概率与统计讲义

条件概率引入

条件概率实际指的是随着条件的变化，我们认为同一事件的概率也会跟着变化．例如：足球比赛：2012年欧洲杯决赛，西班牙队对阵意大利队，我们在开场前可能认为西班牙的胜率为P ，意大利的胜率为1P -，随着比赛进程的发展，我们看到西班牙攻入一球，于是我们肯定会认为西班牙的胜率在增大．这就叫随着条件的变化，我们认为同一件事情的发生的概率出现了变化．后来西班牙连入三球，比分锁定4:0，这时我们基本认为西班牙胜率接近100%了，这可以认为是在4:0领先的条件下，西班牙的胜率有了很大的提高．

条件概率有时还会被用于“平衡”概率，再举个例子，比如一些足球彩票，我们只需判断比赛的胜负，猜对就有奖．不过足球比赛的队伍之间有比较大的实力差距，比赛的结果会非常的明显，不用预测．所以彩票公司设置了“让球”制．比如强队让弱队1球，如果这场比赛打平了，那么就算弱队赢；如果强队1:0获胜，那么在彩票方面我们会认为是平局．以此类推．那么我们考虑彩票胜负的时候就需要考虑在“强队让一球”的条件下仍然能获胜的概率．如果差距太大，可能出现让2球，3球的情况，这样比赛的结果就有悬念了．这就是利用条件概率来人为的干涉事件的概率．

条件概率也常出现在新闻中．首先明确一点，我们看到的新闻很多是“小概率”事件，类似于车祸，自然灾害，奇人奇事等等，以为小概率事件发生了，才会引起我们的关注．比如：会踢球不算新闻，但是巴西有一个小孩，天生没有脚，踢足球特别厉害，这就成了大新闻．原因就是：我们认为一个人会踢球的概率比较大，但是如果考虑的是“在没有脚的条件下，一个人会踢球”，我们就会认为这个事的概率极低．那么这件我们认为不可能的事情发生了，就成为了新闻．

仔细想一想，概率会随着条件发生变化的根本原因是：我们计算概率的环境不同了．比如我们想算算在全世界的人里面随机选人，选到一个男人的概率，那么我们计算方式就是用全世界男人的数量除以全世界的人口．如果我现在已经知道了我选择的人是一个中国人呢？那我们的计算方式就会随着条件的变化而变化，变成中国的男人数量除以中国的总人口数．如果我们作图解释就会更加直观，比如我们设：A ：选取的人是一个男人，B ：选取的人是一个中国人，那么已知这个人是中国人的条件下，选的人是一个男人的概率就是()|P A B ，从图形解释：

于是我们很容易得出概率公式：()()

()

|P A B P A B P B =

．形式上看，我们加入的“中国人”这个条件相当于

在原来的范围内画了一个B 圈，这个圈作为我们考虑的范围，把落入这个范围内的A 作为研究对象．

考点1： 条件概率4.1条件概率与事件的独立性

B

A B ，就是中国人组成的集合，在已知选取的人是中国人的条件下，这部分是

我们的“分母”

A B ，也就是同时

满足男人和中国两个条件的人，这是我们计算的“分子”

1．条件概率：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概

率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．一

般地，我们有条件概率公式()

(|)(()0)()

P A B P B A P A P A =>

2．求简单条件概率问题，有两个基本方法：

①公式法：从条件概率的定义入手，如果()0P A >，则先在原样本空间计算()P AB 和()P A ，再按

公式()()()

P AB P B A P A =

．

②缩减样本空间法：在A 发生的前提下，确定B 的缩减样本空间，并在其中计算B 发生的概率，从

而得到()P B A ． 【教师备案】在做条件概率的问题时，大多数题公式法和缩减样本空间法都能用，而对于很难写出样

本空间的条件概率问题，这时就只能用公式法了，如例1；而对于我们能够很清楚的写出样本空间的题，我们大多数采取缩减样本空间法，这有利于我们很快的解决问题，如例2．本讲的条件概率只讲公式法和缩减样本空间，对于全概公式我们留到同步再去讲解．

【例1】 直接用公式

甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比 例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： ⑴ 在乙地为雨天的条件下，甲地也为雨天的概率是多少？ ⑵ 在甲地为雨天的条件下，乙地也为雨天的概率是多少？

