苏教版九年级数学上册 期末试卷测试与练习(word解析版)
苏教版九年级数学上册 期末试卷测试与练习（word 解析版）
一、选择题
1．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．30°或150°
D ．45°或135°
2．若关于x 的方程 ()2
m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠. B ．m 1=.
C ．m 1≥
D ． m 0≠. 3．已知△ABC ，以AB 为直径作⊙O ，∠C ＝88°，则点C 在（ ） A ．⊙O 上
B ．⊙O 外
C ．⊙O 内
4．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ） A ．(0,2) B ．(2,0)
C ．(0,3)
D ．(3,0)
5．如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点A ，若70C ∠=?，则AOD ∠的度数为
（ ）
A ．40°
B ．45°
C ．60°
D ．70°
6．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1，﹣2）
D ．（1，2）
7．如图，
O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则
CD 的长为( )
A ．62
B ．32
C ．6
D ．12
8．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个根是x ＝1
D ．不存在实数根
9．方程x 2=4的解是（ ）
A ．x=2
B ．x=﹣2
C ．x 1=1，x 2=4
D ．x 1=2，x 2=﹣2
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
1y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <>
11．受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平均每年增长率为x ，则下列方程中，正确的是（ ） A ．600（1+x ）＝950 B ．600（1+2x ）＝950 C ．600（1+x ）2＝950 D ．950（1﹣x ）2＝600 12．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（ ）
A ．11
B ．12
C ．9
D ．10
二、填空题
13．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm ，母线长为7cm ，那么它的侧面展开图的面积是_____cm 2．
14．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．
15．在比例尺为1∶500 000的地图上，量得A 、B 两地的距离为3 cm ，则A 、B 两地的实际距离为_____km ．
16．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是h=12t ﹣6t 2，则小球运动到的最大高度为________米；
17．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表， x 6.17 6.18 6.19 6.20 y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．
18．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）
19．若m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，则代数式4m-2m 2+2的值是______． 20．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．
21．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝_____．
22．已知点P （x 1，y 1）和Q （2，y 2）在二次函数y ＝（x +k ）（x ﹣k ﹣2）的图象上，其中k ≠0，若y 1＞y 2，则x 1的取值范围为_____．
23．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是2
S 甲、2
S 乙，且
22S S >甲乙，则队员身高比较整齐的球队是_____．
24．若关于x 的一元二次方程22
(1)0k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为__________.
三、解答题
25．已知二次函数2
2y =x mx --.
（1）求证：不论m 取何值，该函数图像与x 轴一定有两个交点；
（2）若该函数图像与x 轴的两个交点为A 、B ，与y 轴交于点C ，且点A 坐标（2,0），求△ABC 面积.
26．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如：如图，已知
O 的两条弦AB CD ⊥，则AB 、CD 互为
“十字弦”，AB 是CD 的“十字弦”，CD 也是AB 的“十字弦”.
（1）若
O 的半径为5，一条弦8AB =，则弦AB 的“十字弦”CD 的最大值为______，
最小值为______. （2）如图1，若
O 的弦CD 恰好是O 的直径，弦AB 与CD 相交于H ，连接AC ，
若12AC =，7DH =，9CH =，求证：AB 、CD 互为“十字弦”；
（3）如图2，若
O 的半径为5，一条弦8AB =，弦CD 是AB 的“十字弦”，连接AD ，
若60ADC ∠=?，求弦CD 的长.
27．（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝
时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）
28．某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：
（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：
表中数据a＝，b＝，c＝．
（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．
29．问题背景：如图1设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．
简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝22，则∠BPC＝°．
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．
拓展廷伸：（3）如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：2BD＝AD+DC．
（4）若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．
30．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，
∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
31．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
32．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】
解：如图所示，
连接OA，OB，
则OA＝OB＝3，
∵AB＝2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数. 2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．
【详解】
由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C在圆上，由由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质可知点C在圆外.
