解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题

考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、

定点问题

解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2

=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和

β，当α、β变化且α+β=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

例2．已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为3，以原点为圆心，

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；

⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．

【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，(

)

3,0F 的距离之和是4，点M 的轨

迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．

【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、

),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足42

=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设3

,221=

=x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

【针对性练习3】已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．

例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

4x y =的焦点，离心率5

e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值围；（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N

三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

二、定值问题

在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。

例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线。

（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明2

2μλ+为定值。

例5、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2

，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（1）求椭圆C 的方程；

（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

将第二问的结论进行如下推广：

结论 1.过椭圆2

1(0,0)x y a b

a b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于

E 、

F 两点，则直线EF 的斜率为定值20

b x a y （常数）。

结论 2.过双曲线2

1(0,0)x y a b

a b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆

于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值

b x a y （常数）。结论3.过抛物线2

2(0)y

px p

上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两

点，则直线EF 的斜率为定值

y （常数）。

例6、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ；

(Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32y =

的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||

，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

例7、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点． (Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；

(Ⅱ)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．

例

8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x

1，离心率为

e =E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ?为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒

三、定直线问题

例9、设椭圆22

22:1(0)x y C a b

a b

+=>>

过点M ，且焦点为1(F （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足

AP QB AQ PB =

，证明：点Q 总在某定直线上

例10、已知椭圆C 的离心率e =

，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

四、其它定值问题

例11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>

右准线方程为3x =求双曲线C

的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆2

:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.

例12、己知椭圆122

22=+b

y a x （a >b >0）,过其中心O 的任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、

Q 1Q 2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切。

探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则22B A

1=+b

a x ，原点O 到直线22B A 的距离为2

a a

b r

+=，

则与菱形2211B A B A 切的圆方程为2

b a b a y x +=+。

例13、已知P ),(00y x 是双曲线)0(2

≠=a a xy 上的一个定点，过点P 作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点（异于P 点），求证：直线P 1P 2的方向不变。

探索定值：取P ),(02

0x a x ，过P 点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线

与曲线的另一个交点),(0201x a x P --，其斜率2

1x a k PP = ∴2202

a x

k PP -= PP 2的方程为)(022

00x x a x y y --=-

把x a y 2

代入解得),(230304

x a P 22

021a x k P P =∴（定值）证明：设PP 1的斜率为k ，则PP 2的斜率为－

， ∴PP 1的方程为)(00x x k y y -=- PP 2的方程为)(1

00x x k

y y --

=-，与抛物2a xy = 联立解得),(0201y k a k y P --、 ),(0202ky a ky P ，从而22

20221a

x y a k P P ==（定值）

EX ：过抛物线y 2

=2px （P>0）上一定点（x 0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补，则AB 的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。

五、练习

1、椭圆中心在原点，焦点在x

轴上，离心率为

，三角形ABM 的三个顶点都在椭圆上，其中M 点为（1，1），且直线MA 、MB 的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB 的斜率是

定值。分析：（1）x 2+2y 2

=3 （2）12

2、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.（Ⅰ）若线段AB

中点的横坐标是1

，求直线AB 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使?为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：M （73-，0） 4

3、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx （m>0）于A 、B 两点，若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ，若其中Q 点坐标为（-4，0），原点O 为PQ 中点。（1）证明：A 、P 、B 三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x 轴的直线l ‘，使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l ’的方程。分析：设点AB 的坐标（2）l ：x=3.

4、已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A 、B ，且四边形F1AF2B

是边长为2的正方形。（1）求椭圆的方程。（2）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD,连结CM 交椭圆于点P ，证明：OM OP 为值。（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标。

分析：（1）22142

x y += （2）由O 、M 、P 三点共线，得

p m

p y y x =

+，所以OM OP =4 （3）设Q 点（a ，0），由0QM DP =，得a=0.

5、设P 为双曲线22

221(,0)x y a b a b

-=>上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦点，若12PF PF 的最小值

是-1

，双曲线的离心率是

。（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右焦点F2的直线交双曲线于A 、B 两点，过作右准线的垂线，垂足为C ，求证：直线AC 恒过定点。

分析：（1）2213x y -= （2）先猜再证：（74，0）1217144

y y x =--换掉x1代入韦达定理得证。方法二：

设AB ：ｘ＝ｍｙ＋２代入方程得：（ｍ２

－３）ｙ２

＋４ｍｙ＋１＝０

故1221224313m y y m y y m -?

+=??-??=

?-?