【解析】 设A =“甲地为雨天”，B =“乙地为雨天”，则根据题意有()0.20P A =，()0.18P B =，

()0.12P A B =，所以

⑴ 乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是()0.122

(|)()0.183P A B P A B P B ===．

⑵ 甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是()0.12

(|)0.60()0.20P A B P B A P A ===．

【点评】此题我们不能写出样本空间，所以就只能用公式做题了．

【例2】 缩减样本空间

一个家庭中有两个孩子．假定生男、生女是等可能的，在这个家庭有一个是女孩的前提下，求另一个小孩是男孩的概率？

【追问】如果现在这个家庭只有一个女孩，问下一个孩子是男孩的概率是多少？由此引出独立事件．

【解析】 缩减样本空间法：

一个家庭中有两个孩子，因为生男、生女是等可能的，所以基本事件空间有4种情况，又因为已经知道有一个是女孩，所以把都是男孩的情况排除，那剩下的基本事件空间就只有3种

情况了，所以另一个是男孩的概率是2

3

P =．

公式法：设基本事件空间为Ω，A =“有女孩”，B =“有男孩”，

则()()()(){}

Ω=男，男，男，女，女，男，

女，女， ()()(){}A =男，女，女，男，

女，女， 知识点睛

经典精讲

()()(){}B =男，男，男，女，女，男，()(){}A B =∩男，女，女，男，由上面分析可

知()34P A =，()2

4

P A B =∩，由条件概率公式可知：()2

24334

P B A ==．

【追问】1

2

【点评】由此例题我们发现缩减样本空间比公式法简单很多，所以在能够写出样本空间的情况下，大

多数用缩减样本空间法．

【挑战五分钟】由例2我们可以看出缩减样本空间更简单，所以这时让学生多练习一下缩减样本空间

法

一个家庭中有四个孩子．假定生男、生女是等可能的，在这个家庭有两个是女孩的前提下，求另两个小孩是男孩的概率？

【解析】 缩减样本空间法：一个家庭中有四个孩子，因为生男、生女是等可能的，所以基本事件空间

有16种情况（4男一种情况，4女一种情况，2男2女六种情况，3男1女四种情况，3女1男四种情况），又因为已经知道有两个是女孩，所以把都是男孩和3男1女的情况排除，那剩下的基本事件空间就只有11种情况了，

所以另两个是男孩的概率是6

11

P =．

考点2： 事件的独立性

1．设A B ，为两个事件，如果()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．事件A 是否发生

对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把

这两个事件叫做相互独立事件．

2．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =??

?，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件

后等式仍成立．

3．若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．

【教师备案】⑴相互独立的两个事件实质上是一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响，也就

是若事件A 与B 相互独立，则()()P B A P B =且()()P A B P A =，因而有

()()()()()P AB P A P B A P A P B ==

⑵“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，它们之间没有直接关系，前者表示不可能同时发生的两个事件，后者是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，互斥事件可以看成不是相互独立的两个事件中，一个事件的发生对另一个事件的发生不仅有影响而且影响大到不可能同时发生．在具体解题时，如果混淆这两个概念极易发生错误，所以必须注意和重视．

【教师备案】在讲必修3的时候讲过互斥事件与对立事件，所以，在讲独立事件时，建议老师提问“什

么是互斥事件”、“什么是对立事件”，让学生复习一下以前学的知识点．在这里还要重点给学生讲一下互斥事件与独立事件的区别．例3是判断独立事件与互斥事件；例4是计算独立事件的概率．

【例3】 判断独立事件与互斥事件

下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？

⑴ 1000张有奖销售的奖券中某1张中一等奖与该张奖券中二等奖；

经典精讲

知识点睛

⑵ 工会的抽奖活动中“老王抽到的两张券，1张中二等奖，另1张没中奖”与“老王抽到的两张奖券都中二等奖”；

⑶ 一个布袋里有3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球放回后，再任取2个球是白球”；

⑷ 一个布袋里有3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”．

【解析】 ⑴ 是互斥事件；

⑵ 是互斥事件； ⑶ 是相互独立事件；

⑷ 既不是互斥事件，又不是相互独立事件．

【点评】 这里容易错误地认为“如果两个事件不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件”．如题中

的第⑷题，由于第1次取的球不放回，就会对第2次取到的球的概率产生影响，但不会造成“再从中任意取1球是红球”的事件不发生，所以这两个事件既不是互斥事件，又不是相互独立事件．

