【小学数学】小学六年级数学必考的34个数学重难点公式
34个小学数学重难点公式
1、和差倍问题
2、年龄问题的三个基本特征
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
3、归一问题的基本特点
问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”;题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题:
根据题目中的条件确定并求出单一量;
4、植树问题
5、鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题;就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
①假设;即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后;发生了和题目条件不同的差;找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的;从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整;消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:找出总量的差与单位量的差。
6、盈亏问题
基本概念:
一定量的对象;按照某种标准分组;产生一种结果:按照另一种标准分组;又产生一种结果;由于分组的标准不同;造成结果的差异;由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
基本思路:
先将两种分配方案进行比较;分析由于标准的差异造成结果的变化;根据这个关系求出参加分配的总份数;然后根据题意求出对象的总量。
基本题型:
①一次有余数;另一次不足;
基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:
确定对象总量和总的组数。
7、牛吃草问题
基本思路:
假设每头牛吃草的速度为“1”份;根据两次不同的吃法;求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因;即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:
原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:
确定两个不变的量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间); 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
8、周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化的过程中;某些特征有规律循环出现。
周期:
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题:
确定循环周期。
闰年:一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除;则年份必须能被400整除;
平年:一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除;但不能被400整除;
9、平均数
基本公式:
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法:
①求出总数量以及总份数;利用基本公式①进行计算.
②基准数法:根据给出的数之间的关系;确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准;求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和;就是所求的平均数;具体关系见基本公式②
10、抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里;那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例:把4个物体放在3个抽屉里;也就是把4分解成三个整数的和;那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式;我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体;也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里;其中n>m;那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m ]+1个物体:当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题:
构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量;而后依据抽屉原则进行运算。
11、定义新运算
基本概念:
定义一种新的运算符号;这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:
严格按照新定义的运算规则;把已知的数代入;转化为加减乘除的运算;然后按照
基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:
①新的运算不一定符合运算规律;特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12、数列求和
等差数列:
在一列数中;任意相邻两个数的差是一定的;这样的一列数;就叫做等差数列。
基本概念:
首项:等差数列的第一个数;一般用a1表示;
项数:等差数列的所有数的个数;一般用n表示;
公差:数列中任意相邻两个数的差;一般用d表示;
通项:表示数列中每一个数的公式;一般用an表示;
数列的和:这一数列全部数字的和;一般用Sn表示.
基本思路:
等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量;如果己知其中三个;就可求出第四个;求和公式中涉及四个量;如果己知其中三个;就可以求这第四个。
基本公式:
通项公式:an = a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列和公式:sn,= (a1+ an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:n= (an+ a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:d =(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:
确定已知量和未知量;确定使用的公式;
13、二进制及其应用
十进制:
用0~9十个数字表示;逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义;十位上的2表示20;百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
二进制:
用0~1两个数字表示;逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
(2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7 +……+A3×22+A2×21+A1×20
注意:An不是0就是1。
十进制化成二进制:
①根据二进制满2进1的特点;用2连续去除这个数;直到商为0;然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方;再求它们的差;再找不大于这个差的2的n次方;依此方法一直找到差为0;按照二进制展开式特点即可写出。
14、加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法;在第一类方法中有m1种不同方法;在第二类方法中有m2种不同方法……;在第n类方法中有mn种不同方法;那么完成这件任务共有:m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的分类方法。
基本特征:
每一种方法都可完成任务。
