计量经济学复习要点1

计量经济学复习要点

第1章 绪论

数据类型：截面、时间序列、面板 用数据度量因果效应，其他条件不变的概念 习题：C1、C2

第2章 简单线性回归

回归分析的基本概念，常用术语

现代意义的回归是一个被解释变量对若干个解释变量依存关系的研究，回归的实质是由固定的解释变量去估计被解释变量的平均值。

简单线性回归模型是只有一个解释变量的线性回归模型。 回归中的四个重要概念

1. 总体回归模型（Population Regression Model ，PRM)

t t t u x y ++=10ββ--代表了总体变量间的真实关系。

2. 总体回归函数（Population Regression Function ，PRF ）

t t x y E 10)(ββ+=--代表了总体变量间的依存规律。

3. 样本回归函数（Sample Regression Function ，SRF ）

t

t t e x y ++=10??ββ--代表了样本显示的变量关系。 4. 样本回归模型（Sample Regression Model ，SRM ）

t

t x y 10???ββ+=---代表了样本显示的变量依存规律。 总体回归模型与样本回归模型的主要区别是：①描述的对象不同。总体回归模型描述总体中变量y 与x 的相互关系，而样本回归模型描述所关的样本中变量y 与x 的相互关系。②建立

模型的依据不同。总体回归模型是依据总体全部观测资料建立的，样本回归模型是依据样本观测资料建立的。③模型性质不同。总体回归模型不是随机模型，而样本回归模型是一个随机模型，它随样本的改变而改变。

总体回归模型与样本回归模型的联系是：样本回归模型是总体回归模型的一个估计式，之所以建立样本回归模型，目的是用来估计总体回归模型。

线性回归的含义

线性：被解释变量是关于参数的线性函数（可以不是解释变量的线性函数） 线性回归模型的基本假设

简单线性回归的基本假定：对模型和变量的假定、对随机扰动项u 的假定（零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定） 普通最小二乘法（原理、推导）

最小二乘法估计参数的原则是以“残差平方和最小”。

Min 21?()n

i i

i Y Y =-∑

01

??(,)ββ： 1

1

2

1

()()

?()n

i

i i n i

i X

X Y Y X X ==--β=-∑∑ ，

01??Y X β=-β

OLS 的代数性质

拟合优度R 2

离差平方和的分解：TSS=ESS+RSS

“拟合优度”是模型对样本数据的拟合程度。检验方法是构造一个可以表征拟合程度的指标——判定系数又称决定系数。

（1）21SSE SST SSR SSR

R SST SST SST

-=

==-，表示回归平方和与总离差平方和之比；反映了样本回归线对样本观测值拟合优劣程度的一种描述； （2） 2[0,1]R ∈；

（3） 回归模型中所包含的解释变量越多，2R 越大！

改变度量单位对OLS 统计量的影响

函数形式（对数、半对数模型系数的解释）

（1）01???i i

Y X =β+β：X 变化一个单位Y 的变化 （2）01???ln ln i i Y X =β+β: X 变化1%，Y 变化1?β%，表示弹性。 （3）01???ln i i Y X =β+β：X 变化一个单位，Y 变化百分之1001?β （4）01???ln i i Y X =β+β：X 变化1%，Y 变化1?β%。 OLS 无偏性，无偏性的证明 OLS 估计量的抽样方差 误差方差的估计 OLS 估计量的性质

（1）线性：是指参数估计值0β和1β分别为观测值t y 的线性组合。 （2）无偏性：是指0β和1β的期望值分别是总体参数0β和1β。 （3）最优性（最小方差性）：是指最小二乘估计量0β和1β在在各种线性无偏估计中，具有最

小方差。

高斯-马尔可夫定理 OLS 参数估计量的概率分布

OLS 随机误差项μ的方差σ2的估计

2

^

22

()i

Var x

σβ=

∑2^

2

2

i

e n σ=

-∑

简单回归的高斯马尔科夫假定 对零条件均值的理解 习题：4、5、6；C2、C3、C4

第3章 多元回归分析：估计

1、变量系数的解释（剔除、控制其他因素的影响）

01122????i i i

Y X X =β+β+β 对斜率系数1?β的解释：在控制其他解释变量（X2）不变的条件下，X1变化一个单位对Y 的影响；或者，在剔除了其他解释变量的影响之后，X1的变化对Y 的单独影响！ 2、多元线性回归模型中

对随机扰动项u 的假定，除了零均值假定、同方

差假定、无自相关假定、

随机扰动与解释变量不相关假定、

正态性假定以外，还要求满足无多重共线性假定。

3、多元线性回归模型

参数的最小二乘估计式；参数估计式的分布性质及期

望、方差和标准误差；在基本假定满足的条件下，多元线性回归模型最小二

乘估计式是最佳线性无偏估计式。

最小二乘法 (OLS) 公式： Y ' X X)' (X ?-1=β

估计的回归模型:

的方差协方差矩阵：

残差的方差 ：

??Y =X β

+u β

?2??'u u n k -s =2?var(σ-1(X'X)β)

=

估计的方差协方差矩阵是：

拟合优度 遗漏变量偏误

多重共线性

多重共线性的概念

多重共线性的后果 多重共线性的检验 多重共线性的处理

习题：1、2、6、7、8、10；C2、C5、C6

第4章 多元回归分析：推断

经典线性模型假定 正态抽样分布

变量显著性检验，t 检验 检验β值的其他假设 P 值

实际显著性与统计显著性 检验参数的一个线性组合假设 多个线性约束的检验：F 检验

理解排除性约束 报告回归结果

习题：1、2、3、4、6、7、10、11；C3、C5、C8

第6章 多元回归分析：专题

测度单位对OLS 统计量的影响 进一步理解对数模型 二次式的模型 交互项的模型

2?var(s -1(X'X)β)

=

拟合优度

修正可决系数的作用和方法。

2

222

2()

111()(1)

()i i

i i e n k e n R Y Y n n k Y Y --=-=-----∑∑∑∑ 习题：1、3、4、7；C2、C3、C5、C9、C12

第7章 虚拟变量

虚拟变量的定义

如何引入虚拟变量：如果一个变量分成N 组，引入该变量的虚拟变量形式是只能放入N-1个虚拟变量

虚拟变量系数的解释

虚拟变量系数的解释：不同组均值的差（基准组或对照组与处理组） 以下几种模型形式表达的不同含义；

1）t

t t t u D X Y +++=210βββ：截距项不同； 2）t

t t t t u X D X Y +++=210βββ：斜率不同；

3）

t

t t t t t u X D D X Y ++++=3210ββββ：截距项与斜率都不同；

其中D 是二值虚拟变量，X 是连续的变量。 虚拟变量陷阱 虚拟变量的交互作用

习题：2、4、9；C2、C3、C6、C7、C11

第8章 异方差

异方差的后果 异方差稳健标准误 BP 检验

异方差的检验（White检验）

加权最小二乘法

习题：1、2、3、4；C1、C2、C8、C9

Eviews 回归结果界面解释表

2

i e n k

=

-∑∑

计量经济学复习题

第1章习题：C1、C2

第2章习题：4、5、6；C2、C3、C4

第3章习题：1、2、6、7、8、10；C2、C5、C6 第4章习题：1、2、3、4、6、7、10、11；C3、C5、C8 第6章习题：1、3、4、7；C2、C3、C5、C9、C12 第7章习题：2、4、9；C2、C3、C6、C7、C11 第8章习题：1、2、3、4；C1、C2、C8、C9

1、判断下列表达式是否正确2469

010*******, 1,2,,???, 1,2,,(), 1,2,,(), 1,2,,??(), 1,2,,i i i i i i i i i i i i i i y x i n

y x i n E y x x i n

E y x x i n E y x x i n

ββββββμββββ=+==+==++==+==+=0101010

101, 1,2,,???, 1,2,,??, 1,2,,???, 1,2,

,????, 1,2,,i i i i i i i i i i

i

i

i i

i y x i n y x i n y x i n y x i n y x i n

ββμββμββμβ

βμββμ=++==++==++==++==++=

2、给定一元线性回归模型：

t t t X Y μββ++=10 n t ,,2,1 =

（1）叙述模型的基本假定；

（2）写出参数0β和1β的最小二乘估计公式； （3）说明满足基本假定的最小二乘估计量的统计性质； （4）写出随机扰动项方差的无偏估计公式。 3、对于多元线性计量经济学模型：

t kt k t t t X X X Y μββββ+++++= 33221 n t ，，， 21=

（1）该模型的矩阵形式及各矩阵的含义； （2）对应的样本线性回归模型的矩阵形式； （3）模型的最小二乘参数估计量。

4、根据美国1961年第一季度至1977年第二季度的数据，我们得到了如下的咖啡需求函数的回归方程：

D D D P I P t t t t t t t

T Q 321'0097.0157.00961.00089.0ln 1483.0ln 5115.0ln 1647.02789.1?ln ----++-= (-2.14) (1.23) (0.55) (-3.36) (-3.74) (-6.03) (-0.37)

80.02=R

其中，Q=人均咖啡消费量（单位：磅）；P=咖啡的价格（以1967年价格为不变价格）；I=人均可支配收入（单位：千元，以1967年价格为不变价格）；P '

=茶的价格（1/4磅，以1967年价格为不变价格）；T=时间趋势变量（1961年第一季度为1，…，1977年第二季度为66）；D 1=1：第一季度；D 2=1：第二季度；D 3=1：第三季度。 请回答以下问题：

① 模型中P 、I 和P '