【备选】 判断下列各对事件是否是相互独立事件

⑴ 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1人是男生”与“从乙组中选出1人是女生”． ⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．

【解析】 ⑴ “从甲组选出1人是男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1人是女生”这一事件发生的

概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

⑵ “从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为5

8，若这一事件发生了，则“从剩下的

7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为4

7

；若前一事件没有发生，则后一事件

发生的概率为5

7

．可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是

相互独立事件．

提高班学案1

【铺1】 已知A ，B ，C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是12，事件B 发生的概率是2

3

，事件

C 发生的概率是3

4

，求下列事件的概率：

⑴ 事件A ，B ，C 均发生；⑵ 事件A ，B ，C 均不发生；⑶ 事件A ，B ，C 不都发生．

【解析】 ⑴ 记“事件A ，B ，C 均发生”为1A ，则由于A ，B ，C 互相独立，故1A ABC =，从而

11231()()()()2344P A P A P B P C ==??=．故事件A ，B ，C 均发生的概率为1

4

．

⑵ 记“事件A ，B ，C 均不发生”为2A ，则2A A B C =??，由于A ，B ，C 相互独立，故A ，

B ，

C 也独立，故2()()()()()P A P A B C P A P B P C =??=1231

11123424

??????=-?-?-=

? ? ???????， ∴事件A ，B ，C 均不发生的概率为1

24

．

⑶ 记“事件A ，B ，C 不都发生”为3A ，则从正面考虑事件A ，B ，C 中可以有1个不发生，

可以有2个不发生，也可以3个都不发生，情况较多，但从反面考虑，3A 的反面为“事件

都发生”，故31A A =，从而3313

()1()1()4

P A P A P A =-=-=，∴事件A ，B ，C 不都发生

的概率为3

4

．

【例4】

计算独立事件的概率

已知A ，B ，C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是

12，事件B 发生的概率是2

3

，事件 C 发生的概率是3

4

，求下列事件的概率：

⑴ 事件A ，B ，C 至少发生一个； ⑵ 事件A ，B ，C 只发生一个； ⑶ 事件A ，B ，C 只发生两个； ⑷ 事件A ，B ，C 至多发生两个．

【解析】 ⑴ 记“事件A ，B ，C 至少发生一个”为4A ，其对立事件为4A ：“事件A ，B ，C 一个也不

发生”，即事件2A ，故42A A =，从而442()1()1()P A P A P A =-=-123

12424

=-=

， ∴事件A ，B ，C 至少发生一个的概率为23

24

．

⑵ 记“事件A ，B ，C 只发生一个”为5A ，则事件5A 包括三种情况，第一种是只发生A 事件，

事件B ，C 不发生（即A B C ??事件发生）；第二种只发生事件B ，事件A ，C 不发生（即事件A B C ??发生）；第三种是只发生事件C ，事件A ，B 不发生（即事件A B C ??发生）而这三种情况是不可能同时发生的，即事件A B C ??，A B C ??，A B C ??彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，

所求的概率为51231

()()()()2424244

P A P A B C P A B C P A B C =??+??+??=++=，

∴事件A ，B ，C 只发生一个的概率为1

4

．

⑶ 记“事件A ，B ，C 只发生两个”为6A ，则事件6A 包括三种彼此互斥的情况，

A B C ??；A B C ??；A B C ??，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公

式，所求的概率为623611

()()()()24242424

P A P A B C P A B C P A B C =??+??+??=++=

， ∴事件A ，B ，C 只发生两个的概率为11

24

．

⑷ 记“事件A ，B ，C 至多发生两个”为7A ，则包括彼此互斥的三种情况：事件A ，B ，C 一

个也不发生，即2A ；事件A ，B ，C 只发生一个，即5A ，事件A ，B ，C 只发生两个，

即6A ，故72561611183

()()()()242424244P A P A P A P A =++=++==．

事件A ，B ，C 至多发生2个的概率为3

4

．（也可由713A A A ==立刻得到答案）

尖子班学案1

【拓2】 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被

淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、1

5

，且

各问题能否正确回答互不影响．

⑴ 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； ⑵ 求该选手至多进入第三轮考核的概率．

【解析】 ⑴ 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，，则

14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，41

()5

P A =．

该选手进入第四轮才被淘汰的概率：

12341234432496

()()()()()5555625

P A A A A P A P A P A P A ==???=

． ⑵ 该选手至多进入第三轮考核的概率：112123()P A A A A A A ++142433101

555555125

=+?+??=．

目标班学案1

【拓3】 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c ，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．

⑴ 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； ⑵ 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）

【解析】 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A B C ，，，

则()()()P A a P B b P C c ===，，． ⑴ 应聘者用方案一考试通过的概率

()()()

()1p P A B C P A B C P A B C P A B C =??+??+??+??

