高二数学椭圆的第二定义与双曲线复习

高二数学椭圆第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲

一. 本周教学内容：

椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系

［知识点］

1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数

e

c

a

e M =

<<

()

01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为

椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x

a

y

b

a b F c

2

2

2

22

100

+=>>

()()

方程是，对应于左焦点，的准线为左准线

x

a

c

F c x

a

c

=-=-

2

1

2

()

②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：

椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x

a

y

b

a b P x y

22

2

10

2

+=>>

()()

左焦半径∴·

左

左

r

x

a

c

c

a

r ex

c

a

a

c

a ex

20

2

+

==+=+

右焦半径右

右

r

a

c

x

c

a

r a ex

2

-

=?=-

3. 椭圆参数方程

问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()??Ox OA 参数。

那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======??

?||cos ||sin cos sin ()?

?

??

1

这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”?? 说明：<1> 对上述方程（1）消参即

x

a

y b

x a y b ==??

??????+=cos sin ??22221普通方程 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

4. 补充

名称 方程 参数几何意义

直线

x x t y y t t =+=+??

?00cos sin ()αα为参数 P x y 000()，定点，α倾斜角,t P P =0，

P （x ，y ）动点

圆

x a r y b r =+=+??

?

cos sin ()θ

θθ为参数 A （a ，b ）圆心，r 半径，

P （x ，y ）动点，θ旋转角 椭圆 x a y b ==???

cos sin ()?

??为参数 a 长半轴长，b 短半轴长

?离心角不是与的夹角()OM Ox

一般地，θ?π、取，[]02

5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离

x

a

y

b

y kx b

2

2

2

2

1

+==+

①相离无解

?

+=

=+

?

?

?

??

x

a

y

b

y kx b

2

2

2

2

1

②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）

③关于直线的对称椭圆。

（2）相切

①相切有一解

?

+=

=+

?

?

?

??

x

a

y

b

y kx b

2

2

2

2

1

②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为

P x y

xx

a

yy

b

000

2

2

1

()+=

()3

1

2

2

2

2

相交有两解

?

+=

=+

?

?

?

??

x

a

y

b

y kx b

①弦长公式：

||()()

AB x x y y

=-+-

12

2

12

2

=++-

14

2

12

2

12

k x x x x

()

=+-1212k x x || =+12k a ·

?||

作差法中点：斜率②?)( 例

1.

已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612

122

|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。

分析：结合图形，用椭圆的第二定义可得|||||||||'|MA MF MA MP AA +=+≥2 这里|MP|、|AP|分别表示点A 到准线的距离和点M 到准线的距离。 解：设直线是椭圆的右准线，⊥，垂足为，则

，l MP l P MF MP e MP e

||||||==1

||||||MF a b c e MP e

MF ，由已知方程得，，∴，，由此得====

==4232121

2||MF ，从而得

|||||||||'|MA MF MA MP AA M A P M AP +=+≥2，即当点、、三点共线且是内分点

时，等号成立，此时取得最小值，点的坐标为，||||()MA MF M +2233

例2. 椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当∠为钝角x y F F P F PF 22

121294

1+= 时，点P 横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题）

分析：可先求∠F 1PF 2＝90°时，P 点的横坐标。 解：法一 在椭圆中，，，，依焦半径公式知，a b c PF x ===

=+

32535

3

1||

||||||||PF x F PF PF PF F F 212122212235

3

=-

?+

5

2222+

+-

x x x x ，应填 法二 设，，则当∠°时，点的轨迹方程为，P x y F PF P x y ()122

2

905=+=

由此可得点的横坐标±

，点在轴上时，∠；点在轴上P x P x F PF P y ==3

5

012 时，∠为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是F PF P x 123535

-

<< 小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。

例3. 过椭圆

内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条x y M M 22

164

121+=() 弦所在的直线方程。

分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。

解：法一 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得y k x -=-12()

()()()4124211602222k x k k x k +--+--=，又设直线与椭圆的交点为

A x y

B x y x x x x k k k ()()()

1122121222

8241，、，，则、是方程的两个根，于是，+=-+ 又为的中点，∴，解之得，故所求直线方M AB x x k k k k 122224241

21

2+=-+==-()

程为x y +-=240

法二 设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221

∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212122222

424164+=+=+=+ =-+-=164012221222，两式相减得()()x x y y

∴

y y x x x x y y 1212121241

2

--=-++=-()

即，故所求直线为k x y AB =-

+-=1

2

240 法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A （x ，y ），由于中点为M （2，1），

则另一个交点为，B x y ()42--

∵、两点在椭圆上，∴有①，②A B x y x y 2

2

2

2

41644216+=-+-=()() ①②得：-+-=x y 240

由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为A B x y +-=240

法四 直线方程为x t y t =+=+??

