2006年高考.全国Ⅰ卷.理科数学试题及详细解答

2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()

1n k

n n P k C P P -=-

球的表面积公式2

4S R π=，其中R 表示球的半径球的体积公式34

V R π=

，其中R 表示球的半径一、选择题

⑴、设集合{}

20M x x x =-<，{}

2N x x =<，则 A ．M N =? B ．M N M = C ．M

N M = D ．M

N R =

⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =

A ．14-

B ．4-

C ．4

D ．14

⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =

A ．1

B ．1-

D ．

⑸、函数()tan 4f x x π?

?=+ ??

?的单调增区间为

A ．,,22k k k Z ππππ?

?-+∈ ??

? B ．()(),1,k k k Z ππ+∈

C ．3,,44k k k Z ππππ??-+∈ ???

D ．3,,44k k k Z ππππ?

?-+∈ ???

⑹、ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，

且2c a =，则cos B =

A ．

14 B ．3

C ．4

D ．3

⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的

表面积是

A ．16π

B ．20π

C ．24π

D ．32π

⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．

43 B ．7

C ．85

D ．3

⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则

A ．1230b b b -++=

B ．1230b b b -+=

C ．1230b b b +-=

D ．1230b b b ++=

⑽、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则

111213a a a ++=

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75

⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为

A ．2

B ．2

C ．2

D ．220cm ⑿、设集合{}1,2,3,4,5I =。选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的

数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有

A．50种 B．49种 C．48种 D．47种

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．本卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。

⒀、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为成的二面角等于_______________。

⒁、设2z y x =-，式中变量x y 、满足下列条件

21x y -≥-

3223x y +≤ 1y ≥

则z 的最大值为_____________。

⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）

⒃、设函数())

()cos

0f x ??π=+<<。若()()/f x f x +是奇函数，则

?=__________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

⒄、（本小题满分12分）

ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2

B C

A ++取得最大值，并求出这个最大值。

⒅、（本小题满分12分）

A 、

B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲

类组。设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为1

。

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望。

⒆、（本小题满分12分）

如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==。

（Ⅰ）证明AC ⊥NB ；

（Ⅱ）若60O ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。

⒇、（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，有一个以

()10,3F -和()

20,3F 为焦点、离心率为

的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。求：

（Ⅰ）点M 的轨迹方程；（Ⅱ）OM 的最小值。（21）、（本小题满分14分）已知函数()11ax

x f x e x

-+=

-。

（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；

（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。（22）、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项的和

1412

2333n n n S a +=-?+， ,3,2,1n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；

（Ⅱ）设2n

n n T S =， ,3,2,1n =，证明：1

32n

i i T =<∑

1．解：{}2

0M x x x =-<={|01}x x <

<，{}2N x x =<={|22}x x -<<，

∴ M

N M =，选B.

2．解：函数x

y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，所以()f x 是x

y e =的反函数，即

()f x =ln x ，∴ ()2ln 2ln ln 2(0)f x x x x ==+>，选D.

3．双曲线22

1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2

214

x y -+=，

∴ m=1

，选A. 4．复数2

()(1)m i mi ++=(m 2－m)+(1+m 3)i 是实数，∴ 1+m 3=0，m=－1，选B. 5．函数()tan 4f x x π??

的单调增区间满足2

k x k π

π-

，

∴ 单调增区间为3,,44k k k Z ππππ??

+∈ ??

，选C. 6．ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ，

222cos 2a c b B ac +-==2222

42344

a a a a +-=，选B. 7．正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为26，∴ 球的半径为6，球的表面积是24π，选C.

8．设抛物线2

y x =-上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4380x y +-=的距离为

2|438|5

m m --，当m=32时，取得最小值为4

3，选A.

9．向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。向量1a 、2a 、3a 顺时针旋转30?后与1b 、2b 、

3b 同向，且2i i b a =，∴ 1230b b b ++=，选D.

10．{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则2

5a =，

13(5)(5)16a a d d =-+=，∴ d=3，1221035a a d =+=，111213a a a ++=105，

选B.

11．用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面

积为2

，选B.

12．若集合A 、B 中分别有一个元素，则选法种数有2

5C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有3

5C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有4

5C =5种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有5

5C =1种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有3

5C =10种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个个元素，则选法种数有4

5C =5种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有5

5C =1种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有4

5C =5种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有5

5C =1种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有5

5C =1种；总计有49种，选B.

解法二：集合A 、B 中没有相同的元素，且都不是空集，

从5个元素中选出2个元素，有2

5C =10种选法，小的给A 集合，大的给B 集合；从5个元素中选出3个元素，有35C =10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有2×10=20种方法；

从5个元素中选出4个元素，有45C =5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有3×5=15种方法；

从5个元素中选出5个元素，有55C =1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，

较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；

总计为10+20+15+4=49种方法。选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。

13. π3 14. 11 15. 2400 16. π6

13．正四棱锥的体积为12

，底面对角线的长为，底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=3, ∴ 二面角等于

。 14．2132231x y x y y -≥-??

+≤??≥?

，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别

是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC 中满足2z y x =-的最大值是点C ，代入得最大值等于11.

15．先安排甲、乙两人在后5天值班，有2

5A =20种排法，其余5人再进行排列，有5

5A =120种排法，所以共有20×120=2400种安排方法。 16

．

'())f x ?=+，

则()()/

f x f x +

=))2sin()6

???+-+=--，为奇

函数，∴ φ=6

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解: 由A+B+C=π, 得B+C 2 = π2 －A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A

2 .

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A

=－2(sin A 2 － 12)2+ 3

当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3

18.解: (1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小鼠有i 只" , i=0,1,2, B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小鼠有i 只" , i=0,1,2, 依题意有: P(A 1)=2×13×23 = 49, P(A 2)=23 ×23 = 49 . P(B 0)=12 ×12 = 14,

P(B 1)=2×12 ×12 = 1

2 , 所求概率为: P=P(B 0·A 1)+P(B 0·A 2)+P(B 1·A 2)

= 14×49 + 14×49 + 12×49 = 4

(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,49) . P(ξ=0)=(59)3= 125729 , P(ξ=1)=C 31×49×(59)2=100243

, P(ξ=2)=C 32×(49)2×59 = 80243 , P(ξ=3)=( 49)3= 64

729

ξ的分布列为:

数学期望: E ξ=3×49 = 4

19.解法一: (Ⅰ)由已知l 2⊥MN, l 2⊥l 1 , MN ∩l 1 =M, 可得l 2⊥平面ABN.由已知MN ⊥l 1 ,

AM=MB=MN,可知AN=NB 且AN ⊥NB. 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影. ∴AC ⊥NB

（Ⅱ）∵Rt △CAN ≌Rt △CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC 为正三角形.

∵Rt △ANB ≌Rt △CNB, ∴NC=NA=NB,因此N 在平面ABC 内