新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结-练习
第二章:实数
知识梳理
【无理数】
1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型:
(1)特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数,如:2-π,3π等;
(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如: 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。如:2-π是无理数 (4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π,
(5)开方开不尽的数,如:39,5,2等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:π)
3.有理数与无理数的区别:
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。 例:(1)下列各数:①、②……、③75-
、④π、⑤252.±、⑥3
2
-
、⑦……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有____;是无理数的有___。(填序号) (2)有五个数:…,…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】:
1. 定义:如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”,
读作,“根号a ”,其中,a 称为被开方数。例如32
=9,那么9的算术平方根是3,即39=。
特别规地,0的算术平方根是0,即00=,负数没有算术平方根
2.算术平方根具有双重非负性:(1)若a 有意义,则被开方数a 是非负数。(2)算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方
根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a ±
。
例:(1)下列说法正确的是 ( )
A .1的立方根是1±;
B .24±=;(
C )、81的平方根是3±; (
D )、0没有平方根; (2)下列各式正确的是( )
A 、981±=
B 、14.314.3-=-ππ
C 、3927-=-
D 、235=
-
(3)2)3(-的算术平方根是 。(4)若x x -+有意义,则=+1x ___________。
(5)已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32
=-+-b a ,求c 的取值范围。
(6)(提高题)如果x 、y 分别是4- 3 的整数部分和小数部分。求x - y 的值. 平方根:
1.定义:如果一个数x 的平方等于a ,即a x =2
,那么这个数x 就叫做a 的平方根;,我们称x 是a 的平方(也
叫二次方根),记做:)0(≥±=a a x
2.性质:(1)一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;
(2)0只有一个平方根,它是0本身; (3)负数没有平方根
例(1)若
x 的平方根是±2,则x= ;的平方根是 (2)当x 时,x 23-有意义。
(3)一个正数的平方根分别是m 和m-4,则m 的值是多少这个正数是多少
3. 的性质与22)0()(a a a ≥
(1)
77)0()2
2=≥=)如:(a a a (2)||2a a =中,a 可以取任意实数。如5|5|52== 3|3-|3-2
==)(
例:1.求下列各式的值
(1)27 (2)27-)( (3)
2
49-)(
2.已知1)12-=-a a (,那么a 的取值范围是 。
3.已知2<x <3,化简=-+|3|)-22x x ( 。 【立方根】
1.定义:一般地,如果以个数x 的立方等于a ,即x 3
=a,那么这个数x 就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)记
为3a ,读作,3次根号a 。如23=8,则2是8的立方根,0的立方根是0。
2.性质:正数的立方根的正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1,-1.
例:(1)64的立方根是???????????
(2)若9.28,89.233==ab a ,则b 等于??????????? (3)下列说法中:①3±都是27的立方根,②y y =33
,③64的立方根是2,④()4832
±=±。
其中正确的有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 【估算】
用估算法确定无理数的大小:对于带根号的无理数的近似值得确定,可以通过平方运算或立方运算并采用“夹
逼法”,即两边无限逼近,逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围,再确定十分位,百分位等小数部
分。
“精确到”与“误差小于”的区别:精确到1m ,是指四舍五入到个位,答案唯一;误差小于1m ,答案在其值左右1m 内都符合题意,答案不唯一。
方法点拨:解决此类问题的关键是依据平方根(立方根)及开平方(开立方)的定义,进而采取两边夹逼的办法求解。
例:估算下列各数的大小
(1))(误差小于1.0327 (2)
)(精确到1.0327 (3))(误差小于133453
用估算的方法比较数的大小
用估算法比较两个数的大小,一般至少有一个是无理数,且在比较大小时,一般先采用分析法,估算出无理数的大致范围,再作具体比较
当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论: (1)若a >b ≥0,则
b a (2)若a >b ,则3333b a b a 或
(3)若a 、b 都为正数,且a >b 时,则a 2
>b 2
例:通过估算比较下列各组数的大小 比较两个数的大小:
方法一:估算法。如3<10<4 方法二:作差法。如a >b 则a-b >0.
