函数重点难点突破

函数中恒成立，存在性问题

主干知识整合

1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．

2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：

(1)?x∈D，f(x)>C；(2)?x∈D，f(x)>g(x)；

(3)?x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C；

(4)?x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|.

3．不等式恒成立问题的处理方法

(1)转换求函数的最值

①若不等式A

②若不等式B>f(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上

B>f(x)max?f(x)的上界小于B.

(2)分离参数法

①将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式；

②求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值；

③解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围．

(3)转换成函数图象问题

①若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象上方；

②若不等式f(x)

探究点一?x∈D，f(x)>g(x)的研究

对于形如?x∈D，f(x)>g(x)的问题，需要先设函数y＝f(x)－g(x)，再转化为?x∈D，y min>0.

例1 已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x.

(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)求所有的实数a，使得对任意x∈[1,2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x＋1图象的下方．

【点评】在处理f(x)>c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值．

变式训练：已知f(x)＝x3－6ax2＋9a2x(a∈R)，当a>0时，若对?x ∈[0,3]有f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．

探究点二?x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C的研究

对于形如?x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C的问题，因为|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min，所以原命题等价为f(x)max－f(x)min≤C.

例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值．

【点评】在处理这类问题时，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f(x)在区间D上的函数差的最大值小于c，如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题．

探究点三?x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|的研究

形如?x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|这样的问题，首先需要根据函数f(x)的单调性去掉|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|中的绝对值符号，再构造函数g(x)＝f(x)－ax，从而将问题转化为新函数g(x)的单调性．

例3 已知函数f(x)＝x－1－a ln x(a∈R)．

(1)求证：f (x )≥0恒成立的充要条件是a ＝1；

(2)若a <0，且对任意x 1，x 2∈(0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4????

??

1x 1－1x 2，

求实数a 的取值范围．

【点评】 ?x 1，x 2∈D ，|f (x 1)－f (x 2)|≤a |x 1－x 2|等价为k ＝|f x 1 －f x 2 |

|x 1－x 2|

≤a ，再

进一步等价为f ′(x )≤a 的做法由于缺乏理论支持，解题时不可以直接使用．况且本题的第

(2)问不能把|f (x 1)－f (x 2)|≤4??????1x 1－1x 2转化为|f x 1 －f x 2 |????

?

?1x 1－1x 2≤4，所以这类问题还是需

要按照本题第(2)问的处理手段来处理．

规律技巧提炼

在处理恒成立问题时，首先应该分辨所属问题的类型，如果是关于单一变量的恒成立问题，首先考虑参数分离，如果不能参数分离或者参数分离后所形成函数不能够处理，那么可以选择分类讨论来处理；如果是关于两个独立变量的恒成立问题处理，只需要按照上探究点中所讲类型的处理方法来处理即可．

存在性问题

1．在代数综合问题中常遇到存在性问题．与恒成立问题类似，存在性问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、

函数与方程等思想方法．

2．存在性问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：

(1)?x∈D，f(x)>C；(2)?x∈D，f(x)>g(x)；

(3)?x1∈D，?x2∈D，f(x1)＝g(x2)；

(4)?x1∈D，?x2∈D，f(x1)>g(x2)．

3．存在性问题处理方法

(1)转换求函数的最值；(2)分离参数法；

(3)转换成函数图象问题；(4)转化为恒成立问题

探究点一?x∈D，f(x)>g(x)的研究

对于?x∈D，f(x)>g(x)的研究，先设h(x)＝f(x)－g(x)，再等价为?x∈D，h(x)max>0，其中若g(x)＝c，则等价为?x∈D，f(x)max>c. 例1 已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a 的取值范围

【点评】 解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离，由于ax 2>x 3＋10中x 2∈[1,4]，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论． 变式训练： 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋

a (其中a 为常数)．

(1)如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )有相同的极值点，求a 的值；

(2)设a >0，问是否存在x 0∈?

????

－1，a 3，使得

f (x 0)>

g (x 0)，若存在，

请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由

探究点二 ?x 1∈D ，?x 2∈D ，f (x 1)＝g (x 2)的研究

对于?x 1∈D ，?x 2∈D ，f (x 1)＝g (x 2)的研究，若函数f (x )的值域为

C 1，函数g (x )的值域为C 2，则该问题等价为C 1?C 2.

例2 设函数f (x )＝－13x 3－13x 2＋5

3x －4.

(1)求f (x )的单调区间；

(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a.若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x0)成立，求a的取值范围．

【点评】对于?x∈D，f(x)＝c要成立，c的取值集合就是函数f(x)的值域，

对于?x∈D，使得c＝g(x)，c应该属于g(x)的取值集合，所以函数f(x)的值域为g(x)的值域的子集．

探究点三?x1∈D，?x2∈D，f(x1)>g(x2)的研究

对于?x1∈D，?x2∈D，f(x1)>g(x2)的研究，第一步先转化为?x2∈D，f(x1)min>g(x2)，再将该问题按照探究点一转化为f(x1)min>g(x2)min.

例3 已知函数f(x)＝2|x－m|和函数g(x)＝x|x－m|＋2m－8.

(1)若方程f(x)＝2|m|在[－4，＋∞)上恒有惟一解，求实数m的取值范围；

(2)若对任意x1∈(－∞，4]，均存在x2∈[4，＋∞)，

使得f(x1)>g(x2)成立，求实数m的取值范围．

【点评】对于?x∈D，f(x)>c，可以转化为f(x)min>c；?x∈D，c>g(x)，可以转化为c>g(x)min，所以本问题类型可以分两步处理，转化为f(x)min>g(x)min.

1．对于恒成立问题或存在性问题常见基本类型为?x∈D，f(x)>c，可以转化为f(x)min>c；?x∈D，c>g(x)，可以转化为c>g(x)min，?x ∈D，c＝g(x)，可以转化为c∈{y|y＝g(x)}，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理．

2．对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题．

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