【详解】
解：∵以AB为直径作⊙O，
当点C在圆上时,则∠C=90°
而由题意∠C＝88°，根据三角形外角的性质
∴点C在圆外．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
令x=0，则y=3，抛物线与y轴的交点为（0，3）．
【详解】
解：令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
先依据切线的性质求得∠CAB 的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA 的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD 的度数． 【详解】
解：∵AC 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径， ∴AB ⊥AC ， ∴∠CAB=90°， 又∵∠C=70°， ∴∠CBA=20°， ∴∠AOD=40°． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得∠CBA=20°是解题的关键．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据顶点式2
()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】
∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ）， ∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）． 故选D ．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据垂径定理得到CE DE =，再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=，可得
OCE ?为等腰直角三角形，所以2
CE =
=CD 的长． 【详解】
∵CD AB ⊥，AB 为直径， ∴CE DE =，
∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，
∴2222.545BOC A ∠=∠=?=， ∴OCE ?为等腰直角三角形， ∵OC=6，
∴6CE =
==
∴2CD CE == 故选A ． 【点睛】
本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可． 【详解】
∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根， 1+8﹣c ＝0，解得c ＝9， ∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，
∵24b ac ?=-＝（﹣8）2－4×9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ?=-来判
别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．
9．D
解析：D 【解析】 x 2=4， x =±2. 故选D.
点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.
10．D
解析：D 【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】
解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1）， ∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ， 则函数图象如图所示，
抛物线开口向下， ∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b
a
-> ， ∴b ＞0， 故选D
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
设快递量平均每年增长率为x ，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于
x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】
设快递量平均每年增长率为x ， 依题意，得：600(1+x )2=950． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用平均数的求法求解即可． 【详解】
这组数据10，9，10，12，9的平均数是1
(10910129)10 5
++++=
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．
二、填空题
13．35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=lr即可求解．【详解】
底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：×10π×7＝35πcm2．
故答案是：35π．
解析：35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=1
2
lr即可求解．
【详解】
底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：1
2
×10π×7＝35πcm2．
故答案是：35π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】
解：这个条件
解析：∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可
以是∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC
=．
【详解】
解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P，
∴△APQ∽△ABC，
故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC
=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．15
【解析】
【分析】
由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【详解】
解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离
解析：15
【解析】
【分析】
由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【详解】
解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，
∴A、B两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km，
故答案为15．
【点睛】
此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．
16．6
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得，即可得到答案.
【详解】
，
∴当t=1时，h 有最大值6. 故答案为：6. 【点睛】
此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开
解析：6 【解析】 【分析】
现将函数解析式配方得2
21266(1)6h t
t t =--=+﹣，即可得到答案. 【详解】
221266(1)6h t t t =--=+﹣，
∴当t=1时，h 有最大值6. 故答案为：6. 【点睛】
此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.
17．18＜x ＜6.19 【解析】 【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可． 【详解】
由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19
解析：18＜x ＜6.19 【解析】 【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可． 【详解】
