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。 (iii)奇信号的FS： ；；； (纯虚，奇对称)；；
(iv)奇的周期信号的FS系数只有正弦项。 (7)周期信号的傅里叶频谱： (i)称为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。 (ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。 (iii)称为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。 (iv)周期信号的FS频谱仅于壹些离散点角频率(或频率)上有值。 (v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为。 (vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位 (vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。 (viii)称为单边谱，表示了信号于谐波处的实际分量大小。 (ix)称为双边谱，其负频率项于实际中是不存于的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。 (8)周期矩形脉冲序列的FS谱的特点： (i)谱线包络线为Sa函数； (ii)谱线包络线过零点：(其中为谱线间隔)： ，或， 即当时，。 (iii)于频域，能量集中于第壹个过零点之内。 (iv)带宽或只和矩形脉冲的脉宽有关，而和脉高和周期均无关。(定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽) (9)周期信号的功率： (10)帕斯瓦尔方程： 2非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT) (1)信号f(t)的傅里叶变换： 是信号的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。 (2)频谱密度函数的逆傅里叶变换为： (3)称为FT的变换核函数，为IFT的变换核函数。 (4)FT和IFT具有唯壹性。如果俩个函数的FT或IFT相等，则这俩个函数必 然相等。