?

21cos sin α

α

代入椭圆得：(cos )(sin )2411602

2

+++-=t t αα ∴444841602

2

2

2

+++++-=t t t t cos cos sin sin αααα ∴(sin cos )(sin cos )484802

2

2

αααα+++-=t t ∵，∴t t 122208440+=-

++=sin cos sin cos αα

αα

∴820sin cos αα+= ∴，8212

sin cos tan ααα=-=- 即，故所求直线为k x y AB =-+-=1

2

240

例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 2

2

8840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？

解：法一 设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ

则d =

-+=

--|cos sin ||sin()|

2242342

θθθ? 其中，当时，tan min ?θ?π=-=

==

22212

2

2d 此时，cos sin sin cos θ?θ?=-=-

==22313

即点坐标为，P P ()-

8313

法二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''

即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →

设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=???

00

882

2

9280449802

2

2

2

y my m m m -+-==--=，令×?() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()

此时，，由平行线间距离得P l ()min -=83132

2

例5. 已知椭圆：

，，是椭圆上一点E x y P x y 22

2516

1+=() ()12

2

求的最大值x y +

（2）若四边形ABCD 内接于椭圆E ，点A 的横坐标为5，点C 的纵坐标为4，求四边形ABCD 的最大面积。

分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出y 2代入x 2+y 2

，转化为

x x y x y 的二次函数求解。法二：用椭圆的参数方程，将、代入，转化为三角22+ 问题求解。法三：令，则利用圆与椭圆有公共点这一条件求的最x y r r 2222+=

值，解题时可结合图形思考。得最大值为25，最小值为16。

题（2）可将四边形ABCD 的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC 是定线段，故长度已定，则当点B 、点D 到AC 所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时

四边形的面积最大。求得ABCD 202

解：()()12516116125

222

2法一由

得，x y y x +==-

则，x y x x x 2

2

2

22

1612516925

1625+=+-=+∈()[] ∴的最大值为，最小值为x y 22

2516+

法二：令，x y ==???

54cos sin θ

θ

则，x y 2

2

2

2

2

25161691625+=+=+∈cos sin cos []θθθ 法三令，则数形结合得，x y r r 2

2

2

2

1625+=∈[]

（2）由题意得A （5，0），C （0，4），则直线AC 方程为：4x ＋5y －20

=054，又设，，则点到直线的距离B B AC (cos sin )θθ

d 120202041202420412022041

=+-=+-≤-|cos sin ||sin()|

θθθπ

同理点到直线的距离D AC d 220220

41

≤

+ ∴四边形的最大面积S AC d d =+=||()12202

例6. 已知椭圆，是椭圆上两点，线段的垂直平x a y b

a b AB AB 222

210+=>>()

分线与x 轴相交于点P （x 0，0）。

求证：--<<-a b a x a b a

22022

（1992年全国高考题）

分析：本题证明的总体思路是：用、两点的坐标、及、来表示，A B x x a b x 120

利用证明-<+<2212a x x a

证明：法一 设，、，，由题意知≠且，，A x y B x y x x P x ()()()11221200 由得①||||()()PA PB x x y x x y =-+=-+102

12

212

2

2

又、两点在椭圆上，∴，A B y b x a y b x a

1

2

2

122222

22

211=-=-()()

代入①整理得，22102

21

222

2

()()

x x x x x a b a -=-- ∵≠，∴有·x x x x x a b a 1201222

2

2=+- 又，，且≠-≤≤-≤≤a x a a x a x x 1212 ∴-<+<2212a x x a

由此得--<<-a b a x a b a

22022

法二 令，则以为圆心，||PA r P = r x x y r

为半径的圆的方程为①()-+=02

2

2

圆与椭圆②交于、两点P x a y b a b A B 222

210+=>>()

由①、②消去整理得y a b a x x x x r b 222

2002

2220--+-+= 由韦达定理得，x x a x a b a a 1220

2

2222+=-∈-() ∴--<<-a b a x a b a

22022

法三 设，、，，的中点为、A x y B x y AB M m n ()()()1122 ∴，x x m y y n 121222+=+=

又、两点在椭圆上，A B x a y b x a y b

1221222222

2

211+=+=

则两式相减得()()()()

x x x x a y y y y b

1212212122

0+-++-= 将

及，代入整理得：y y x x m x n

x x m y y n 12120

121222--=--+=+=

x a b a m x x a b a 02221222

2

2=

-=+-·，下略

这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。

例

7.