的系数的经济含义是什么？

② 咖啡的需求是否很有弹性？ ③ 咖啡和茶是互补品还是替代品？ ④ 你如何解释时间变量T 的系数？ ⑤ 你如何解释模型中虚拟变量的作用？ ⑥ 哪一个虚拟变量在统计上是显著的？ ⑦ 咖啡的需求是否存在季节效应？

5、为研究体重与身高的关系，我们随机抽样调查了51名学生（其中36名男生，15名女生），并得到如下两种回归模型：

h W 5662.506551.232?+-= （5.1）

t=(-5.2066) (8.6246)

h D W

7402.38238.239621.122?++-= (5.2) t=(-2.5884) (4.0149) (5.1613)

其中，W(weight)=体重 （单位：磅）；h(height)=身高 （单位：英寸）

??

?= 0

1

女生男生D

请回答以下问题：

① 你将选择哪一个模型？为什么？

② 如果模型（5.2）确实更好，而你选择了（5.1），你犯了什么错误？ ③ D 的系数说明了什么？

6、简述异方差对下列各项有何影响：（1）OLS 估计量及其方差；（2）置信区间；（3）显著性t 检验和F 检验的使用。(4)预测。

7、假设某研究者基于100组三年级的班级规模（CS ）和平均测试成绩（TestScore ）数据估计的OLS 回归为：

2520.4 5.82, 0.08,11.5

(20.4) (2.21)

TestScore CS R SER =-?== （1） 若某班级有22个学生，则班级平均测试成绩的回归预测值是多少？ （2） 某班去年有19个学生，而今年有23个学生，则班级平均测试成绩变

化的回归预测值是多少？

（3） 100个班级的样本平均班级规模为21.4，则这100个班级的样本平均

测试成绩是多少？

（4） 100个班级的测试成绩样本标准差是多少？（提示：利用R 2和SER 的

公式）

（5） 求关于CS 的回归斜率系数的95%置信区间。

（6） 计算t 统计量，根据经验法则（t=2）来判断显著性检验的结果。

8、设从总体中抽取一容量为200的20岁男性随机样本，记录他们的身高和体重。得体重对身高的回归为：

299.41 3.94, 0.81,10.2

(2.15) (0.31)

W eight Height R SER =-+?==

其中体重的单位是英镑，身高的单位是英寸。

（1） 身高为70英寸的人，其体重的回归预测值是多少？65英寸的呢？74

英寸的呢？

（2） 某人发育较晚，一年里蹿高了1.5英寸。则根据回归预测体重增加多

少？

（3） 解释系数值-99.41和3.94的含义。

（4） 假定不用英镑和英寸度量体重和身高而分别用厘米和千克，则这个新

的厘米-千克回归估计是什么？给出所有结果，包括回归系数估计值，R 2和SER 。

（5） 基于回归方程，能对一个3岁小孩的体重（假设身高1米）作出可靠

预测吗？

9、假设某研究使用250名男性和280名女性工人的工资（Wage ）数据估计出如下OLS 回归：

，Male 12.252.12G E A W ?+= 2.4SER 06.0R 2==，

（标准误）（0.23）（0.36）

其中WAGE 的单位是美元/小时，Male 为男性=1，女性=0的虚拟变量。用男性和女性的平均收入之差定义工资的性别差距。

（1）性别差距的估计值是多少？

（2）计算截距项和Male 系数的t 统计量，估计出的性别差距统计显著不为0吗？（5%显著水平的t 统计量临界值为1.96）

（3）样本中女性的平均工资是多少？男性的呢？

（4）对本回归的R 2你有什么评论，它告诉了你什么，没有告诉你什么？这个很小的R 2可否说明这个回归模型没有什么价值？

（5）另一个研究者利用相同的数据，但建立了WAGE对Female的回归，其中Female为女性=1，男性=0的变量。由此计算出的回归估计是什么？

2

=+?==

， R

Female SER

WAGE_______________________,_________

10、基于美国CPS人口调查1998年的数据得到平均小时收入对性别、教育和其他特征的回归结果，见下表。该数据集是由4000名全年工作的全职工人数据组成的。

其中：AHE=平均小时收入；College=二元变量（大学取1，高中取0）；Female 女性取1，男性取0；Age=年龄（年）；Northeast居于东北取1，否则为0；Midwest 居于中西取1，否则为0；South居于南部取1，否则为0；West居于西部取1，否则取0。

表1：基于2004年CPS数据得到的平均小时收入对年龄、性别、教育、地区的回归结果因变量：AHE(1)(2)(3)

回归变量

College(X1） 5.46 5.48 5.44

(0.21)(0.21)（0.21）Female(X2)-2.64-2.62-2.62

(0.20)(0.20)(0.20)

Age(X3)0.290.29

(0.04)(0.04) Northeast(X4)0.69

(0.30) Midwest(X5)0.60

(0.28)