()()()1112a b c a b c a b c abc ab bc ca abc =??-+-??+?-?+=++-

应聘者用方案二考试通过的概率

()()()()()211111

33333

p P A B P B C P A C a b b c c a ab bc ca =?+?+?=??+?+?=++

⑵ ()()1212

2333

p p ab bc ca abc ab bc ca ab bc ca abc -=++--++=++-

()()()211103

ab c bc a ac b =-+-+-????≥ ∴12p p ≥．

考点3： 离散型随机变量的分布列及其性质

1．离散型随机变量

如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而

变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写英文字母,,X Y 或小写希腊字母ξη，，表示．

如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．

【教师备案】①量的取值范围叫做随机变量． ②随机变量与函数的关系：

a ．联系：随机变量与函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，

函数是实数到实数的映射；随机试验的结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做

4.2离散型随机变量

知识点睛

随机变量的值域．

b ．区别：函数()f x 的自变量是实数x ，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量

是试验结果（即样本点）

③对随机变量的理解：

a ．随机变量是将随机试验的结果数量化．

b ．随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件．如：“掷一枚骰子”这一随机试验中所得点数是一随机变量ξ，随机变量“2ξ=”，即对应随机事件：“掷一枚骰子，出现2点”；而“3ξ=或4ξ=”，即对应随机事件：“掷一枚骰子出现3点或4点”． ④并不是所有的随机变量的取值都能一一列出，如电灯泡的寿命X 的可能取值是任何一个非负实数，我们是无法一一列出的．一般地，如果随机变量可以取某一个区间内的任意一个值，则称这样的随机变量为连续型随机变量． ⑤离散型随机变量与连续型随机变量的区别：

对于离散型随机变量而言，它所有可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可取值按一定次序一一列举出来．而连续型随机变量可取某一区间的任意值，我们无法对其中的值一一列举．

⑥连续型随机变量可转化为离散型随机变量．如X 为电灯泡寿命（单位：小时），则

()()

010*******X Y X ?

要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道： ⑴X 所有可能取的值12n x x x ，，，； ⑵X 取每一个值i x (1,2,,)i n =的概率12n p p p ，，，． 这就是说，需要列出下表：

X 1x 2x … i x … n x P

1p

2p

…

i p

…

n p

我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布列，或称为离散型随机变量X 的分布列．由分布列能一目了然地看出随机变量X 的取值范围及取这些值的概率．

【教师备案】离散型随机变量X 的分布列指的就是随机变量X 与这一变量所对应的概率P 的分布表，

它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律性．

3．离散型随机变量的分布列有下面两条性质： ⑴0i p ≥，123i n =，，，，； ⑵121n p p p +++=．

【教师备案】⑴要熟练地掌握离散型随机变量分布列的性质，理解每个性质的含义，并能运用它们解

决实际问题．

⑵离散型随机变量分布列的两个性质01i p ≤≤和

121i n p p p p ++

++

+=()12i n =，，，是检验一个分布列的正确与否的重要依

据，重要的一条就是它们的概率之和等于1．

【例5】 分布列的性质

⑴设随机变量ξ的分布列如表所示，则x =______．

⑵设随机变量ξ分布列为()11233i

P i a i ξ??

=== ???

，，，，则a 的值为（ ） ξ 1 2 3 4 P

12 14 18 x 经典精讲

A ．1

B ．

913 C ．1113 D ．27

13

【解析】 ⑴

1

8

由分布列性质可知：

1111248x +++=，18

x =∴． ⑵D

()113P a ξ==?，()2

123P a ξ??==? ???，()3

133P a ξ??

==? ???

，

由()()()1231P P P ξξξ=+=+==，知2

3

1111333a a a ??????

++= ? ? ???????

