立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)
立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式） 例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱
ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.
(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;
(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.
【答案】解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)．
(1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .
(2)B 1C →＝(1，－2，－1)，
设平面B 1CE 的法向量＝(x ，y ，z )，
则?????·B 1C →＝0，m ·
CE →＝0，即?????x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2，1)．
由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1，0，－1)为平
面CEC 1的一个法向量．
于是cos 〈，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈，B 1C 1→〉＝217.
所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．
设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则
sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|
＝ 2λλ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1
. 于是
λ3λ2＋2λ＋1＝26
，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM ＝ 2. 方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， B 1C 1?平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从
而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ?平面CC 1E ，CC 1∩C 1E
＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ?平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .
(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，联结C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE .故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，
可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217
，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217
. (3)联结D 1E, 过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，联结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．
设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346
x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13
x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23
x . 整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝2(负值舍去)，所以线段AM 的长为 2.
例2（2013年高考北京卷（理））如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平
面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ;
(Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC 1存在点D,使得AD ⊥A 1B ,
并求1BD BC 的值. 【答案】解:
(I)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA 1 ⊥AC,AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),
设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则11100
A B A C ??=???=??n n ,即34040y z x -=??=?, 令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =.
同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =,所以16cos 25
?==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角,所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625
. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点,且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=,33y λ=-,4z λ=.
所以(4,33,4)AD λλλ=-. [来源:学科网]
由1·0AD A B =,即9250λ-=.解得925λ=
. 因为9[0,1]25
∈,所以在线段BC 1上存在点D, 使得AD⊥A 1B. 此时,
1925BD BC λ==. 例3（2012高考真题辽宁理18）(本小题满分12分)
如图1－4，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．
图1－4
【答案】解：(1)(证法一)
连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，
AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱．
所以M为AB′中点．
又因为N为B′C′的中点．
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，
AC′?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
(证法二)
取A′B′中点P，连结MP，NP，
M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP＝P，
因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN?平面MPN，
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O－xyz，如图1－5所示．
图1－5
设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，