数学选修2-3知识点-肖

高中数学选修2-3知识点

第一章计数原理

1.1 分类加法计数与分步乘法计数

1、分类加法计数原理：

基本原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：

基本原理：完成一件事需要两个步骤。做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

3、两个计数原理的区别

两个原理分类加法计数原理分步乘法计数原理

区别一关键词完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类”

注：分类要做到“不重不漏”。

完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步”

注：分步要做到“步骤完整”。

区别二是否独立各类办法都是独立的，都能直接完成这件事。各步之间都是关联的，缺一不可的,

当且仅当做完每个步骤时，才能完成这件事。

1.2 排列与组合

一、排列

1、排列的定义

从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序

．．．．．．

排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、排列数

（1）排列数：从n个不同元素中，取出m（m n ）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A表示

（2）排列数公式：)1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *

∈≤）公式还可以写成：)!(!

m n n A m n -=

（3）排列数的性质： 3、全排列与阶乘：

（1）全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫n

个元素的一个全排列，这时

排列数公式中n m =，即有(1)(2)21n

n A n n n n

=--?=L 。全排列数公式：

（2）阶乘：正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用!n 表示。规定：0!=1 4、排列应用问题

（1）无限制条件的排列问题：先看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，再运用公式求解。

（2）有限制条件的排列问题：分析限制条件，选用适当的方法。常用方法有： ①优先排列法：指优先考虑特殊元素或特殊位置。

②相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序。这种方法称为捆绑法。

③不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位，这种方法称为插空法。 二、组合 1、组合定义：

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 2、组合数：

（1）从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个

元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同

m

n m n m n m n m n A mA A nA A 111112;1-----+==：性质：性质!

n A n

n =1

=n C

元素中取出m 个元素的组合数，用符号m

n C 表示。规定：

（2）组合数

公式：(1)(2)(1)

!

m m n n

m m A n n n n m C A m ---+==

L ),,(n m N m n ≤∈*且公式还可以写成：)!(!!

m n m n C m n -=

（3）排列数的性质：

注：y

n x n C C =y x =?或n y x =+

3、组合应用问题

（1）无限制条件的组合问题:先确认是组合问题（即无顺序），直接运用公式即可。

（2）有限制条件的组合问题:解有限制条件的组合问题的常用方法有：直接法和间接法（排除法）。 ▲直接法要注意特殊元素优先原则，间接法的原则为正难则反。 4、解排列、组合组合应用题要遵守三大原则：

①先分类后分步；②先选后排；③先组合后排列，注意有限制条件的优先；

1.3 二项式定理

1、二项式定理

（1）二项式定理公式：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L

（2）二项式系数：各项的系数(0,1,)r

n C r n =L 叫二项式系数

2、二项展开式的通项

二项展开式中第1+r 项1r n r r

r n T C a b -+=()N r n r ∈≤≤,0叫二项展开式的通项。

特点：①二项展开式的通项是第r+1项，而不是第r 项； ②二项展开式的通项的二项式系数是k n C ，而不是1

+k n C 3、二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端“等距离”的二项式系数相等，即k n n k n C C -=

1

12;1-+-+==m n

m n m n m n n m n C C C C C ：性质：性质

（2）增减性与最大值 当2

1

+<

n k 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知后半部分是逐渐减小的，在中间时取得最大值。 ①当n 是偶数时，中间的一项2n n

C 为最大值；②当n 是奇数时，中间的两项2121+-n n

n n

C

C ，为最大值。

（3）各二项式系数的和

,2210n n n n n n C C C C =+???+++即n

b a ）

（+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2， 奇数项二项式系数之和偶数项二项式系数之和都等于12-n ，即15314202-=???+++=???+++n n n n n n n C C C C C C

第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布

1、随机变量：

（1）定义：随着试验的结果的变化而变化的变量叫做随机变量。 （2）表示：随机变量常用大写字母X 、Y 或ξ、η等表示。

（3）离散型随机变量：所有的取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． 2、离散型随机变量的分布列及性质

