(完整word版)根轨迹习题答案

第四章 根轨迹法习题及答案

4-1 系统的开环传递函数为

)

4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *

+++=

试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。

解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件

π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。

对于31j s +-=，由相角条件

=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0

=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(

ππ

π

π

-=-

-

-

6

3

2

满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件：

14

3j 123j 113j 1K s H )s (G *

11=++-?++-?++-=

）（

解出 ： 12K *

= ， 2

3

8K K *==

4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++=

（2）)

b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=

解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()

4s (b 20

s 4s )4s (b )s (G 2

-++++=+++=

' 28

s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+=

Φ

(2) )

10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2

2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )

19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40

s 14s 4s )

4s (10)s (G 1)s (G )s (2

3++++=+=

Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)

b s )(4s (s

2)s (G ++=

，试绘制参数b 从零变

化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 )

6s (s )

4s (b )s (G ++=

'

根轨迹如图。 2s -=时4b =， )

8s )(2s (s

216s 10s s 2)s (2++=++=Φ

4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

⑴ )

1s 5.0)(1s 2.0(s k

)s (G ++=

(2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++=

(3) )

3s )(2s (s )

5s (k )s (G *+++= (4) )1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=

解 ⑴ )

2s )(5s (s K

10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=

三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]

5,-∞-, []0,2-

② 渐近线： ???

????ππ±=π+=?-=--=σ,33)1k 2(373520a a

③ 分离点：

02

d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为

0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=

令 ?

??=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[3

2 解得??

?==ω7

k 10

与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图所示。

⑵ )

2

1s (s 2)

1s (K )

1s 2(s )1s (K )s (G ++=

++=

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：

1

d 1

5.0d 1d 1+=

++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。 根轨迹如图所示。

⑶根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-

② 渐近线： ???

????±=+==----=22)12(02)5(320ππ?σk a a

③ 分离点：

5

1

31211+=

++++d d d d

用试探法可得

886.0-=d 。

根轨迹如图所示。

(4) 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：

2

d 1

1d 11d 1d 1++

+=-+ 求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。

4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )

101s .0)(102s .0(s k

)s (G ++=

要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。 解 (1) )

100s )(50s (s k

5000)1s 01.0)(1s 02.0(s k )s (G ++=++=

① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：

0100

d 150d 1d 1=++++ 求解得87.78d 13.21d 21-=-=，

③ 渐近线：o o

a a 1806050，

，±=?-=σ 根轨迹如图所示。

(2) 系统临界稳定时150k 750000k *

==， (3) 系统临界阻尼比时62.9k 5.48112k *==，

4-6 已知系统的开环传递函数为)

20s 8s (s k )s (H )s (G 2

*

++=，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值范围。

解 )

20s 8s (s K )s (H )s (G 2

++=*

① 实轴上的根轨迹： (]0,∞-

② 渐近线：

???

???

?ππ±=π+=?-=--++-+=σ,33)1k 2(3

83)2j 4()2j 4(0a a ③分离点：

02

j 4d 1

2j 4d 1d 1=-+++++ 解之得：33.3d ,2d -=-=。 ④与虚轴交点：*+++=k

s 20s 8s )s (D 2

3

把ω=j s 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：

?

??=ω-ω=ω=ω-=ω*020))j (D Im(0

8k ))j (D Re(3

2 解得：???==ω*0

k 0

?????=±=ω*

160

k 5

2

⑤起始角：

由相角条件

632p -=θ，

633p =θ。 根轨迹如图所示。

所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时，16k 8.14*

≤≤ 所以8.0k 74.0≤≤

4-7 单位反馈系统的开环传递函数为)1s 7

4()1s ()

1s 2(k )s (G 2-++=

，

试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值范围。

解 ：根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： []4/75.0，

- ② 渐近线：

???

???

?

π±=π+=?=--+--=σ22)1k 2(812)5.0(4/711a a

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

01k s )7

10

k 2(s 71s 74)s (D 23=-+-++=

把ω=j s 代入上方程，

令??

???=ω-ω-=ω=ω--=ω0

74)710K 2())j (D Im(0711K ))j (D Re(3

2

解得： ???==ω1

K 0

，

??

???=

±=ω79K 2 根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K 值范围为 79K 1<<。

4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。

2

2)

9s 4s (2s K )s (H )s (G +++=*）

（ 解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： []2,-∞-

② 渐近线：

???

???