方法三:乘方法.如比较3362与的大小。 例:比较下列两数的大小
(1) 2
1
23-10与 (2)5325与 【实数】
定义:(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。
(2)实数也可以分为正实数、0负实数。 实数的性质:实数a 的相反数是-a ;实数a 的倒数是a 1
(a ≠0);实数a 的绝对值|a|=?
??<-≥)0()0(a a a a ,它的几何意义是:在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正数大
于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一 实数与数轴的关系:每个实数与数轴上的点是一一对应的
(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。 (2)数轴上的每个点都表示已个实数。 例:(1)下列说法正确的是( );
A 、任何有理数均可用分数形式表示 ;
B 、数轴上的点与有理数一一对应 ;
C 、1和2之间的无理数只有2 ;
D 、不带根号的数都是有理数。 (2)a ,b 在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是( )
A 、b a -
B 、ab
C 、b a +
D 、a b - (3)比较大小(填“>”或“<”). -
, 76______67,
215- 2
1
, (4)数 2,3-- 的大小关系是 ( ) A. 32-<-
B. 32-<<-
C. 23-<<-
D.
32-<-<(5)将下列各数:51,3,8,23---,用“<”连接起来;______________________________________。 (6)若2,3==b a ,且0 【二次根式】 定义:形如)(0≥a a 的式子叫做二次根式,a 叫做被开方数 注意:(1)从形式上看二次根式必须有二次根号“ ”,如9是二次根式,而9=3,3显然就不是二次根式。 (2)被开方数a 可以是数,也可以是代数式。若a 是数,则这个数必须是非负数;若a 是代数式,则这个代数式的取值必须是非负数,否则没有意义。 例:下列根式是否为二次根式 (1)3- (2)|| 3- (3)a - (4)3 2-- 二次根式的性质: 性质1:)0,0(.≥≥= b a b a ab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,运用这个性质也可以对 二次根式进行化简。 性质2: )0,0.( b a b a b a ≥= 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。 最简二次根式:被开方数中不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式。 例:1.化简: (1)1512? (2))0(2724≥b b a (3)x 94 2.计算: 32278115.041--+ 3 2 38116 13125.0?? ? ??-+- 3.已知:()()06 4.01,12173 2 -=+=-y x ,求代数式3245102y y x x ++- -的值。 6.(提高题)观察下列等式:回答问题: ①2111111112111122=+-+=++ ②6111212113 12112 2=+-+=++ ③121 1131311413112 2=+-+=++ ,…… (1)根据上面三个等式的信息,请猜想2 25 1 411++ 的结果; (2)请按照上式反应的规律,试写出用n 表示的等式,并加以验证。 课后练习 一、重点考查题型: 1.-1的相反数的倒数是 2.已知|a+3|+b+1 =0,则实数(a+b)的相反数 3.数-3.14与-Л的大小关系是 4.和数轴上的点成一一对应关系的是 5.和数轴上表示数-3的点A距离等于2.5的B所表示的数是 6.在实数中Л,-2 5 ,0, 3 ,-3.14, 4 无理数有个 7.一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是() (A)非负数(B)非正数(C)负数(D)正数 8.若x<-3,则|x+3|= 。 9.下列说法正确是() (A)有理数都是实数(B)实数都是有理数 (B)带根号的数都是无理数(D)无理数都是开方开不尽的数10.实数在数轴上的对应点的位置如图,比较下列每组数的大小:(1) c-b和d-a (2) bc和ad 二、考点训练: *1.判断题: (1)如果a为实数,那么-a一定是负数;() (2)对于任何实数a与b,|a-b|=|b-a|恒成立;() (3)两个无理数之和一定是无理数;() (4)两个无理数之积不一定是无理数;() (5)任何有理数都有倒数;() (6)最小的负数是-1;() (7)a的相反数的绝对值是它本身;() (8)若|a|=2,|b|=3且ab>0,则a-b=-1;() 2.把下列各数分别填入相应的集合里 -|-3|,21.3,-1.234,-22 7 ,0,-9 ,- 3-1 8 , - Л 2 ,8 , ( 2 - 3 )0,3-2, ctg45°,......中 无理数集合{}负分数集合{}整数集合{}非负数集合{} *3.已知1 4.下列各数中,哪些互为相反数哪些互为倒数哪些互为负倒数 -3, 2 -1, 3,- 0.3, 3-1, 1 + 2 , 31 3 互为相反数:互为倒数:互为负倒数: *5.