九年级上册一元二次方程专题练习(解析版)

九年级上册一元二次方程专题练习（解析版）

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．

【答案】（1）k ＞

34；（2 【解析】

【分析】

（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，

利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，

∴k ＞34

； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，

设方程的两个根为m ，n ，

∴m ＋n ＝5，mn ＝5，

=

=. 【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

2．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．

（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012

年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的

汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011

年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．

【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%

（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆

【解析】

【分析】

（1）设年平均增长率x，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．

（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．

【详解】

解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．

根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2

解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．

（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为

（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．

根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，

解得y≤20．

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．

3．已知二次函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

①求a的值；

②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax+b的最大值及最小值；

【答案】①a的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9

【解析】

【分析】

①根据题意解一元二次方程即可得到a的值；

②根据a≤x≤b，b＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y＝﹣4x﹣3，根据函数的性质当x＝﹣4时，函数取得最大值，x＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.

【详解】

解：①∵y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

∴4＝9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，

解得，a1＝﹣2，a2＝﹣4，

∴a的值是﹣2或﹣4；

②∵a≤x≤b，b＝﹣3

∴a＝﹣2舍去，

∴a＝﹣4，

∴﹣4≤x ≤﹣3，

∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，

∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，

∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13

x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.

【点睛】

此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.

4．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.

（1）求k 的取值范围；

（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-

，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-

34 ；（2）k=﹣1 【解析】

试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；

（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.

试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，

∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．

∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．

解得k ＜-34

； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．

则x 1+x 2=2k-1，x 1?x 2=k 2+1，

∵=== 32

-， 解得：k=-1或k= 13

-（舍去），

∴k=﹣1

5．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，

D 、

E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．

（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；

（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答：

①∠FCD的最大度数为；

②当FC∥AB时，AD= ；

③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;

④△FCD的面积s的取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.

（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.

②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.

③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.

④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.

∵CD=10，∴AD=2.

（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.

∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."

② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，

∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.

∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.

∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，

由②知DH=3，FH=，则HC=.

在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.

∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，

∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.

而，

当时，；当时，.

∴△FCD的面积s的取值范围是.

考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．

（1）求点D的坐标．

（2）求直线BC的解析式．

（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）D（4，7）（2）y=39

44

x （3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方

形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；

（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．

试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

∵OA＞OB，

∴OA=4，OB=3，

过D作DE⊥y于点E，

∵正方形ABCD，

∴AD=AB，∠DAB=90°，

∠DAE+∠OAB=90°，

∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠ABO=∠DAE，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°=∠AOB，

∵DE⊥AE

∴∠AED=90°=∠AOB，

∴△DAE≌△ABO（AAS），

∴DE=OA=4，AE=OB=3，

∴OE=7，

∴D（4，7）；

（2）过点C作CM⊥x轴于点M，

同上可证得△BCM≌△ABO，

∴CM=OB=3，BM=OA=4，

∴OM=7，

∴C（7，3），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），

代入B（3，0），C（7，3）得，，

解得，

∴y=x﹣；

（3）存在．

点P 与点B 重合时，P 1（3，0），

点P 与点B 关于点C 对称时，P 2（11，6）．

考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数

7．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣

（2k +1）x +4（k ﹣

12

）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．

【解析】

【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．

【详解】

当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ??-++-= ??

? 解得：52k =

当52

k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，

∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；

当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣

12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32

， ∴b +c ＝2k +1＝4．

∵b+c＝4＝a，

∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．

∴△ABC的周长为10．

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．

8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形．

探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．

因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，

所以EF＝FG＝GH＝HE2EB＝x，则BF2﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC

∴BF＝AE2﹣x

在Rt△AEB中，由勾股定理，得

x2+2﹣x）2＝12

2

解得，x1＝x2

∴BE＝BF，即点B是EF的中点．

同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．

所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍

探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）

探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）

探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）

【答案】不存在，详见解析

【解析】

【分析】

探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解

答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．

【详解】

探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，

所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴BF=AE﹣x，

在Rt△AEB中，由勾股定理，得，

x2+x）2=12，

整理得x2x+1=0，

b2﹣4ac=3﹣4＜0，

此方程无解，

不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；

探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，

所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴BF=AE=2﹣x，

在Rt△AEB中，由勾股定理，得，

x2+（2﹣x）2=12，

整理得2x2﹣4x+3=0，

b2﹣4ac=16﹣24＜0，

此方程无解，

不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，

故答案为不存在；

探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，

所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴BF=AE﹣x，

在Rt△AEB中，由勾股定理，得，

x2+﹣x）2=12，

整理得2x2﹣+n﹣1=0，

b2﹣4ac=8﹣4n＜0，

此方程无解，

不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．

9．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程

2

(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216

k k k -+-的值． 【答案】0.

【解析】

【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．

【详解】

解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2

则12123940x x x x a a +-????-≥?

＝＝＝ ， 由条件，知121212

11x x x x x x ++==3， 即

33a -=，且94

a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，

Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106

k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178

k ≤， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216

k k k -+-无意义. 综上，代数式2216

k k k -+-的值为0 【点睛】

本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，

10．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以

供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

【答案】（1）10%；（2）方案②

【解析】

试题分析：首先设下调的百分率为x，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．

试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1-x）2=3240

解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去）

答：平均每次下调的百分率是10%．

（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-

100×80=316000元

∵317520＞316000 ∴方案②更优惠

考点：一元二次方程的应用