?ππ±=π+=?-=--+---=σ,33)1k 2(323)2(5j 25j 2a a ③ 分离点：

2

d 1

5

j 2d 25

j 2d 2+=

-++

++ 解之得：29.3d -= 71.0d = (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

02s K )9s 4s ()s (D 22=++++=*

）（

把ωj s =代入上方程，

令?????=ω-ω+=ω=++ω-ω=ω**

8)K 72())j (D Im(0K 28134))j (D Re(3

24

解得： ??

?=±=ω*

96

K 21

⑤ 起始角： π+=?-θ-）（）（1k 29022901p

解出

135,4521p p -=θ=θ 根轨迹如图所示。

4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和T 为变化参数的根轨迹。 (1) )

1s (s )a s (4/1)s (G 2++=

，0

a >；(2) )1Ts )(11s .0(s 6

.2)s (G ++=，0T > 解 (1) 2

)

5.0s (s 4

/a )s (G +=

' ① 实轴上的根轨迹： )0(，

-∞ ② 渐近线：o o

a a 180603/1，

，±=?-=σ ③ 分离点：6/1d -= 根轨迹如图所示。

(2) 26

s 10s )

10s (Ts )s (G 22+++='

① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞ ② 起始角终止角：

o o p 11o 180)90(5

1

tg )51tg 180(2=+θ-+---

解得起始角o p 7.78±=θ o 11

o

z 180)5

1

tg 51tg

(02=+--+θ-- 解得终止角o

z 90±=θ 根轨迹如图所示。

4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值范围及系统稳定时k 的值。

)

18s ()1s ()

1s (k )s (H )s (G 2+-+=

* 解

① 实轴上的根轨迹： ]118[--， ② 分离点：22.4d 1-=，28.6d 2-=

③ 渐近线：5.7a -=σ，o a 90±=?

④ 与虚轴交点：j 86.1s 2,1±=，7.37k *

=

根轨迹如图所示。

6.116k d *1=处，6.117k d *2=处，18/k k *=

结论：53.6k 48.6<<时所有根为负实根，095.2k >时系统稳定。

4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析参数T 的变化对系统动态性能的影响。

解：s

20s Ts 100

)s (G 23++=

作等效开环传递函数3

2*

s )

100s 20s (T 1)s (G ++=

根轨迹绘制如下： （注意：)T /1k *

= ① 实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10- ② 分离点：

10

d 2

d 3+=

解得30d -=。 根据幅值条件，对应的015.0T =。 ③ 虚轴交点：闭环特征方程为

0100s 20s Ts )s (D 23=+++=

把ω=j s 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

?????=ω-ω=ω=ω-=ω0

T 20))j (D Im(0

100))j (D Re(3

2

解得： ?

??=±=ω2.0T 10

④ 起始角：?=θ601p

参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！)

从根轨迹图可以看出，当015.0T 0≤<时，系统阶跃响应为单调收敛过程；2.0T 015.0<<时，阶跃响应为振荡收敛过程；2.0T >时，有两支根轨迹在s 右半平面，此时系统不稳定。

若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：

100

s 20s Ts )s (G 23

++='

三条根轨迹中两条起于-10，一条起于∞-，均终止于原点

① 实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10- ② 分离点：

10

d 2

d 3+=

解得30d -=。 其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为3个开环零点，根轨迹方向与图中一样。

4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹(0k *

>)。

解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。

① 实轴上的根轨迹：[]2,-∞-,[]+∞-,1 ② 分离点：

1

d 1

2d 3+=

+ 解得 5.0d -= ③ 起始角：根据相角条件，

∑∑==π=θ

-?n

1

j j

m 1

i i k 2

得

601p =θ，

602p -=θ，

1803p =θ。 根轨迹如图所示。

4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为)

2s (s )

s 1(k )s (G +-=*，试绘制其根轨迹，并求出

使系统产生重实根和纯虚根的*

k 值。

解 由开环传递函数的表达式知需绘制

0根轨迹。 ① 实轴上的根轨迹： [],0,2- ),1[∞+； ② 分离点：

1

d 1

2d 1d 1-=

++ 解得：732.0d 1-= , 732.2d 2= 将732.0d s 1-==, 732.2d s 2==代入幅值条件得：

54.0K 1d =*, 46.7K 2d =*

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

0)s 1(K )2s (s )s (D =-++=*

把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

?????=ω-=ω=+ω-=ω*

*

)K 2())j (D Im(0

K ))j (D Re(2 解得： ???==ω*0K 0

???=±=ω*

2

K 41

.1 根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的*

K 为0.54，7.46，产生纯虚根的*

K 为2。