，2713a =∴．

【例6】

写分布列

（2012山东19改编）

现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为3

4

，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为

2

3

，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击．求该射手的总得分X 的分布列． 【追问】如果每次射击都可以自由选择靶子，为了得到更高的预期总得分，该射手应该如何完成这三次射击？

【解析】 记：“该射手射击甲靶命中”为事件A ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件B ，“该射手第二

次射击乙靶命中”为事件C ．由题意知32

(),()(),43

P A P B P C ===

根据题意知X 的所有可能取值为012345，，，，， 根据事件的独立性和互斥性得

(0)()[1()][1()][1()]P X P ABC P A P B P C ===---=3221

11143336??????-?-?-= ? ? ???????

，

(1)()()()()P X P ABC P A P B P C ====3221

1143312

?????-?-= ? ????? ，

(2)()()()P X P ABC ABC P ABC P ABC ==+=+=3223221

11114334339????????-??-+-?-?= ? ? ? ?????????

(3)()()()P X P ABC ABC P ABC P ABC ==+=+322322111,4334333

????=

??-+?-?= ? ????? 3221

(4)()1,4339P X P ABC ??===-??= ???

3221

(5)()4333

P X P ABC ===??=．

X 0 1 2 3 4

5

P 136 112 19 13 19

1

3

【追问】在真实比赛中，运动员除了要考虑得分外，还应该考虑获取该分数的可能性．比如在

此例中，射击乙靶，如果命中，虽然能得到2分，但其概率只有2

3

，相当于他射击一

次得到的平均分数是

43；射击甲靶，如果命中，只能得到一分，但其概率为3

4

，相当于他射击一次得到的平均分数是3

4

．所以射击一次乙靶比甲靶得到的平均分高，而且

三次射击是独立事件，因此三次都选择乙靶可以得到更高的预期分数． 教师据此例可引出期望的概念．

【备选】 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一

名志愿者．设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列及( 1.5)P ξ≤

【解析】 随机变量ξ可能取的值为12，．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务．

同时有两人参加A 岗位服务的方案数有2353C Α种，总方案数有24

54C Α， ∴23

53

2454

C 1

(2)C 4P ξ===ΑΑ． 事实上由对称性，有两人参加A 岗位服务的方案数应该与有两人参加D 、B 或C 岗位服务的

方案数一样，直接就有1

(2)4

P ξ==．

于是1235432454C C A 3

(1)C A 4

P ξ===（也可求(1)1(2)P P ξξ==-=得到），

ξ的分布列是

ξ 1

2

P

3

4 14

( 1.5)(1)4P P ξξ===

≤

考点4： 离散型随机变量的期望与方差

1．离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E X x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数

学期望（简称期望）．

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．

【教师备案】①行了n 次，根据X 的分布列，在n 次试验中，有1p n 次出现了1x ，2p n 次出现了2x ，，n p n 次出现了n x ，在n 次试验中，X 出现的总次数为1122n n p nx p nx p nx +++．因此n

次试验中，X 出现的平均值等于()1122n n

p nx p nx p nx E X n

+++=，

即()1122n n E X p x p x p x =+++．

②如何去理解离散型随机变量的数学期望值呢？例如：在一次商业活动中，某人获利300 元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，求此人在这样的一次商业活动中获利的数学期望．由定义可得()()3000.61000.4140E X =?+-?=．这表明此人有希望获利140元，但要注意，对于这样一次商业活动，此人不是赚300元，就是亏100元．但如果他重复从事这类商业活动，那么从平均意义上说，每次可获利的数学期望为140元． ③随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．

知识点睛

2．离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E X p x E X p x E X p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．

离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．

()D X 的算术平方根()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动

大小的量．

【教师备案】①随机变量X 的方差与标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程

度．()D X 越小，稳定性越高，波动越小．

②随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．

3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，

； 【教师备案】上述公式证明如下：

如果Y aX b =+，其中a ，b 为常数，那么Y 也是随机变量．

因此()()P Y ax b P X x =+==，，2，3，…，n ，所以的分布列为 Y

1ax b + 2ax b + … n ax b + P

1p 2p …

n p

()1122(n n ax +++112212()()n n n a x p x p x p b p p p =++

++++

+()aE X b =+，

即()()E aX b aE X b +=+．

()()()2221122()()()()n n D aX b ax b aE X b p ax b aE X b p ax b aE X b p +=+--++--+++--

()()()()222221122[()()()]n n a x E X p x E X p x E X p a D X =-+-++-=．

4．利用公式()()22()()D X E X E X =-求方差．

【教师备案】公式)2()()D X E X E X =-的证明如下： ()()()()2221122()()()n n D X x E X p x E X p x E X p =-?+-?+