已知x、y是实数,且(X- 2 )2和|y+2|互为相反数,求x,y的值6.a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2, 求|a+b| 2m2+1 +4m-3cd= 。 *7.已知(a-3b)2+|a2-4| a+2 =0,求a+b= 。 三、解题指导: 1.下列语句正确的是() A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数 C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数一定不是无理数。 2.和数轴上的点一一对应的数是() A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数 2.零是() A、最小的有理数 B、绝对值最小的实数 C、最小的自然数 D、最小的整数 4.如果a是实数,下列四种说法: (1)a2和|a|都是正数,(2)|a|=-a,那么a一定是负数, (3)a的倒数是1 a ,(4)a和-a的两个分别在原点的两侧,几个是正确的有个 *5.比较下列各组数的大小: (1) 3 2 3 12 (2)a 1 a 1 b 6.若a,b 满足|4-a 2|+a+b a+2 =0,则2a+3b a 的值是 *7.实数a,b,c 在数轴上的对应点如图,其中O 是原点,且|a|=|c| (1) 判定a+b,a+c,c-b 的符号 (2) 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8.数轴上点A 表示数-1,若AB =3,则点B 所表示的数为 9.已知x<0,y>0,且y<|x|,用"<"连结x ,-x ,-|y|,y 。 10.最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么 11.绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么 12.把下列语句译成式子: (1)a 是负数 ;(2)a 、b 两数异号 ;(3)a 、b 互为相反数 ; (4)a 、b 互为倒数 ;(5)x 与y 的平方和是非负数 ; (6)c 、d 两数中至少有一个为零 ;(7)a 、b 两数均不为0 。 *13.数轴上作出表示 2 , 3 ,- 5 的点。 四.独立训练: 1.0的相反数是 ,3-л的相反数是 ,3 -8 的相反数是 ;-л的绝对值是 , 0 的绝对值是 , 2 - 3 的倒数是 2.数轴上表示-3.2的点它离开原点的距离是 。 A 表示的数是-12 ,且A B =1 3 ,则点B 表示的数是 。 3 -3 3 ,л,(1- 2 )o ,-22 7 ,0.1313…,2cos60o , -3-1 ,1.0… (两1之间依次多一个0),其中无理数有 ,整数有 ,负数有 。 4. 若a 的相反数是27,则|a|= ;5.若|a|= 2 ,则a= 5.若实数x,y满足等式(x+3)2+|4-y|=0,则x+y的值是 6.实数可分为() A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数*7.若2a与1-a互为相反数,则a等于a= 8.当a为实数时,a2 =-a在数轴上对应的点在() A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧 *9.代数式 a |a| + b |b| + ab |ab| 的所有可能的值有个。 10.已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图 (1)比较a-b与a+b的大小 (2)化简|b-a|+|a+b| 11.实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示,其中|a|=|c| 试化简:|b-c|-|b-a|+|a-c-2b|-|c-a| *12.已知等腰三角形一边长为a,一边长b,且(2a-b)2+|9-a2|=0 。求它的周长。*13.若3,m,5为三角形三边,化简:(2-m)2-(m-8)2 1 / 4 北师大版八年级数学上册第二章实数测试题 一、选择题 1.在实数?1.414,√2,π, 3.1.4. ,2+√3,3.212212221…,3.14中,无理数的个数是( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.下列说法中 ①无限小数是无理数; ②无理数是无限小数; ③无理数的平方一定是无理数; 正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3.(?3)2的平方根是( ) A. ?3 B. 3 C. 3或?3 D. 9 4.若a 2=4,b 2=9,且ab >0,则a ?b 的值为( ) A. ±5 B. ±1 C. 5 D. ?1 5.64的立方根是( ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 6.√83的算术平方根是( ) A. 2 B. ±2 C. √2 D. ±√2 7.估算√19的值是在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8.下列四个数:?3,?√3,?π,?1,其中最小的数是( ) A. ?