（1）一般的,若离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i

(i=1,2,......）的概率P(X=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列。

（2）分布列性质: ① p i ≥0, i =1，2， … ；② p 1 + p 2 +…+p n = 1． 3、二点分布(0-1分布)

若随机变量X 的分布具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率。

注：两点分布的试验结果只有两种可能性，概率之和为1. 4、超几何分布：

一般地, 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n(n ≤N)件,其中恰有X 件次品，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k

M N M n

C C P X k k m C --===L ，即

其中m=min{M ，n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *

如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布

2.2 二项分布及其应用

1、条件概率 （1）条件概率的定义

一般地，设A ，B 为两个事件，且P(A)>0，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B

发生的条件概率。)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率。 （2）条件概率的性质

①1)(0≤≤A B P ②如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P +=Y

2、 事件的相互独立性 （1）定义

设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =,则称事件A 与事件B 相互独立。

公式推广：如果事件相互独立，，，，n A A A ???21那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生

的概率的积，即)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ???=???.

（2）性质：如果事件A 与B 相互独立，那么A 与，与B ，与也都相互独立。 （3）两个事件独立与互斥的区别

①两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生：

②两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。 （4）相互独立事件与互斥事件的概率计算

已知两个事件A,B ，它们的概率为)(),(B P A P ，将A,B 中至少有一个发生记为事件B A Y ,都发生记为事件AB ，都不发生记为事件AB ，恰有一个发生记为事件B A B A Y ,至多有一个发生记为事件

B A B A AB Y Y ,则它们概率间的关系见下表。

求概率问题的步骤

第一步：确定事件的性质 古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件；

第二步：判断事件的运算 和事件、积事件，确定事件至少有一个发生，还是同时发生； 第三步：运用公式 古典概型：n

m P =

互斥事件：)(()(B P A P B A P +=）Y 条件概率：)

()

()(A P AB P A B P =

独立事件：)()()(B P A P AB P = 3、独立重复试验

（1）定义：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。

（2）表示：在n 次独立重复试验中，记A i (i=1，2，?，n)是第i 次试验的结果。 （3）独立重复试验的特殊

①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变。 ②每次试验只有两种结果：事件发生或者不发生。 ③每次试验的结果互不影响，即每次试验相互独立。 4、二项分布

定义：一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的

概率为p ，则n k p p C k X P k

n k k N ，???=-==-,2,1,0,)1()(

此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X ，并称p 为成功概率。

2.3 离散型随机变量的均值与方差

1、离散型随机变量的均值 （1）均值的定义

若离散型随机变量X 的概率分布为

则称 )(X E =+11p x +22p x … +n n p x 为离散型随机变量X 的均值或数学期望，简称期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 （2）离散型随机变量的均值的性质

)(,,是随机变量是常数其中若X b a b aX Y +=，则Y 也是随机变量，且有b X aE b aX E +=+)()(

2、两点分布、二项分布的均值 （1）两点分布的均值

由数学期望的定义可知，若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则p p p X E =-?+?=)1(01)(

（2）二项分布的均值

在n 次独立重复试验中，若np X E p n B X =）（则),,(~ 3、离散型随机变量的方差 （1）方差的定义

设离散型随机变量X 的分布为

则2

))((X E x i -描述了）

（n i x i ,,2,1???=相对于均值E(X)的偏离程度。而∑=-=n

i i

i

p X E x X D 1

2

))

(()(为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程度。我们称D(X)为随机变量X 的方差，并称其算术平方根)(X D 为随机变量X 的标准差。 （2）方差的性质

)

()(,2X D a b aX D Y X b a b aX Y =++=也是随机变量，且有是随机变量），则是常数（，其中若4、两点分布、二项分布的方差 （1）两点分布的方差

若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则)1()(p p X D -= （2）二项分布的方差

设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布即)1()(),,(~p np X D p n B X -=则

2.4 正态分布

1、正态曲线

若概率密度曲线就是或近似地是函数

)

,(,21

)(2

22)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσ

π

的图像，其中实数0)μσ

σ>、（是参数，分别表示总体的平均数与标准差．称)(x f 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 2、正态分布

如果对于任何实数a ，b (a

a

)()(,

?=

≤<σμ?则称随机变量X 服从

正态分布。正态分布完全由参数μ和σ确定，因此常记作),(2

σμN 。如果随机变量X 服从正态分布，则记为),(~2

σμN X .