+-

()()22

2

2112

2112212()2()()()n n n n n x p x p x p E X x p x p x p E X p p p =+++-?++

++++

+

()()()()

()222222()()()E X E X E X E X E X =-+=-． 利用公式()()22()()D X E X E X =-可以简化求方差的过程．

提高班学案2

【铺1】 ⑴ 已知随机变量的分布列

X 2-

1 3 P

0.16 0.44 0.40 ()()()⑵ 已知某随机变量ξ的概率分布列如下表：

ξ 0 1

2 3 P

0.1 a b 0.1

()经典精讲

【解析】 ⑴ ∵()20.1610.4430.40 1.32E X =-?+?+?=

又()

()2

2220.1610.4430.40 4.68E X =-?+?+?=， ∴()()()()2

2 4.68 1.7424 2.9376D X E X E X =-=-=．

∴()()25257.64E X E X +=+=．

⑵ 0.10.11P a b =+++=，()00.11230.1 1.5E a b ξ=?+?+?+?=，

∴0.8a b +=，2 1.2a b +=．

解得0.4a b ==．

【例7】

计算期望与方差

⑴ 已知随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2

3 4 5 P

0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

⑵ 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求()E X 、()D X ．

X 1- 0

1

P

12

12q -

2q

【解析】 ⑴ ()10.120.230.440.250.13E ξ=?+?+?+?+?=

()()()()()()2

2

2

2

2

130.1230.2330.4430.2530.1D ξ=-?+-?+-?+-?+-? 1.2=

()()23232333E E ξξ-=-=?-=， ()()22324 1.2 4.8D D ξξ-=?=?=．

⑵ 由离散型随机变量的分布列的性质，

得()2

2

1121201211q q q q ?+-+=??-????

≤≤≤，解得21q =

X 1-

0 1 P 12 21- 322- ∴()()()

13131021122122222E X ?=-?+?+?-=-+= ?

∴()())

2

2213102112222

2E X ?=-?+?

+?= ?

∴()()()()(2

2

22212

21D X E X E X =-==．

尖子班学案2

【拓2】 已知随机变量的分布列为：

X 2- 1-

0 1

2 P

1

4

13 15 m

120

【解析】 分布列中含有字母m ，应先根据分布列的性质，求出m 的值，再利用均值定义求解．对

于②，可直接套用公式，也可以先写出Y 的分布列，再求EY

① 由随机变量分布列的性质，得1111143520m ++++=，所以1

6

m =，

∴()()()1111117

2101243562030

E X =-?+-?+?+?+?=-．

② 方法一：由公式()()E aX b aE X b +=+，得 ()()()17622323233015E Y E X E X ??

=-=-=?--=- ???

．

Y 7- 5- 3- 1-

1 P

14 13 15 16 120

∴()()()()()7531143562015

E Y =-?+-?+-?+-?+?=-．

【点评】 求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解．

对于aX b +型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aX b +的分布列，再用定义求解．

目标班学案2

【拓3】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（1234n =，，，）

．现 从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号． ①求ξ的分布列、期望和方差；

②若a b ηξ=+，()1E η=，()11D η=，试求a b ，的值．

【解析】 ① ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3 4

P

12 120 110 3

20

15 ∴()01234 1.5.22010205

E ξ=?+?+?+?+?=

()2222211131

(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205

D ξ=-?+-?+-?+-?+-?=

② 由()()D a D ηξ=2，得2 2.7511a ?=，即2a =±．

又()()E aE b ηξ=+，所以

当2a =时，由2 1.51b ?+=，得2b =-；当2a =-时，由2 1.51b -?+=，得4b =． ∴22a b =??=-?或24a b =-??=?

即为所求．

【教师备案】均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够．如果两个随

机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差．方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定．因此，利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题，也就是当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定，（即计算方差的大小），稳定者就更好．如果我们希望比较稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否相当接近即可．

【例8】 方差的实际应用

甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，

ξ和η的分布列如下：

ξ012η012

P

6

10

1

10

3

10

P

5

10

3

10

2

10试对这两名工人的技术水平进行比较．

【解析】一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小．工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为：

()613

0120.7

101010

Eξ=?+?+?=，

()()()()

222

613

00.710.720.70.81

101010

Dξ=-?+-?+-?=；

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

()532

0120.7

101010

Eη=?+?+?=

()()()()

222

532

00.710.720.70.61

101010

Dη=-?+-?+-?=．

由()()

E E

ξη

=知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但()()

D D

ξη

>，可见乙的技术比较稳定．

设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率与只有B发生的概率都是

1

4

，求()

P A、()

P B．

【思路】只有A发生，即A B

?发生；只有B发生，即A B

?发生．

∵A、B相互独立，∴A、B；B、A也相互独立．

∴

1

()()()()[1()]

4

P A B P A P B P A P B

?=?=-=，

1

()()()()[1()]

4

P A B P A P B P B P A

?=?=-=，

即

1

()()()

4

1

()()().