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴，离心率，已知点，x e P =

32032

() 到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的7P 距离等于的点的坐标7

解法一：设椭圆的参数方程为

x a y b a b ==??

?

>>≤

其中，002 由，得e c a

b a a b 2

22213

42==-==()

设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d 则d x y 22232

=+-()

=+-a b 22232

cos (sin )θθ =-+++3124322

2b b

b (sin )θ 如果

即12112

b b >< 那么当时，取得最大值sin ()()θ=-=+173

2

222d b

由此得与矛盾b b =

-

><732121

2 因此必有，此时当时，取得最大值1211

2743222b b

d b ≤=-=+sin ()θ

解得，b a ==12

所求椭圆的参数方程是x y ==??

?2cos sin θ

θ

由，±sin cos θθ=-

=1232

求得椭圆上到点的距离等于的点是，与，P 731

2312

()()---

解法二：设所求椭圆的方程为x a y b a b 222

210+=>>()

由，解得e c a

b a b a 2

2221341

2==-==()

设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d 则d x y 22232

=+-()

=-+-a a b

y y 2

2222

32()

=--++33494

22y y b =-+

++312

432

2()y b 其中，如果，则当时-≤≤<=-b y b b y b 1

2

d b 22273

2

取得最大值()()=+

解得与矛盾b b =-><732121

2

故必有b ≥1

2

当时，取得最大值y d b =-=+1

2

743222()

解得，b a ==12

所求椭圆方程为x y 2

24

1+= 由可求得到点的距离等于的点的坐标为±，y P =-

-127312

() 小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须

用参数方程来解决。

【模拟试题】

1. 已知椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()的焦点坐标是F c F c P x y 120000()()()

-，和，，，是椭圆上的任一点，求证：||||PF a ex PF a ex e 1020=+=-，，其中是椭圆的离心率。

2. 在椭圆

x y 22259

1+=上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。 3. 椭圆()()||

x y x y ++-=

--11433310

22的长轴长是___________。

4. 椭圆y a x b a b F c F c c 222

21210000+=>>->()()()()的两焦点为，，，，离心率

e =

3

2

，焦点到椭圆上点的最短距离为23-，求椭圆的方程。 5. 已知椭圆的一个焦点是F （1，1），与它相对应的准线是x y +-=40，离心率为22

，求椭圆的方程。

6. 已知点P 在椭圆y a x b

a b 222

210+=>>()上，F F 12、为椭圆的两个焦点，求

||||PF PF 12·的取值范围。

7. 在椭圆x y t

22

81+=内有一点A （2，1），过点A 的直线l 的斜率为－1，且与椭圆交于B 、C 两点，线段BC 的中点恰好是A ，试求椭圆方程。

8. 已知椭圆

x y 22

2516

1+=，在椭圆上求一点M ，使它到两焦点距离之积为16。 9. 如图，已知曲线4936002

2

x y x y +=>>()，，点A 在曲线上移动，点C （6，4），以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标。

[参考答案]

1. 证明：椭圆x a y b 222

2+=>>10()a b 的两焦点F c F c 1200()()-，、，，相应的准线

方程分别是x a c x a c

=-=22

和。 ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率， ∴

||||PF x a c e PF a c

x e 102220

+=-=，。 化简得||||PF a ex PF a ex 1020=+=-，。

点评：||||PF PF 12、都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径，

||||PF a ex PF a ex 1020=+=-，称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远

（近）点为长轴端点。

2. 解：设P 点的坐标为（x ，y ），F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点。 ∵椭圆的准线方程为x =±25

4

， ∴

||||

PF x PF x 12254254

+=

- ∵||||PF PF 122= ∴

，∴2254254

25

1222||||PF x PF x x +=-=

把代入方程x x y =+=2512259

122

得±

y =119

4

因此，P 点的坐标为(

)25121194

，±。 点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半

径公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。 3.

