最新高考数学数列常考知识点及题型总结

最新高考数学数列常考知识点及题型总结

等差数列

知识要点

1．递推关系与通项公式

m n a a d n a a d d n a a d

m n a a d

n a a d

a a m n n n m n n n n --=--=

--=-+=-+==-+1

;

)1()()1(1

111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数）

即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

2．等差中项：

若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2

c a b

+=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。

3．前n 项和公式 2)(1n a a S n n += ； 2

)1(1d n n na S n -+= ),()(,)2

(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn

An n f S n d a n d S n n n +=+==-+=

是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

4．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*

∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。

⑵d m n a a m n )(-=-

⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

5．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列

②中项法：

)221*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列

③通项公式法：

),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列

④前n 项和公式法：

),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列

练习：1．等差数列{}n a 中，

)(3

1

,

1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

16

51203232)(32)

2(31

318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a

2．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。

解：0912129=-=S S S S ，

003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，

，

∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。

3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110

解：∵

，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为

10010=S ，前10项的和为10100=S

解

110

2210101001022

1029

101010011010100110-=-?++=∴+=--=∴=??+?∴）（又，S D S S S D D

4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知

001213123<>=S S a ，，

①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由。

d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n

解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=

3

724

3

08240

)82(213

)

(2132)

(137

24

07240

)72(63113131133-<<--<∴<+∴<+=+=+=->∴>+∴>+=d d d d a a

a a a S d d d a 从而又

②

最大。

，6677137612000130

)(6S a a a S a a S ∴><∴<=>+=

练习

一、 选择题

1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于（

A ）

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

151212

497=∴+=+a a a a a 解：

二、解答题

2． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，

①求通项n a ；②若n S =242，求n

解：d n a a n )1(1-+=

10221250

1930950

30111

2010+=∴?

??==∴???=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组， 由2

)1(1d n n na S n -+=，n S =242 舍去）

或解得(221124222

)1(12-===?-+∴n n n n n 3．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

1-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列

②求数列{}n a 的通项公式 ③设数列?

?????+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。 解：①∵1)1)(1(2

1-++=n n a n S []n

n n n n n n n n n n

n n n n a n a n na a n a n a n a n na a n a n S S a a n S )1()2()1(1

)2()1(1)1()1)(1()1)(2(2

11)1)(2(2

111212111111+-+=-+∴-+=+∴-+=++-++=

-=∴-++=∴+++++++++++整理得，

n

n n n n n a a a a a n a n +=∴++=+∴++++21212)

)(1()1(2 ∴数列{}n a 为等差数列。

②1)1(311-+==+n n a n na a ，

{}1

22

)1(3)1(2

2

5

1211212+=?-+=-+=∴=-∴=-=∴n n d n a a a a a a a n n 的公差为即等差数列 ③)

32)(12(111++=+n n a a n n 61)3

2131(21)32112171515131(2132112121<∈+-=+-+++-+-=∴??

? ??+-+=

*n n T N n n n n T n n 时，又当 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥61，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为6

1。 等比数列

知识要点

1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为)0≠q q ，（。

2． 递推关系与通项公式

m

n m n n n n

n q a a q a a qa a --+?=?==推广：通项公式：递推关系：111

3． 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2

，注：是成等比数列的必要而不充分条件。

4． 前n 项和公式 )1(11)1()1(111≠?????--=--==q q q a a q q a q na S n n n

5． 等比数列的基本性质，),,,(*

∈N q p n m 其中

①q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若反之不真！

②)(2

*+--∈?==N n a a a a a q m n m n n m

n

m n ，

③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。 ④ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化

①{}n a 是等差数列?{})10(≠>c c c n a ，是等比数列； ②{}n a 是正项等比数列?{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列； ③{}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列。

7． 等比数列的判定法 ①定义法：?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列； ②中项法：?≠?=++)0(22

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

③通项公式法：??=为常数）q k q k a n

n ,({}n a 为等比数列；

④前n 项和法：?-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。 练习：

1． 103107422222)(++++++=n n f 设

)

18(72

)18(72)18(72

)18(72

)()(43

1----∈+++*n n n n D C B A D n f N n ．．．．）

（等于，则

2． 已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则，70

猜想：{}n b 是等比数列，公比为21

。 证明如下：∵41

21412121-=-=++n n n a a b n

n n b a a 21

)41(21

41

)41(211212=-=-+

=--