AC ：12213

()322y y y x y x -=

-+-=1212122113()21212

y y y y my y y x my my -----

++又2my 1y 2=-12（y1+y2）然后代入韦达定理得。

6、在平面直角坐标系xOy 中,Rt △ABC 的斜边BC 恰在x 轴上，点B(－2,0)，C （2，0），且AD 为BC 边上的高。

(I)求AD 中点G 的轨迹方程； (II)若过点(1,0)的直线l 与(I)中G 的轨迹交于两不同点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E(m,0)，使PE ·QE 恒为定值λ？若存在，求出点E 的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由。

分析：（1）221(0)4x y y +=≠ （2）m=178 定值为33

不容易先猜出，只能是化简求出。

7、已知直线l 过椭圆E ：2

22x y +=的右焦点F,且与E 相交于P ，Q 两点。（1）设1

()2

OR OP OQ =

+，求点R 的轨迹方程。（2）若直线l 的倾斜角为60?，求

11||||PF QF +的值。（当l 的倾斜角不定时，可证11

||||

PF QF +是定值。）

分析：22

20x y x +-= （2）可先猜再证

解析几何中的定点定值问题

考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。四、

定点问题

例1、已知A 、B 是抛物线y 2

=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。解析：设A （

121

,2y p y ），B （222

,2y p

y ），则 2

12tan ,

2tan y p

y p

==βα，代入1)tan(=+βα

得2

21214)(2p y y y y p -=+ （1）又设直线AB 的方程为b kx y +=，则

022222

=+-????=+=pb py ky px

y b

kx y ∴k

y y k

y y 2,22121=

，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p

说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．【2010·东城一模】已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>

，以原点为圆心，椭圆的

短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；

⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值围；

⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．

解析：

⑴由题意知c e a ==2222

2234c a b e a a -===

，即224a b =

，又因为1b ==，所以22

4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214

x y +=．

⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22

(4)14

y k x x y =-???+=??消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=，由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<，又0k =不合题意，

所以直线PN

的斜率的取值围是0k <<

或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21

2221

()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221

()

y x x x x y y -=-

+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②

由得①2212122232644

,4141k k x x x x k k -+==

++代入②整理，得1x =，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．

【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M

到点()1,0F

，)

,0F 的距离之和是4，点M 的轨

迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；

⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．

解：⑴∵点M

到(),0

，)

,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x

轴上焦中为的椭圆，其方程为2

214

x y +=．

⑵将y kx b =+，代入曲线C

的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y

，则12x x +=，12

14x x k =+ ②

且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ?=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．

将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6

5b k =．经检验，

都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ?

?=+=+ ??

?．

显然，此时直线l 经过定点6,05??

- ???点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点

6,05??

- ???

点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、

),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设3

,221=

=x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。

解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。

由42

2=-PB PF ，得2

(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92

x =

。故所求点P 的轨迹为直线92

x =。（2）将31,221=

=x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209

-）直线MTA 方程为：03

52303

y x -+=

+-，即113y x =+，直线NTB 方程为：03

2010393

y x --=

---，即5562y x =-。

联立方程组，解得：7103x y =??

?=??

，

所以点T 的坐标为10(7,

。（3）点T 的坐标为(9,)m

直线MTA 方程为：

03093y x m -+=-+，即(3)12m

y x =+，

直线NTB 方程为：03093y x m --=

--，即(3)6

y x =-。分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠，解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、

222

3(20)20(,)2020m m

N m m --++。（方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222

2222

203(20)

202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。此时必过点D （1，0）；

当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

（方法二）若12x x =，则由2222

24033608020m m m m

--=++及0m >，得210m =，此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。

若12x x ≠，则210m ≠，直线MD 的斜率222

4010802403401

80MD

m m k m m m +==

---+，直线ND 的斜率222

201020360401

20ND

m m k m m

m -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。

【针对性练习3】（2011年石景山期末理18）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并

求出定点的坐标．

解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则

22222,

c b a b c =??=??=+?

解得

a b =???

=?? ∴ 椭圆C 的标准方程为 22

143

x y +=． …… 4分（Ⅱ）由方程组22

143x y y kx m

+=??=+? 消去y ，得

()

2223484120k x kmx m +++-=． …… 6分由题意△()(

)()2

84344120km k

=-+->，

整理得：2

340k m +-> ① ………7分设()()1122,,M x y N x y 、，则

122

834km

x x k

+=-+， 212241234m x x k -=+ ． ……… 8分由已知，AM AN ⊥，且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴

()()1212220x x y y --+=．

…… 10分

即 ()

()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，

也即 ()()22

222

412812403434m km k km m k k

--+?+-?++=++，整理得22

71640m mk k ++=．解得2m k =- 或 27

m =-

，均满足① ……… 11分当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；

当27k m =-

时，直线l 的方程为 27y k x ?