323

解析：椭圆的方程可写成

()()||x y x y ++---=1143335

12

22，

∴

c a =1

2

① 一个焦点是（－1，1），相对应的准线方程是43330x y --=，

∴a c c 243335

8-=---=||

② 由①、②得a a =

=

163232

3

，∴。 4. 解：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短， ∴a c -=-23

又e c a =

=32

， ∴，故a b ==21

∴椭圆的方程为y x 2

24

1+= 5. 解：设P （x ，y ）为椭圆上任意一点， ∵椭圆的一个焦点是F （1，1）， 与它相对应的准线是x y +-=40，离心率为

2

2

， ∴()()||x y x y -+-+-=1142

2

2

22

∴414142

2

2

()()()x y x y -+-=+-， 即332802

2x y xy +--=为所求。

6. 解：设P ()x y 00，，椭圆的准线方程为y a c

=±2

，不妨设F 1、F 2分别为下焦点、上

焦点 则

||||PF y a c c a PF a

c

y c

a 10222

+=-=，

∴，||||PF c a y a PF a c a

y 1020=

+=- ∴·||||()()PF PF a c a y a c a

y 1200=+-=-a c a y 2

2202

∵-≤≤a y a 0，

∴当y 00=时，||||PF PF a 122

·最大，最大值为

当y a PF PF a c b 0122

2

2

=-=±时，·最小，最小值为|||| 因此，||||PF PF 12·的取值范围是[]b a 2

2

， 7. 解：设直线l 的方程为y x -=--12()

由，

消去y x x y t y -=--+=?????128

122

() 得()t x x t +-+-=84872802

， 由已知，

x x t 12224

8

2+=+=，解得t =4， ∴椭圆方程为x y 22

84

1+= 8. 解：设M （x ，y ），由椭圆方程得a b c ===543，，， ∴e =

3

5

故1625925

122222

==+-=-=-||||()()MF MF a ex a ex a e x x ·， ∴x=±5。代入椭圆方程，得y =0， ∴所求点M 为（5，0）或（－5，0） 9. 解：设A (cos sin )32θθ，，θπ∈()02

，

， 则B C D (sin )()(cos )626434，，，，，θθ，

S AB AD ABCD ==--||||(cos )(sin )·6342θθ=-++24126(sin cos )sin cos θθθθ，

令t t t =+∈=-sin cos (]sin cos θθθθ，则，，1212

2，S t ABCD =-+3292()

当时，，此时，，t S A =

=-=

227122432

22min ()θπ

双曲线---专项复习 【1、基本知识点】 双曲线的第一定义： 双曲线的第二定义：

注意点：（1）双曲线定义中，“距离的差”一定要加绝对值，否则只表示双曲线的一支。

（2）定义中的小于||21F F 这一限制条件 标准方程：

【2、几何性质】

【 3、弦长公式】

1、若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，

则

AB =，

12AB x =-==

若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12AB y =

-=

2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长a

b AB 2

2||=。

3、若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。

4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 【4、常见双曲线题型】 题型一 双曲线定义的应用

1、如图所示，在△ABC 中，已知|AB|=42，且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．

解 ：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，

则A(-22,0)、, 0 )．由正弦定理得sinA =

2a R ，sinB =2b R ，sinC =2c R

. ∵2sinA+sinC=2sinB ，∴2a+c=2b ，即b -a=2

c

.从而有|CA| -

|CB|=2

1

|AB|=

由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵∴b 2= c 2 - a 2 = 6.

所以顶点C 的轨迹方程为22

1,26

x y -= (． 【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF 1|-|PF 2||=2a ，而

|PF1|-|PF2|=2a 表示一支．

2、P 是双曲线x216－y2

20

＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝9，求|PF2|的值．

解 在双曲线x216－y2

20

＝1中，a ＝4，b ＝2 5.

故c ＝6.由P 是双曲线上一点， 得||PF1|－|PF2||＝8. ∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.

又|PF2|≥c －a ＝2，得|PF2|＝17.

3、已知双曲线

116

92

2=-y x 的左右焦点分别是1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得02190=∠PF F ,求21PF F ?的面积。

题型二 由方程研究几何性质

4、求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．

解 把方程9y 2－16x 2

＝144化为标准方程y 242－x 2

3

2＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，

虚半轴长b ＝3； c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5， 焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；

离心率e ＝c a ＝54； 渐近线方程为y ＝±4

3

x .

【反思感悟】 求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1 (或y 2a 2－x 2

b

2＝

1)，再根据它确定a ，b 的值，进而求出c .

5．若方程x 2|k |－2＋y 2

5－k ＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )

A ．k <－2，或2

B ．－2

C ．k <－2，或k >5

D ．－25

解析 由题意知：(|k |－2)(5－k )<0，即????

?

|k |－2>0，5－k <0，

或?

???

?

|k |－2<0.5－k >0.解得：k >5，或－2

题型三 由几何性质求双曲线的标准方程

6、设双曲线与椭圆x 227＋y 2

36

＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，

求此双曲线的标准方程．

解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2

b

2＝1(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c

＝3.

又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有

?????

42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，

解得?????

a 2＝4，

b 2＝5.

所以双曲线的标准方程为y 24－x 2

5

＝1.

