三角形复习课教案

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号: 年级: 课时数：学员姓名：辅导科目: 数学学科教师：

授课类型T(三角形）C（三角形相关的线段、

角)

T （三角形与多边形综合）

授课日期及时段

教学内容

一、同步知识梳理

知识点1.三角形的定义与分类：

(1)三角形的定义:

（２)三角形的分类：

锐角三角形

按角分直角三角形

钝角三角形

不等边三角形

按边分等腰三角形:有两条边相等的三角形

有三条边相等的三角形即等边三角形

(3)三角形的三边关系:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之和小于第三边。

知识点2．三角形的高、中线、角平分线

（1）三角形的高:过三角形的顶点向对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

三条高的交点叫做垂心。

钝角三角形的垂线的位置在三角形的外部。

(2)三角形的中线:联结三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。

三条中线的交点叫做重心。

（3)三角形的角平分线：三角形一内角的平分线与对边相交,交点到顶点之间的线段叫做角平分线。

三条角平分线的交点是内接圆的圆心即内心

知识点３.三角形的稳定性:三角形具有稳定性。

知识点4.与三角形有关的角：

（1）三角形内角和定理:三角形内角和为180°

（2）三角形外角的性质：①三角形的外角等于和它不相邻两内角之和。

②三角形的外角大于与它不相邻的内角。

（3)三角形外角和定理:三角形外角和为３60°

(4)两个角互余的三角形是直角三角形。

知识点5.多边形

（1)多边形定义：＿_______＿___

（2) ｎ边形内角和定理:多边形内角和为（ｎ-2）×１80°

(３) 多边形外角和定理：多边形外角和为36０°。

（4）①多边形的对角线

2)3

(

n

n

条对角线

(5）正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

二、同步题型分析

例1.下列各组数可能是一个三角形的边长的是( ）

A．1，2,４Ｂ．4，5，９ C.４，6,8?D．５,５，11

分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可.

解：Ａ、因为１＋2<４，所以本组数不能构成三角形.故本选项错误；?Ｂ、因为４+５＝9,所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；

C、因为９-４<5＜8＋４，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确;

D、因为５＋5<1１，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；?故选C.

点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边,只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．

例２.如图7.1.２-4所示,△ABＣ中，边BC上的高画得对吗?为什么?

分析：锐角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的内部；直角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的直角顶点处；钝角三角形的三条高交于一点,交点在三角形的外部。

解答：（1）（2)(4）错，(3）对

例3. 如图所示：

（1)ＡD ⊥B Ｃ,垂足为Ｄ,则A Ｄ是________的高,∠_＿_＿____=∠_____＿_＿=90°.

（2）ＡE 平分∠BAC ,交B Ｃ于E 点,则AE 叫做△ABC 的＿＿___＿＿＿,∠＿______＿=∠＿_____＿_=

21∠____＿___．

(3)若AF ＝FC ,则△ＡBC 的中线是＿______＿,Ｓ△A ＢF =_＿__＿__＿．

(4）若BG =ＧH =H Ｆ，则AG 是＿_______的中线,A Ｈ是_＿______的中线.

分析:熟悉三角形的垂线、角平分线、中线的概念是解题的关键。(3）B Ｆ是△ABC 的中线,所平分的两个三角形面积相等，因为等底同高。

例4．如图,C Ｄ、C Ｅ、CF 分别是△ABＣ的中线、角平分线、高，那么下列结论错误的是（ )

Ａ．AD=D Ｂ Ｂ.∠ACＥ=∠ECB C ．∠AFC=∠BFC＝9０° D.∠ＥCF ＝∠BCＦ 考点：三角形的角平分线、中线和高．

分析:根据三角形的中线的定义，角平分线的定义和高线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解. 解答：解：Ａ、∵CD 是中线， ∴AD=BＤ,故本选项错误;? Ｂ、∵CE 是角平分线， ∴∠ACE ＝∠EＣB ，故本选项错误；

Ｃ、∵CF 是高线， ∴∠AFC＝∠BFＣ=9０°，故本选项错误；? D 、∵EF 与BF 不一定相等， ∴∠EＣF=∠BCＦ不一定正确,故本选项正确.?故选D.

点评：本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，是基础题,熟记概念是解题的关键．

例5.如图，哪些应用了三角形的稳定性,哪些应用了四边形的不稳定性.