π B. ?3 C. ?1 D. ?√3 9.用计算器依次按键,得到的结果最接近的是( ) A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 10.实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是( ) 一、选一选(每小题3分,共30分) 1.下列实数2π,722 ,,39 ,21中,无理数的个数是( ) (A)2个 (B)3个(C)4个(D)5个 2.下列说法正确的是( ) (A )278的立方根是23± (B )-125没有立方根 (C )0的立方根是0 (D )-4)8(3=- 3.下列说法正确的是( ) (A )一个数的立方根一定比这个数小 (B )一个数的算术平方根一定是正数 (C )一个正数的立方根有两个 (D )一个负数的立方根只有一个,且为负数 4.一个数的算术平方根的相反数是312 -,则这个数是( ). (A)79 (B)349 (C)499 (D)949 5.下列运算中,错误的有 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 ①1251144251 =;②4)4(2±=-;③22222-=-=-;④21414 1161+=+ 6.下列语句中正确的是( ) (A)带根号的数是无理数 (B)不带根号的数一定是有理数 (C)无理数一定是无限不循环的小数 (D)无限小数都是无理数 7.下列叙述正确的是( ) (A)有理数和数轴上点是一一对应的 (B)最大的实数和最小的实数都是存在的 (C)最小的实数是0 (D)任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 8.2)25(-的平方根是 ( )(A)25 (B)5 (C)±5 (D)±25 的立方根与4的平方根的和是( )(A)-1 (B)-5 (C)-1或-5 (D)±5或±1 10.已知平面直角坐标系中,点A 的坐标是(2,-3),将点A 向右平移3个单位长度,然后向上平移33个单位长度后得到B 点,则点B 的坐标是( ) (A)(33,23) (B)(32,32+) (C)(34,32--) (D)(3,33). 二、 填一填(每小题3分,共30分) 11.9的平方根是________. 12.面积为13的正方形的边长为_______. 13.若实数a 、b 满足(a+b-2)2+032=+-a b 则2b-a+1的值等于______. 八年级数学单元测试试卷---第二单元《实数》大全 第二章 实数 2.1认识无理数 一、问题引入: 1、 和 统称有理数,它们都是有限小数和无限 (填循环或不 循环)小数。 2、(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b ,则b 应满足什么条件? (3)b 是有理数吗? 3、请你举出一个无限不循环小数的例子___________,并说出它的整数部分是 ,小数部分是 ,请指出它的十分位、 百分位、千分位……..。 4、 称为无理数,请举两个例子 。 二、基础训练: 1、2 8x =,则x _____分数,______整数,______有理数.(填“是”或“不是”) 2、在0.351,- 3 2 ,4.969696…,0,-5.2333,5.411010010001…,6.751755175551…中,不是有理数的数有_____ 。 3、长、宽分别是3、2的长方形,它的对角线的长可能是整数吗?可能是分数吗? _______ 个. 下图是由16个边长为1的小正方形拼成的,任意连结这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段,试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段. 四、课堂检测: 1、在下列实数-12,π,4,13,5中,无理数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2、下列说法正确的是( ) A .有理数只是有限小数 B .无理数是无限不循环小数 C .无限小数都是无理数 D .3 π 是分数 3、实数:3.14,π,0.315315315…, 7 22 ,0.3030030003…中,无理数有 _________ 个. 4、下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数? π 、0.351,-? ?69.4,3 2,3.14159,-5.2323332…,0、0.1234567891011112131…(小数部分由相继 的正整数组成)在下列每一个圈里,至少填入三个适当的数 . 5、(1)设面积为10的正方形的边长为x ,x 是有理数吗?说说你的理由。 (2)估计x 的值(结果精确到十分位),用计算器验证你的估计如果精确到百分位呢? 6、如图,是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形 边长是无理数的正方形有________个 7、如图,在△ABC 中,CD ⊥AB ,垂足为D ,AC =6,AD =5,问:CD 可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?北师大版八年级数学上册第二章实数测试题
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