?=- ??

?，过定点2(,0)7，

故直线l 过定点，且定点的坐标为2

(,0)7

． ………… 13分

例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

4x y =

的焦点，离心率e =

椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。（I ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值围；（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N

三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

解法一：（I ）设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，由题意知1b =

5a =?=故椭圆方程为2215x y += （Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）代入2

215

x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-= 设1122(,),(,),A x y B x y 则22121222

20205

,5151

k k x x x x k k -+==++,12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=- 112212122121(,)(,)(2,),(,)∴+=-+-=+-+=--MA MB x m y x m y x x m y y AB x x y y

12212112(),()0,(2)()()()0+⊥∴+?=∴+--+-+=MA MB AB MA MB AB x x m x x y y y y

2222220420,(85)05151∴--=∴--=++k k m m k m k k 由280,0855

m k m m =>∴<<-， ∴当8

m <<时，有()MA MB AB +⊥成立。

（Ⅲ）在x 轴上存在定点5

(,0)2

N ，使得C 、B 、N 三点共线。依题意知11(,)C x y -，直线BC 的方程

为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则1211221

12121

()y x x y x y x x x y y y y -+=+=++

l 的方程为(2),y k x A =-、B 在直线l 上，

1221121211221212(1)(1)22()

(2),(2)()4()4-+--+∴=-=-∴==+-+-k x x k x x kx x k x x y k x y k x x k x x k k x x k

22205202255151202451

k k k k k k k k k k -?-?++=

=-+∴在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C B N 三点共线。解法二：（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤。设l 的方程为(2)(0),y k x k =-≠

代入2

215

x y +=，得2222(51)202050k x k k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x y 则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++ 121212122

4(4),()51

y y k x x y y k x x k ∴+=+-=--=-+ 21121212121222212(),||||,

()((2)()()()0,

(1)()240,(85)0

+⊥∴=-+=-∴+--++-=++--=∴--=MA MB AB MA MB x m y x x x m x x y y y y k x x m k m k m

888)0,05155(51k m k k k k ∴==-≠∴>++805

m ∴<< ∴当8

m <<时，有()MA MB AB +⊥成立。

（Ⅲ）在x 轴上存在定点5(,0)2

N ，使得C 、B 、N 三点共线。设存在(,0),N t 使得C 、B 、N 三点共线，则//CB CN ，

122111(,),(,)CB x x y y CN t x y =-+=-， 211112()()()0x x y t x y y ∴---+=

即211112()(2)()(4)0x x k x t x k x x ----+-=12122(2)()40x x t x x t ∴-+++=

2222205202(2)405151k k t t k k -∴-++=++，52t ∴=∴存在5

(,0)2

N ，使得C B N 三点共线。

五、

定值问题

例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线。（1）求椭圆的离心率；

（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明2

μλ+为定值。

解析：（1）设椭圆方程为122

22=+b y a x （a >b >0），A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) ，AB 的中点为N(x 0,y 0)，

∴???????=+=+112222222

1221b y a x b y a x ，两式相减及11212=--x x y y 得到0220x a b y -=，所以直线ON 的方向向量为),1(22a b -=，

∵ ON //，∴2231a

b =，即2

23b a =，从而得36=e

（2）探索定值因为M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OM =，此时0,

1==μλ，

∴122=+μλ

证明 ∵ 2

23b a =，∴椭圆方程为2

33b y x =+，又直线方程为c x y -=

∴ ???

?=+-=2

33b

y x c

x y 03364222=-+-b c cx x

∴ 2

2221218

3433,

3c b c x x c x x =-==+

又设M （x ，y ），则由OB

OA OM μλ+=得?

??+=+=212

1y y y x x x μλμλ，代入椭圆方程整理得

222212

2222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ

又∵ 2212133b y x =+，2

222233b y x =+，

032

9233)(34322

2221212121=+-=

++-=+c c c c x x c x x y y x x ∴

122=+μλ

例5、已知，椭圆C 过点A 3

(1,)2

，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

（1）求椭圆C 的方程；

（2） E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为

定值，并求出这个定值。

解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为

19114b b

+=+，解得23b =，2

34b =-（舍去）所以椭圆方程为22

143x y +=。（2）设直线AE 方程为：3

(1)2

y k x =-+，代入22143x y +=得 2223

(34)4(32)4()1202

k x k k x k ++-+--=

设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3(1,)2

A 在椭圆上，所以

223

4()12

2x 34F k k --=+，

2E E

y kx k =+- 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得

4()12

2x 34F k k +-=+， 3

2E E

y kx k =-++

所以直线EF 的斜率()21

F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++=

==--

即直线EF 的斜率为定值，其值为1

。将第二问的结论进行如下推广：

结论 1.过椭圆2

1(0,0)x y a b

a b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于

E 、

F 两点，则直线EF 的斜率为定值20

b x a y （常数）。

证明：直线AE 的方程为0

0()y

y k x

x ，则直线AF 的方程为0

0()y y k x

x ，

联立00()y

y k x

x 和2

1x y a

b ，消去y 可得 22

222

0()2()