钢架桥 起重机 屋顶钢架 活动滑门

分析：三角形具有稳定性,四边形有不稳定性。

解答:起重机、钢架桥、屋顶钢架有稳定性；活动滑门有不稳定性。

例6.如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( ）? A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定

分析：理解直角三角形定义，结合三角形内角和得出结论.

解答：若△ＡBC 的三个内角∠A 、∠B 、∠Ｃ中，∠Ａ+∠B=∠C

又∠Ａ＋∠Ｂ+∠Ｃ=180°,所以2∠C=180°，可得∠Ｃ=90°,所以选C ．?

例7．已知一个三角形三个内角度数的比是1∶５∶６，则其最大内角的度数为( ).

A ．60° ? B.７5° ?Ｃ.９0° ? D ．１20°

分析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为ｋ°,则三个内角的度数分别为k °，5k °，6k °.

根据三角形的内角和等于18０°,列方程k ＋５k +６ｋ＝１80,解得ｋ=1５．所以最大内角为6k °＝９0°，应选Ｃ.

解答:选C

例8.如图，△ＡＢC 中，∠Ａ=７0°,∠B =60°，点D 在BC 的延长线上，则∠A ＣD 等于( ）.

A.10０° ?? ?Ｂ．12０°

C ．130° ? ? ? ?

D ．15０°

分析：所求的角恰好是△ＡBC 的外角,根据外角推论1可求得．

∵△ＡB Ｃ中,∠A ＝70°，∠B =60°，

∴∠AC Ｄ=∠A +∠Ｂ=7０°+60°=130°.故选Ｃ.

解答：C

点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

例９．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是【 】

A.4

B.５ Ｃ.6 D ．7

考点：多边形内角和定理。

解析∵多边形的内角和公式为（n ﹣２）?180°，∴(n﹣2）×１80°=72０°，解得n=6。

∴这个多边形的边数是6.故选Ｃ。

例10.如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形A ＢCDE 的4个外角，若2A 10∠=?，则1234∠+∠+∠+∠= ▲

解答：３00。

考点：多边形外角性质，补角定义。

分析：由题意得，∠A 的外角=18０°－∠A=60°,

又∵多边形的外角和为36０°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°-∠A 的外角=３０0°。

例11.一个多边形的每个外角都是60°,则这个多边形是__＿边形，它的对角线共有_＿____条对角线。

考点:多边形内角与外角；多边形的对角线．

分析:利用外角和36０°÷外角的度数即可；根据多边形的对角线条数公式n (ｎ?３)/２即可算出答案.?故答案为：六;9.

点评：此题主要考查了多边形的外角和,以及对角线的条数,关键是掌握对角线总条数的计算公式.

n 边形过一个顶点有(n-3)条对角线,它们把ｎ边形分割成了(n-２)个三角形

三、课堂达标检测

1.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是( ）

Ａ．２ B ．4 C ．6 D ．8

选Ｂ

2..如果线段a 、b 、ｃ能组成三角形，那么,它们的长度比可能是( ）

A.1∶2∶4

B.1∶3∶４

C.3∶4∶7?

D.2∶3∶4

３．如图,若上∠1=∠2、∠3=∠4，下列结论中错误的是( Ｄ）

A ．A Ｄ是△ABC 的角平分线 Ｂ.ＣE 是△ACD 的角平分线 Ｃ.∠3=2

1∠ACB ??D.CE 是△ABC 的角平分线

4.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的( A )

A. 中线 B ． 高线 C. 角平分线 Ｄ. 以上都不对

5.在△ABC 中，∠A =90°，∠C =55°，则∠B =＿___＿；若∠C =４∠A ，∠A +∠B =10０°,则∠B =＿___＿__＿.

６.如图所示，∠ａ=___＿＿_＿_.1６0°

７．已知正n 边形的一个内角为135o，则边数n 的值是【 】

A ．６

B ．7

C ．8 D.9

解析:根据多边形内角和定理,得00

n 2=135n -??（）180，解得ｎ=8。故选C 。 四.师生小结< 建议用时5分钟！＞

1.熟知三角形的三边关系、高、中线、角平分线。

2.掌握三角形的内角和定理、外角和定理。

3.掌握多边形内角和定理、外角和定理

一．专题导入

通过模块一同步训练的学习，我们初步掌握了与三角形有关的线段、角；多边形及其内角和。三角形的线段和角是中考的必考内容,要求了解或理解，但是常常与其他章节结合考查，如平行线、全等、相似等知识。三角形的全等和相似是以后学期要学的内容,也是中考考查的重点。本章是关于三角形的初步认识,也是学好全等与相似的基础与前提，所以我们对于三角形要更深层次的认识与掌握。

二．专题精讲

三．题型一. 三角形的三边关系

例1.三角形的三边分别为3,1-2a，8,则ａ的取值范围是（ )?Ａ.-6<ａ<-3 Ｂ.-5

解答：根据三角形三边关系得:8-3＜1－２a<8+３，解得-5＜a<-2,应选B.

