高考数学千锤百炼 (6)

2020.5.4

题1：已知0>a ，函数x ax x f -=331

)(，若)(x f 存在极小值点m ，且)()(n f m f =，且n m ≠，则=m

n _____.题2：如图，在ABC ?中，AB AD 21=，3

1=，CD 与BE 交于点P ，1=AP ，4=BC ，2=?BC AP ，则AC AB ?的值为________.

题3：已知数列}{

n a 满足,31=a 且).(432

1*+∈+-=N n a a a n n n )(I 试用数学归纳法证明：);

(3*∈≥N n a n )(II 证明：);

(1*+∈>N n a a n n )(III 设数列}11{n

a +的前n 项和为,n S 证明：)(141*∈<≤N n S n

解法一：

解： )0( 31)(3>-=a x ax x f ，∴1)(2'-=ax x f 令0)('=x f ，则a a x ±

=2,1∴当a a x -<和a a x >时，0)('>x f ，则)(x f 单调递增当a a x a a <<-时，0)('

a x =时，)(x f 取极小值 )(x f 存在极小值点m ，∴a a

m =∴a

a a a a a a a a f m f 32)(31)()(3-=-== )()(n f m f =且n

m ≠∴方程a a x ax 32313-=-有n m ,两根即：方程02323=+-

a a x a x 有n m ,两根，且a a m =和a a n -<易知：a

a m x ==为二重根∴方程转化为交点式：0)()(2=--

n x a a x 展开：0)12()2(23=-+++-a n x a n a a x a a n x 对比系数得：????????????-=-=+=+a n a a a a n a a a a n 2231202a a n 2-= a a m =，∴2-=m

n .【解法二】

)0( 31)(3>-=a x ax x f ，∴1)(2'-=ax x f 令0)('=x f ，则a a x ±

=2,1∴当a a x -<和a a x >时，0)('>x f ，则)(x f 单调递增当a a x a a <<-

时，0)('

∴a

a x =时，)(x f 取极小值 )(x f 存在极小值点m ，∴a a

m =

∴2

1

m a = )( )()(n m n f m f ≠=，即：n an m am -=-333131∴n m n m a -=-)(3

133)

(3))((22n m n mn m n m a -=++- 21m a =，n m ≠∴2223m n mn m =++，即：0222=-+m mn n ∴02)(2=-+m n m n ，∴0)2)(1(=+-m n m n ∴1=m n （舍）或2-=m n ，即2=m n .

解： C P D ,,三点共线，∴AC

x AD x AP )1(-+= AB AD 21=，∴AC x AB x AP )1(2-+=----① E P B ,,三点共线，∴AE

y AB y AP )1(-+= AC AE 31=，∴AC y AB y AP 31-+=------②∴由①②得：???

????==????????-=-=52543112y x y x y x ∴AC AB AP 5152+=∴))(5

152(AB AC AC AB BC AP -+=?251515222=?++-=AC AB AC AB 即：10222=?++-AC AB AC AB 2

2)5

152(AC AB AP +=125425125422=?++=即：25

4422=?++ 4

=BC ∴22)(AB AC BC -=16222=?-+=AC AB AC AB 令a AB =2，b AC =2，c AC AB =?∴311622544102=????????=-+=++=++-c c b a c b a c b a 即：?的值为3

1

.题3解析：

解析：)(I 证明：显然331≥=a 成立，假设)(3*∈≥N k a k 成立，则33

1034393421≥=+-≥+-=+k k k a a a 3≥∴n a 对一切*∈N n 恒成立

)(II 证明：03

)2(342

21>-=-+-=-+n n n n n n a a a a a a );(1*+∈>∴N n a a n n )(III 证明：4

111,01111=+=≥∴>+a S S a n n 等式4321+-=+n n n a a a 两边同时减6得)

1)(2(2)2(321+-=--=-+n n n n n a a a a a 1

121211121(31)1)(2(1)2(31

11+--=-?+--=+-=-∴++n n n n n n n n a a a a a a a a

2

121111---=++n n n a a a 2121212121211111111322121-+-++-+-+---=++++++=∴+n n n n a a a a a a a a a S 12

112121111<--=---=++n n a a a 点评：本题第一问考察数学归纳法，注意数学归纳法的证明步骤，切勿忘记说明第一项满足.第二问可用作差法判断数列的增减性,结合第一问即可得出结果!第三问考察数列放缩，具有高等背景，需要借助不动点等知识！在借助不动点，对所给等式两边同时减去6以后，得到的式子有两个处理方向，类等比迭代放缩或裂项放缩，经过尝试等比放缩在本题中很难达到需要证明的精度，而使用裂项放缩刚好可以达到精度.需要说明的是裂项放缩是所有放缩方式中最强的放缩，能使

用等比放缩的一定可以裂项放缩，但能裂项放缩的不一定能使用等比放缩!