方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以

2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－ (±15－0)2＋(4－3)2| ＝4，

即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，

所以双曲线的标准方程为y 24－x 2

5

＝1.

方法三 若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x 227－λ＋y 2

36－λ

＝

1(27<λ<36)，再将点A (±15，4)代入求λ，进而求方程，不过这种解题方法有一定的技巧性．

7、求实轴长为45且过点A (2，－5)的双曲线的标准方程

解析 由题意知2a ＝45，a 2

＝20， 若双曲线焦点在x 轴上，则可设方程为x 220－y 2

b

2＝1，

代入点A (2，－5)，得：420－25

b 2＝1，即－25b 2＝1620，矛盾．

因此设双曲线的方程为－x 2b 2＋y 220＝1.代入A (2，－5)，得：4b 2＝－1＋2520＝1

4

，∴b 2＝16.

8．双曲线与椭圆x 216＋y 2

64

＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，则双曲线方程为( )

A ．x 2－y 2＝96

B ．y 2－x 2＝160

C ．x 2－y 2＝80

D ．y 2－x 2

＝24

答案 D

解析 由题意知双曲线的焦点为(0，±43)，即c 2＝48，又因一条渐近线方程为y ＝x .

所以a

b

＝1.即a ＝b ，∴48＝2a 2，a 2＝b 2＝24.故选D.

9、(重庆高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝kx (k >0)，离心率e ＝5k ，

则双曲线方程为( )

A.x 2a 2－y 24a 2＝1

B.x 2a 2－y 25a 2＝1

C.x 24b 2－y 2b 2＝1

D.x 25b 2－y 2

b

2＝1 解析 双曲线的渐近线方程可表示为y ＝±b a x ，由已知可得k ＝b

a

.又离心率e ＝1＋????b a 2＝5k ，所以k ＝1

2

.

即b a ＝1

2

，故a ＝2b . 答案 C 10、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±3

3

x ，若顶点到渐近线的距离

为1，则双曲线方程为____________．

解析 双曲线顶点为(a,0)，渐近线为x ＋3y ＝0， ∴1＝a 1＋3＝a

2

，∴a ＝2.

又b a ＝33，∴b ＝233， ∴双曲线方程为x 24－34y 2＝1.

题型四 求双曲线的离心率

11、已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3

4

x ，则双曲线的离心率为________；

12、设双曲线x2a2－y2

b2＝1(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b)两点．已知原点到直线

l 的距离为3

4

c ，则双曲线的离心率为________．

解析 (1)当焦点在x 轴上时，其渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意，b a ＝34，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2

a

2

＝1＋916＝25

16

，

∴e ＝54；当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±a b x ，

依题意a b ＝34，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋169＝259， ∴e ＝53

.

(2)直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2

＝34c ，即ab ＝

3

4c 2.

两边平方得16a 2b 2＝3c 4，∴16a 2(c 2－a 2)＝3c 4. 即3c 4－16a 2c 2＋16a 4＝0，∴3e 4－16e 2

＋16＝0.

解得e 2＝4，或e 2＝43， ∵b >a >0，∴b 2a 2>1， ∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2

a

2>2，故e 2＝4，∴e ＝

2.

答案 (1)53或5

4

(2)2

13、(全国Ⅱ高考)设a>1，则双曲线x2a2－y2

(a ＋1)2

＝1的离心率e 的取值范围是( )

A ．(2，2)

B ．(2，5)

C ．(2,5)

D ．(2，5)

解析 ∵双曲线方程为x 2a 2－y 2

(a ＋1)2

＝1， ∴c ＝2a 2＋2a ＋1.

∴e ＝c a ＝2＋1a 2＋2a ＝????1a ＋12＋1. 又∵a >1，∴0<1a <1.∴1<1

a

＋1<2. ∴1

?1＋1

a 2<4.∴2

14、直线l 在双曲线x23－y2

2

＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距

m.

解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，

由????

?

y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，

得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0. 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由韦达定理，得x 1＋x 2＝－6

5m ，x 1x 2

＝3

10

(m 2＋2)． 又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ，∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)， ∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1

－x 2)2

＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5[3625m 2－4×3

10

(m 2＋2)]．

∵|AB |＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16. ∴3m 2＝70，m ＝±210

3

. ∴直线l 在y 轴上的截距

为±2103

.

题型六 直线与双曲线的位置关系

16、已知双曲线x2－y2＝4，直线l ：y ＝k(x －1)，试讨论实数k 的取值范围．

(1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．

解 由?

????

x 2－y 2＝4

y ＝k (x －1)消去y ，