()0a k

b x a k y kx a y kx a b

200112210

222

2222222200000

22222220

12222

12100200222

122122()

(,),(,),22,4,

4()(),

EF a k y kx E x y F x y x x a k b a k x a ky b x a k x a ky b x x x a k b a k b a ky x x a k b b kx y y k x x y k x x y a k b b x y y x x a 设则同理，由则直线的斜率为0.

结论 2.过双曲线2

1(0,0)x y a

b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆

于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值

b x a y （常数）。结论3.过抛物线2

2(0)y

px p

上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两

点，则直线EF 的斜率为定值

y （常数）。例6、【2010·市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ； (Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32y =

的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||

，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

解析：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，，由已知得

44,26a a c a c =?==?

+=?

，

解得，. 所以椭圆的标准方程为22

11612

y x +=. 离心率21.42e ==

(Ⅱ)(0,2),(0,1)F F ',设(,),M x y 由

MF e MF ||

='||

得

化简得223314150x y y +-+=，即22272

)()33

x y +-=（

故存在一个定点7(0,)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2

例7、【2010·师大附中第二次月考】已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点．

(Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；

解析：(Ⅰ) 设抛物线方程为2

2(0)y px p =≠，则抛物线的焦点坐标为(

,0)2p .由已知，22

=，即4p =，故抛物线C 的方程是28y x =．

(Ⅱ)设圆心(,)M a b (0a ≥)，点A 1(0,)y ，B 2(0,)y . 因为圆M 过点P(2，0)，则可设圆M 的方程为

2222()()(2)x a y b a b -+-=-+. 令0x =，得22440y by a -+-=.则122y y b +=，

1244y y a ?=-. 所以||AB ===，设抛物线C 的

方程为2

(0)y mx m =≠，因为圆心M 在抛物线C 上，则2

b ma =. 所以

||AB =由此可得，当4m =时，||4AB =为定值．故存在一条抛

物线2

4y x =，使|AB|为定值4.

例8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值

1，离心率为e

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过点()1,0作直线交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ?为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒

解析：（I ）设椭圆E 的方程为2222x y 1a b +=,

由已知得：a c 1

c a

?-=?

? 。。。。。2分

a c 1

??∴?

=??222

b a

c 1∴=-=∴椭圆E 的方程为22x y 12+=。。。。 3分（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则： 11221212

MP (x m,y ),MQ (x m,y ),MP MQ (x m)(x m)y y =-=-?=-?-+

2121212x x m(x x )m y y =-+++。。。。。 5分

①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y k(x 1)=-，则由22

x y 12y k(x 1)?+=???=-?

得222x 2k (x 1)20+--= 2

(2k 1)x 4k x (2k 2)0+-+-=221212224k 2k 2

x x ,x x 2k 12k 1

-+=?=++ 7分

222

121212122

k y y k (x 1)(x 1)k [x x (x x )1]2k 1

=--=-++=-+ 所以2222

2222k 24k k MP MQ m m 2k 12k 12k 1-?=-?+-+++2222(2m 4m 1)k (m 2)2k 1

-++-=

+ 9分对于任意的k 值，MP MQ ?为定值，所以222m 4m 12(m 2)-+=-，得5

m 4

=，

所以57

M(,0),MP MQ 416

?=-； 11分

②当直线l 的斜率不存在时，直线1212121

l:x 1,x x 2,x x 1,y y 2

=+===-

由5m 4=得7

MP MQ 16

?=-

综上述①②知，符合条件的点M 存在，起坐标为5

(,0)4

﹒ 13分

法二：假设存在点M(m,0)，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y ),则：1122MP (x m,y ),MQ (x m,y )=-=-

1212MP MQ (x m)(x m)y y ?=-?-+=2121212x x m(x x )m y y -+++….

5分

①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ty 1=+，

由22

x y 1

2x ty 1

?+=???=+?