注：把10==σμ，的正态分布叫做标准正态分布。 3、正态曲线的基本性质：

（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； （3）曲线在x=μ处达到峰值

π

σ21

；

（4）曲线与x 轴之间的面积为1。

（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而没x 轴平移。如图1

（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；如图2 4、原则σ3

若2

X N μσ:（，），则对于任何实数0,a >概率

∑∑∑=----=

n

i

n i

n

i i

i

y y x x y y x x r 2

2

1

)

()()

)((,(

a

P a a x dx μμσμμμ?+--≤+=?

）为如图所示的阴影部分的面积。

6826

.0)(=+≤<-σμσμX P

9544

.0)22(=+≤<-σμσμX P

9974.0)33(=+≤<-σμσμX P

在实际应用中，通常认为服从于正态分布2

N μσ（，）的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，

简称之为3σ原则

第三章 统计案例

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

1、回归分析

函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系。回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 2、回归直线方程

对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y L 其回归直线方程的截距和斜率

的最小二乘法估计公式分别为：$1

1

222

11

()()()()

n

n

i i i

i

i i n n

i i

i i x x y y x y

nx y

b x x x

n x a y bx

====?

---?

?

==??--??=-??∑∑∑∑$$，

其中11n i i x x n ==∑，1

1n

i i y y n ==∑ ，称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心。

由此得到的直线$$y a

bx =+$就称为这n 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程． 其中$a ，b $分别为a ，b 的估计值，$a 称为回归截距，b $称为回归系数，$y 称为回归值．

3、线性相关系数

对于变量X 与Y 随机抽取的n 对数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y L 利用相关系数r 来衡量两

个变量之间的线性相关关系，样本相关系数的具体的计算公式为： 4、误差分析 （1）随机误差

在线性回归模型e a bx y ++=中，a 和b 为模型的未知参数，e 是y 与bx+a 之间的误差。通常e 为随机变量，称为随机误差。它的均值E(e)=0,方差D(e)=2

σ>0.这样线性回归模型的完整表达式为

???==++=2

)(,0)(σ

e D e E e

a bx y （2）残差

对于样本点112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y L 而言，它们的随机误差为n

i a bx y e i i i ,,2,1,???=--=其估计值为∧

∧∧∧∧???=--=-=i i i i i i e n a x b y y y e ,,,2,1,称为相应于点）（i i y x ,的残差。

(3)相关指数2R

可以用相关指数2

R 来反映回归的效果，其计算公式为∑∑==∧

---

=n

i i i

n

i i i

y y

y y R 12

1

22)()(1

3.2 独立性检验的基本思想

1、分类变量和列联表

不同“值”表示不同类别的变量叫做分类变量。列出两个分类变量的频数表称为列联表。 2、独立性检验

（1）定义：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

构造一个随机变量)

)()()(()(2

2

d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n=a+b+c+d 为样本容量。

利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。 （2）独立性检验的基本方法

①利用上述公式求出2

K 的观测值为)

)()()(()(2

d b c a d c b a bc ad n k ++++-=。

②查表确定临界值k 0.

③得出结论：若706.2≤k ，就认为没有充分证据显示X 与Y 有关系。 如果706.2>k ，就有90%的把握认为X 与Y 有关系。 如果841.3>k ，就有95%的把握认为X 与Y 有关系。 如果635.6>k ，就有99%的把握认为X 与Y 有关系。 如果828.10>k ，就有99.9%的把握认为X 与Y 有关系。

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