由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19时，y ＝0.02， ∴当y ＝0时，相应的自变量x 的取值范围为6.18＜x ＜6.19， 故答案为：6.18＜x ＜6.19． 【点睛】
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，自变量的取值即可．
18．60π 【解析】
试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
由题意得圆锥的母线长
∴圆锥的侧面积．
考点：勾股定理，圆锥的侧面积
点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧
解析：60π
【解析】
试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
由题意得圆锥的母线长
∴圆锥的侧面积．
考点：勾股定理，圆锥的侧面积
点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线. 19．-4
【解析】
【分析】
先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．
【详解】
解：∵m是关于x的方程x2
解析：-4
【解析】
【分析】
先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．
【详解】
解：∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的解，
∴m2-2m-3=0，
∴m2-2m=3，
∴4m-2m2+2
= -2（m2-2m）+2
= -2×3+2
= -4．
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．
20．【解析】 【分析】
利用勾股定理求出AC ，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题． 【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC=90°， ∴，
∵AE 是直径， ∴∠ABE=90°，
解析：
5
【解析】 【分析】
利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出AB AE
AD AC
=，由此即可解决问题． 【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC=90°，
∴AC =
=
∵AE 是直径， ∴∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠ADC ， ∵∠E=∠C ， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AE
AD AC
=， ∴
3AB =
∴AB =
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
21．【解析】 【分析】
根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE，即可求出结论．
【详解】
∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE
解析：【解析】
【分析】
根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得CE
DE
＝
AG
DG
＝2，从而求出CE，即可求出结论．【详解】
∵点G为△ABC的重心，
∴AG：DG＝2：1，
∵GE∥AC，
∴CE
DE
＝
AG
DG
＝2，
∴CE＝2DE＝2×2＝4，
∴CD＝DE+CE＝2+4＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键．
22．x1＞2或x1＜0．
【解析】
【分析】
将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后
y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．
【详解】
解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2
解析：x1＞2或x1＜0．
【解析】
【分析】
将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．
【详解】
解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）
＝（x ﹣1）2﹣1﹣2k ﹣k 2，
∵点P （x 1，y 1）和Q （2，y 2）在二次函数y ＝（x +k ）（x ﹣k ﹣2）的图象上， ∴y 1＝（x 1﹣1）2﹣1﹣2k ﹣k 2， y 2＝﹣2k ﹣k 2， ∵y 1＞y 2，
∴（x 1﹣1）2﹣1﹣2k ﹣k 2＞﹣2k ﹣k 2， ∴（x 1﹣1）2＞1， ∴x 1＞2或x 1＜0． 故答案为：x 1＞2或x 1＜0． 【点睛】
此题考查的是比较二次函数上两点之间的坐标大小关系，掌握二次函数的顶点式和根据函数值的取值范围求自变量的取值范围是解决此题的关键．
23．乙 【解析】 【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】 解：∵， ∴队员身
解析：乙 【解析】 【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】
解：∵22
S S 甲乙，
∴队员身高比较整齐的球队是乙， 故答案为：乙． 【点睛】
本题考查方差．解题关键在于知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量
24．0 【解析】
把x ＝1代入方程得，， 即， 解得.
此方程为一元二次方程， ， 即，
故答案为0.
解析：0 【解析】
把x ＝1代入方程得，2110k k -+-=， 即20k k -=， 解得120,1k k ==. 此方程为一元二次方程，
10k ∴-≠，
即1k ≠，
0.k ∴=
故答案为0.
三、解答题
25．（1）见解析；（2）10 【解析】 【分析】
（1）令y ＝0得到关于x 的二元一次方程，然后证明△＝b 2?4ac ＞0即可； （2）令y=0求出抛物线与x 轴的交点坐标,根据坐标的特点即可解题. 【详解】
（1）因为22
4()4(4)b ac m -=--?-=216m +，且20m ≥，所以2160m +>.
所以该函数的图像与x 轴一定有两个交点.
（2）将A （-1,0）代入函数关系式，得，2
(1)40m -+-=，解得m=3，求得点B 、C 坐标
分别为（4,0）、（0，-4）.所以△ABC 面积=[4-（-1）]×4×0.5=10 【点睛】
本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，将函数问题转化为方程问题是解答问题（1）的关键，求出抛物线与x 轴的交点坐标是解答问题（2）的关键．
26．（1）10，6；（2）见解析；（3）3. 【解析】 【分析】
（1）根据“十字弦”定义可得弦AB 的“十字弦”CD 为直径时最大，当CD 过A 点或B 点时最小；
（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH ∽△DCA,由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH ⊥CD ，根据“十字弦”定义可得；
（3）过O 作OE ⊥AB 于点E ，作OF ⊥CD 于点F,利用垂径定理得出OE=3，由正切函数得出AH=3DH,设DH=x ，在Rt △ODF 中，利用线段和差将边长用x 表示，根据勾股定理列方程求解. 【详解】
解：（1）当CD 为直径时，CD 最大，此时CD=10， ∴弦AB 的“十字弦”CD 的最大值为10；
当CD 过A 点时，CD 长最小，即AM 的长度,过O 点作ON ⊥AM,垂足为N,作OG ⊥AB ，垂足为G,则四边形AGON 为矩形， ∴AN=OG, ∵OG ⊥AB,AB=8， ∴AG=4， ∵OA=5，
∴由勾股定理得OG=3， ∴AN=3， ∵ON ⊥AM, ∴AM=6，
即弦AB 的“十字弦”CD 的最小值是6.
（2）证明：如图，连接AD ， ∵12AC =，7DH =，9CH =，
∴
AC CH
CD
AC
, ∵∠C=∠C,
∴△ACH ∽△DCA, ∴∠CAH=∠D, ∵CD 是直径， ∴∠CAD=90°, ∴∠C+∠D=90°,