4

P A P A P B

P B P A P B

?

-?=

??

?

?-?=

??

，

解得

1

()

2

1

().

2

P A

P B

?

=

??

?

?=

??

，

【失分警示】误区：

1

()()

4

P A P B

==．

以上错误在于对题意理解错位，误认为只有A、B发生的概率与A、B的概率是一回事，没有把只有A发生转化为AB，把只有B发生转化为AB．

【演练1】已知ξ的分布列为：

实战演练

A ．13-

B ．5

9

C ．109

D ．209

【解析】 D

()11111012363E ξ=-?+?+?=-，()2

2

2

11111151013233369D ξ?

?????=-+?++?++?= ? ? ??

?????，

∴()()()4520

22499

D D D ηξξ?=+===

．

【演练2】一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回．求

若已知第一只是好的前提下，第二只也是好的概率．

【解析】 公式法：设{}i A i =第只是好的(12)i =，．由题意知要求出21(|)P A A ．

因为163()105P A =

=，12651

()1093

P A A ?==?，所以12211()5(|)()9P A A P A A P A =

=． 缩减样本空间法：在取出的第一只是好的条件下，盒子里还剩下9只晶体管，其中5只是好

的，因而215

(|)9

P A A =．由此进一步验证了条件概率公式．

【演练3】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床

加工的零件不是一等品的概率为1

4

，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一

等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2

9

．分别求甲、乙、丙

三台机床各自加工的零件是一等品的概率．

【解析】 设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．

由已知条件有：112

()()()4129

P A B P B C P A C ?=?=?=，，．

即112

()[1()]()[1()]()()4129P A P B P B P C P A P C -=-==，，．

不难解得112

()()()343

P A P B P C ===，，．

即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是112

343

，，．

【演练4】一个袋中有5个球，编号为12345，，，，，在其中同时取3个球，以X 表示取出的3个

球中的最大号码，试求X 的概率分布列以及最大号码不小于4的概率．

【解析】 X 的所有可能取值为345，，．

3X =时，取出的3个球，号码分别只能为123，

，，所以35

1

(3)0.1C P X ===； 4X =时，意味着3个球最大号码是4，另外两个号码可在123，，中任取2个，共有2

3C ，所以2

3

35

C (4)0.3C P X ===；

5X =意味着3个球最大号码是5，另外两个号码可在1234，，，中任取2个，共有24C ，所以

2

42

5

C (5)0.6C P X ===； X 的概率分布为

X

3 4 5 P

0.1 0.3 0.6

(4)P X ≥

【演练5】甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、2X 的分布列分别是

1X

6 7 8 9 10 P

0.16 0.14 0.42 0.1 0.18

2X

6 7 8 9

10 P

0.19 0.24 0.12 0.28 0.17

【解析】 ∵()160.1670.1480.4290.1100.188E X =?+?+?+?+?=，

()()6

2

118 1.6i i i D X x p ==-=∑．同理可得()28E X =，()2 1.96D X =．故甲射手的射击水平较好．

12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门： ⑴ 求此3名男性被分别分到不同部门的概率； ⑵ 求此3名男性被分到同一部门的概率；

⑶ 若有一男性被分到指定部门，求其他2名男性都被分到与他不同部门的概率．

【解析】 ⑴所有的分配方法有44412

84C C C 种， 3名男性被分别分到不同部门的概率为3333

3963

4441284A C C C 16()C C C 55P A ==；

⑵ 3名男性被分到同一部门的概率为11443984

4441284C C C C 3()C C C 55

P B ==．

⑶ 因为有一名男性被分到指定部门了，所以此时所有的分配方法有344

1184C C C 种， 其他2名男性被分到与他不同部门的概率344

984

3441184C C C 28()C C C 55

P C ==．

大千世界