考虑如下线性规划问题

考虑如下线性规划问题：

Min z=60 x1+40 x2 +80 x3

s.t. 3 x1 +2 x2 + x3 2

4x1 +x2 +3x3 4 2x1 +2x2 +2x3 3

x1 , x2 , x3 0

要求：（1）写出其对偶问题；

2）用对偶单纯形法求解原问题；

3）用单纯形法求解其对偶问题；

4）对比（2）与（3）中每步计算得到的结果。

解：（1）设对应于上述约束条件的对偶变量分别为y1,y2, y3 ；则由原问题和对偶问题，可以直接写出对偶问题为：

Max Z'=2 y1+4 y2+3 y3

s.t 3y1+4 y2+2 y3 60

2y1+y2+2 y3 40

y1 +3 y2 +2 y3 80

y1,y2,y3 0

（2）用对偶单纯形法求解原问题（添加松弛变量x4 ,x5 , x6 ）

MaxZ= -60 x1 -40 x2-80 x3 +0 x4 +0 x5 +0 x6

s.t -3x1 -2x2- x3+ x4 =-2

-4x1-x2-3x3+x5=-4

-2 x1-2 x2-2 x3+x6=-3

X l, X2 , X3 0

建立此问题的初始单纯形表，可见:

从表中可以看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b列数字为负，故需进行迭代运算。

换出变量的确定，计算min (-2,-4, -3)=-4，故疋为换出变量。

换入变量的确定，计算得15,40, 80/3,故x i为换入变量。

由表可知，X6为换出变量。X2为换入变量。然后继续画单纯形表:

可得X4为换出变量，X3为换入变量。继续做单纯形表:

所以此问题的最优解为X= (11/10,19/30, 1/10),此对偶问题的最优解为丫二(16,12,30)，原问题的最小值为118/3.

(3)MaxZ '2 y +4 y? +3 y +0 y +0 * +0 y

S.t 3 y1+4 y2+2 y3+ y4=60

2 y1 + y2 +2 出 + y =40

y1 +3y2+2y3 + y6=80 y1, y2, y3, y4, y5, y6

然后建立单纯形表，可得

由此可知，y4为换出变量，y2为换入变量。继续画单纯形表,

由此可知，y5为换出变量，y3为换入变量。继续画单纯形表,

由此可得最后一行的检验数都已经为负或是零, 这表示目标函数值已

不可能再增大，于是得到最优解为

Y (0,20 /3,50/3, 0,0,80/3)

目标函数值为230/3

(4)比较第二问和第三问，主要是换出变量和换入变量的关系:

第(2)问里，X5为换出变量，X i为换入变量；X6为换出变量。X2为换入变量；X4为换出变量，X3为换入变量!

第（3）问里，科4为换出变量，业为换入变量；y为换出变量，y3为换入变量!