例２.有人说，自己的步子大,一步能走三米多,你相信吗？用你学过的数学知识说明理由．

考点：三角形三边关系.

分析:人的两腿可以看作两条线段，走的步子也可看作线段,则这三条线段正好构成三角形的三边，就应满足三边关系定理．

解答：不能.

如果此人一步能走三米多，由三角形三边的关系得，此人两腿长的和＞3米多,这与实际情况不符．?所以他一步不能走三米多.

点评：本题就是利用三角形的三边关系定理解决实际问题.

题型二.三角形有关的线段

例1.如图,已知△ABＣ中，∠Ｂ＝6５°，∠C=45°，AＤ是BC边上的高,AE是∠ＢAＣ的平分线，求∠DAＥ的度数.

分析:由三角形的内角和定理,可求∠BAC＝７０°.又AE是∠ＢAC的平分线，可知∠BAE＝35°,

再由AD是BC边上的高,可知∠ＡDB=90°,从而∠BAD＝25°,所以∠DＡE=∠BAＥ-∠ＢAD＝10°.

解答：在△ABC中，

∵∠BAC＝180°-∠B－∠C=70°,AE是∠ＢＡＣ的平分线,

∴∠BAE=∠CAE＝３５°.

又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°．

∵在△ABD中∠BAＤ＝90°-∠B=25°，

∴∠ＤAＥ＝∠BAＥ-∠BＡD＝１０°.

点评：三角形内角和定理的运用。本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质、高线的性质,解答的关键是三角形的内角和定理的运用．

题型三.三角形有关的角

例1．若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4,那么这个三角形是（）

Ａ. 直角三角形 B. 锐角三角形 C．钝角三角形 D. 等边三角形

分析:三角形的内角和为180°，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20,则三个内角度数分别为4０°、60°、8０°,是锐角三角形.?解答：选B

例2.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A,则此三角形中( ) ?Ａ.一定有一个内角为45° B.一定有一个内角为60°? C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形?考点:三角形内角和180°.

分析:会灵活运和三角形内角和等于180°这一定理,即∠B+∠C=180°－∠A.

解答：∵△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋∠C=180°-∠A

∵∠B＋∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴∠A=45°,

∴选Ａ，其它三个答案不能确定．

例３.如图,ＢO、ＣO分别为∠AＢC、∠ACB的外角平分线，且∠BOＣ=6０°,则∠A＝____＿＿６0°

考点:三角形内角和定理.

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠OBＣ+∠OC Ｂ,再根据三角形的内角和定理求解即可.

解答:解:∵BＯ、CO分别为∠ＡBＣ、∠ACB的外角平分线,

∴∠OBＣ＋∠OＣＢ＝1/２（∠ACB+∠A)＋1/2（∠ABC+∠Ａ)＝1／2(∠ACB+∠A+∠ABC＋∠A)，

在△ＡBC中，∠ACB+∠Ａ+∠ABＣ=1８0°，?∴∠OBＣ+∠OCＢ=9０°+1/２∠A,

在△OBＣ中，∠OBC+∠ＯCB+∠BOC＝１80°，

∴９0°+1/２∠A+60°=１8０°,?解得∠Ａ=６0°.

故答案为：60°．

点评：本题考查了三角形内角和定理,角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质并准确识图理清各角度之间的关系是解题的关键,要注意整体思想的利用.

例4.如图，在折纸活动中,小明制作了一张△AＢC纸片，点Ｄ、E分别是边AB、AC上,将△ＡＢC沿着ＤE折叠压平,A 与Ａ′重合,若∠Ａ=７5°，则∠1＋∠2=（）

A.150°Ｂ．21０°C．105°D.75°

分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE,(后面章节内容,可以解释为折叠重合即全等)∠ＡEＤ=∠A′ＥD，∠ＡDE＝∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED＋∠ADE及∠A′ED+∠Ａ′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．

解:∵△A′DE是△ABC翻折变换而成,

∴∠AEＤ=∠A′ＥＤ，∠ADＥ＝∠A′DE,∠A=∠A′＝75°，

∴∠ＡED+∠AＤE=∠A′ED＋∠A′DＥ=１８0°-７5°=1０5°,

∴∠1+∠2=360°-2×１05°=１５0°.