得22(t 2)y 2ty 10++-=121222

2t 1y y ,y y t 2t 2--∴+=?=++ 7分 22221212212122

t 2t t 22t 2

x x (ty 1)(ty 1)t y y t(y y )1t 2t 2

--++-+=+?+=+++==++ 22

1212222t 2t 44

x x t(y y )2t 2t 2

-+++=++==

++ 22

2222t 24m 1MP MQ m t 2t 2t 2-+∴?=-+-+++2222(m 2)t 2m 4m 1t 2

-+-+=

+ 9分设MP MQ ?=λ则2222(m 2)t 2m 4m 1

t 2

-+-+=λ+

222(m 2)t 2m 4m 1(t 2)(m 2)t 2m 4m 120∴-+-+=λ+∴--λ+-+-λ=2

2m 202m 4m 120?--λ=?∴?-+-λ=??5m 4716?=??∴??λ=-??

5M(,0)4∴ 11分 ②当直线l 的斜率为0时，直线l:y 0=，由5

M(,0)4

得：

55257

MP MQ (2)()2441616

?=?=-=-

综上述①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为5

(,0)4

。。。。13分

六、定直线问题

例9、设椭圆2

22:1(0)x y C

a b a b

+=>>过点M ，且焦点为1(F

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足

AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上

解析： (1)由题意：

2222222

211c a b

c a b ?=?

?+=???=-?

，解得22

4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零。且

PA PB AQ

又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是

1141,11x y

x y λλλλ--=

-- （1） 2241,11x y

x y λλλλ

++==

++ （2）由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2

24,x y += 整理得 2

(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3）

222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)

(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-=

0,220x y λ≠+-=∵∴，即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上

例10、已知椭圆C

的离心率e =

解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()2222x y 1a b 0a b +=>>。 …………………

1分

∵a 2=

，c e a ==

c =222b a c 1=-=。 ……………… 4分

∴椭圆C 的方程为2

22x y 14

+=。 ……………………………………… 5分

（Ⅱ）取m 0,=

得P ,Q 1,?? ????，直线1A P

的方程是y =+ 直线2A Q

的方程是y =

交点为(1S .

…………7分,

若P 1,,Q ?? ????

，由对称性可知交点为(2S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。…………………8分

以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。事实上，由22

x y 1

4x my 1?+=???=+?

得

()

2my 14y 4,++=即()

22m 4y 2my 30++-=，

记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212

222m 3

y y ,y y m 4m 4--+==++。………… 9分

设1A P 与交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=++得1

016y y .x 2=+

设2A Q 与交于点00S (4,y ),''由

022y y ,42x 2'=--得2

022y y .x 2

'=-……… 10 12

00126y 2y y y x 2x 2'-=

+-()()()()1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=+-()()()

1212124my y 6y y x 2x 2-+=+- ()()

1212m 12m m 4m 40x 2x 2---++==+-，……12分 ∴00y y '=，即0S 与0S '重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。 13分

解法二：（Ⅱ）取m 0,=

得P ,Q 1,?? ????，直线1A P

的方程是y =+直线2A Q

的方程是y =

交点为(1S . ………………………………………… 7分

取m 1,=得()83P ,,Q 0,155??

- ???

，直线1A P 的方程是11y x ,63=+直线2A Q 的方程是1y x 1,2=-交点为()2S 4,1.

∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。 ……………8分

以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。事实上，由22

x y 1

4x my 1?+=???=+?

得

()

2my 14y 4,++=即

()2

4y 2my 30

++-=，记

()()

1122P x ,y ,Q x ,y ，则

121222

2m 3

y y ,y y m 4m 4

--+==++。………………9分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y y x 2,x 2=--消去y,得()()1212y y

x 2x 2x 2x 2+=-+-…

①以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明

126y 2y ,x 2x 2

=+-即证()()12213y my 1y my 3,-=+即证()12122my y 3y y .=+………………

②

∵

()1212226m 6m

2my y 3y y 0,m 4m 4

---+=

-=++∴②式恒成立。

这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。解法三：（Ⅱ）由22

x y 1

4x my 1?+=???=+?

得()22my 14y 4,++=即()

22m 4y 2my 30++-=。

记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则121222

2m 3

y y ,y y m 4m 4

--+=

=++。…………… 6分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y

y x 2,x 2

=-- ……

7分

由()()11

22y y x 2,x 2y y x 2,x 2?

=+?+???=-?-?

得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+- …………………

9分

即()()()()21122112y x 2y x 2x 2

y x 2y x 2++-=+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+--1221

2my y 3y y 23y y +-=+

112

211232m 2m 3y y m 4m 42

4.2m 3y y m 4--??

+-- ?++??==-??-+ ?+??

………………………………

12分

这说明，当

m 变化时，点S 恒在定直线:x 4

=上。………………

13分

五、其它定值问题

例11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>，右准线方程为3x =

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；