故选A．

点评:本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化,对应边和对应角相等．

例5.小明在计算一个多边形的内角和,求得的内角和为2220°,经过检查发现少加了一个内角，请问这个内角为多少度？这个多边形是几边形?

考点：多边形内角与外角．

分析：根据多边形的内角和公式(n-2）?1８0°,用2220除以18０,商就是n－２，余数就是加上的那个外角的度数.进而可以算出这个多边形的边数.

解答：解：2220÷18０=１２…60，

则边数ｎ＝15,?这个内角的度数是：１8０°-6０°=120°.

故这个内角为１２0度,这个多边形是１５边形.

点评：本题考查多边形内角和公式的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系.

三.专题过关:

1.如果三角形的两边长分别为３和5,第三边长是偶数，则第三边长可以是( )

A．2 Ｂ.3 C.4 D．8

分析：根据三角形三边关系,可令第三边为Ｘ,则５-3＜Ｘ＜5＋3,即2＜X＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是４,６．问题可求．

解:由题意,令第三边为Ｘ,则5-3<Ｘ＜5+3,即2＜X＜8，

∵第三边长为偶数,∴第三边长是4或6．

∴三角形的三边长可以为3、5、４.

故选：C．

点评:此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键.

2．.如图,在△ABＣ中，∠ＡBC的平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点Ｐ,∠A=6０°,点则∠P＝__＿30°_＿___.

3.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ )Ａ

A.165°B．120°?Ｃ．150°Ｄ．１３5°

4.如图,在Ｒt△AＣB中,∠ＡCB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rｔ△ＡBC沿ＣD折叠,使B点落在AＣ边上的B′处,则∠ADB′等于( ）D

A．25°B．30°C．35°D．40°

∵在Ｒt△ACB中,∠ACＢ=90°，∠A＝25°, ∴∠B＝9０°﹣25°=6５°∵△CＤB′由△CDＢ反折而成,∴∠ＣB′Ｄ=∠Ｂ=６5°,∵∠CB′D是△AB′Ｄ的外角∴∠ADB′＝∠CＢ′Ｄ﹣∠Ａ=6５°﹣2５°＝4０°.故选D．

5.如图，△ABC中,若∠A＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC=１30°

解:在△ABC中,∵∠A＝8０°, ∴∠ABC+∠ＡCB＝18０°-80°=1００°.?又∵O为三条角平分线的交点∴∠OBC+∠OCＢ=1/2∠ABC+１/2∠ACB=1/2×１00°=50°.?在三角形ＯBC中,∠BO Ｃ＝１８0°-（∠OBC+∠OCB）=130°．

四、学法提炼

1．熟记三角形的内角和定理、外角和定理，并能灵活应用。

一、定位测试：＜建议用时5分钟！＞

(2012?南通)如图，△ABC中，∠Ｃ＝7０°，若沿图中虚线截去∠C，则∠１+∠2=（)

A．360°Ｂ.2５０°C.１8０°D.140°

分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠１＋∠2＝∠Ｃ+(∠C+∠3＋∠４)，根据三角形内角和定理即可得出结果.

解:∵∠1、∠2是△CDＥ的外角，∴∠１=∠4＋∠C，∠2=∠３+∠C，

即∠1+∠2=∠C+（∠Ｃ+∠3+∠4）=7０°＋180°＝2５0°．故选Ｂ．

二、能力培养

例１．已知a，ｂ,c为△ABC的三条边，化简得________＿.?分析：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论.

解答∵a,ｂ，c为△ＡBＣ的三条边∴a-b－c＜0， b-a-c<0

∴＝（b+c－ａ）+(a+c-b)=２c．

例2.已知三角形两边的长分别是３和6，第三边的长是方程x2－6x+８=0的根,解得x1＝2或x2=4,则这个三角形的周长等于（)

A.13 B．1１ C.1１或13 Ｄ．12或15

分析:首先从方程x2-６x+8=0中，确定第三边的边长为２或4;其次考查2,3，6或4，3,６能否构成三角形，从而求出三角形的周长.