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行;做第1步有m1种方法;不管第1步用哪一种方法;第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法;第n步总有mn种方法;那么完成这件任务共有:m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的完成步骤。
基本特征:
每一步只能完成任务的一部分。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动;形成的轨迹。
直线特点:
没有端点;没有长度。
线段:
直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点;有长度。
射线:
把直线的一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律:总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:个数=长的线段数×宽的线段数:
④数长方形规律:个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15、质数与合数
质数:
一个数除了1和它本身之外;没有别的约数;这个数叫做质数;也叫做素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外;还有别的约数;这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数的约数;那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来;叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:
N= ;其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数;且a1 求约数个数的公式: P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数: 如果两个数的最大公约数是1;这两个数叫做互质数。 16、约数与倍数 约数和倍数: 若整数a能够被b整除;a叫做b的倍数;b就叫做a的约数。 公约数: 几个数公有的约数;叫做这几个数的公约数;其中最大的一个;叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质: 1、几个数都除以它们的最大公约数;所得的几个商是互质数。 2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、几个数的公约数;都是这几个数的最大公约数的约数。 4、几个数都乘以一个自然数m;所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 例如:12的约数有1、2、3、4、6、12; 18的约数有:1、2、3、6、9、18; 那么12和18的公约数有:1、2、3、6; 那么12和18最大的公约数是:6;记作(12;18)=6; 求最大公约数基本方法: 1、分解质因数法:先分解质因数;然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法:先找公有的约数;然后相乘。 3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除;能够整除的那个余数;就是所求的最大公约数。 公倍数: 几个数公有的倍数;叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个;叫做这几个数的最小公倍数。 12的倍数有:12、24、36、48……; 18的倍数有:18、36、54、72……; 那么12和18的公倍数有:36、72、108……; 那么12和18最小的公倍数是36;记作[12;18]=36; 最小公倍数的性质: 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法 17、数的整除 基本概念和符号: 1、整除:如果一个整数a;除以一个自然数b;得到一个整数商c;而且没有余数;那么叫做a能被b整除或b能整除a;记作b|a。 2、常用符号:整除符号“|”;不能整除符号“ ”;因为符号“∵”;所以的符号“∴”; 整除判断方法: 1.能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。 2.能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3.能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4.能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。 5.能被7整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6.能被11整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7.能被13整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 整除的性质: 1.如果a、b能被c整除;那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2.如果a能被b整除;c是整数;那么a乘以c也能被b整除。 3.如果a能被b整除;b又能被c整除;那么a也能被c整除。 4.如果a能被b、c整除;那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 18、余数及其应用 基本概念: 对任意自然数a、b、q、r;如果使得a÷b=q……r;且0 余数的性质: ①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同;则c|a-b或c|b-a。 ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c 的余数。 ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 19、余数、同余与周期 同余的定义: ①若两个整数a、b除以m的余数相同;则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m;如果m|a-b;就称a、b对于模m同余;记作a≡b(mod m);读作a同余于b模m。 同余的性质: ①自身性:a≡a(mod m); ②对称性:若a≡b(mod m);则b≡a(mod m); ③传递性:若a≡b(mod m);b≡c(mod m);则a≡ c(mod m); ④和差性:若a≡b(mod m);c≡d(mod m);则a+c≡b+d(mod m);a-c≡b-d(mod m); ⑤相乘性:若a≡ b(mod m);c≡d(mod m);则a×c≡ b×d(mod m); ⑥乘方性:若a≡b(mod m);则an≡bn(mod m); ⑦同倍性:若a≡ b(mod m);整数c;则a×c≡ b×c(mod m×c); 关于乘方的预备知识: ①若A=a×b;则MA=Ma×b=(Ma)b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 被3、9、11除后的余数特征: ①一个自然数M;n表示M的各个数位上数字的和;则M≡n(mod 9)或(mod 3); ②一个自然数M;X表示M的各个奇数位上数字的和;Y表示M的各个偶数数位上数字的和;则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11); 费尔马小定理: 如果p是质数(素数);a是自然数;且a不能被p整除;则ap-1≡1(mod p)。 20、分数与百分数的应用 基本概念与性质: 分数:把单位“1”平均分成几份;表示这样的一份或几份的数。 分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外);分数的大小不变。 分数单位:把单位“1”平均分成几份;表示这样一份的数。 百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。 常用方法: ①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。 ②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 ③转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 ④假设思维方法:为了解题的方便;可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立;计算出相应的结果;然后再进行调整;求出最后结果。 ⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中;总有一个量是不变的;不论其他量如何变化;而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化;总量不变。B、总量发生变化;但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化;但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法:用一种量代替另一种量;从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 ⑧浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 21、分数大小的比较 基本方法: ①通分分子法:使所有分数的分子相同;根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ②通分分母法:使所有分数的分母相同;根据同分母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法:确定一个标准;使所有的分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时;分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小;除了运用以上方法外;可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律) ⑥转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。 ⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数;结果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数;得出的数和0比较。 ⑨倒数比较法:利用倒数比较大小;然后确定原数的大小。 ⑩基准数比较法:确定一个基准数;每一个数与基准数比较。 22、分数拆分 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式 23、完全平方数 完全平方数特征: 1.末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2.除以3余0或余1;反之不成立。 3.除以4余0或余1;反之不成立。 4.约数个数为奇数;反之成立。 5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。 6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式: X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式: (X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式: (X-Y)2=X2-2XY+Y2 24、比和比例 比: 两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项;比号后面的数叫比的后项。 比值: 比的前项除以后项的商;叫做比值。 比的性质: 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外);比值不变。 比例: 表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或 比例的性质: 两个外项积等于两个内项积(交叉相乘);ad=bc。 正比例: 若A扩大或缩小几倍;B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时);则A与B成正比。反比例: 若A扩大或缩小几倍;B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时);则A与B成反比。比例尺: 图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配: 把几个数按一定比例分成几份;叫按比例分配。 25、综合行程 基本概念: 行程问题是研究物体运动的;它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系. 基本公式: 路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 关键问题: 确定运动过程中的位置和方向。 相遇问题:速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式) 追及问题:追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式) 流水问题:顺水行程=(船速+水速)×顺水时间 逆水行程=(船速-水速)×逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 流水问题:关键是确定物体所运动的速度;参照以上公式。 过桥问题:关键是确定物体所运动的路程;参照以上公式。 主要方法:画线段图法 基本题型: 已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量;求第三个量。 26、工程问题 基本公式: ①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工作总量÷工作效率 基本思路: ①假设工作总量为“1”(和总工作量无关); ②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数);利用上述三个基本关系;可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题: 确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 27、逻辑推理 条件分析—假设法: 假设可能情况中的一种成立;然后按照这个假设去判断;如果有与题设条件矛盾的情况;说明该假设情况是不成立的;那么与他的相反情况是成立的。例如;假设a是偶数成立;在判断过程中出现了矛盾;那么a一定是奇数。 条件分析—列表法: 当题设条件比较多;需要多次假设才能完成时;就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中;表格的行、列分别表示不同的对象与情况;观察表格内的题设情况;运用逻辑规律进行判断。 条件分析—图表法: 当两个对象之间只有两种关系时;就可用连线表示两个对象之间的关系;有连线则表示“是;有”等肯定的状态;没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态;有连线表示认识;没有表示不认识。 逻辑计算: 在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外;还要进行相应的计算;根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。 简单归纳与推理: 根据题目提供的特征和数据;分析其中存在的规律和方法;并从特殊情况推广到一般情况;并递推出相关的关系式;从而得到问题的解决。 28、几何面积 基本思路: 在一些面积的计算上;不能直接运用公式的情况下;一般需要对图形进行割补;平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等;使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。 常用方法: 1.连辅助线方法 2.利用等底等高的两个三角形面积相等。 3.大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点;解题时可把任意点设置在特殊位置上)。 4.利用特殊规律 ①等腰直角三角形;已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积) ②梯形对角线连线后;两腰部分面积相等。 ③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。 29、时钟问题——快慢表问题 基本思路: 1、按照行程问题中的思维方法解题; 2、不同的表当成速度不同的运动物体; 3、路程的单位是分格(表一周为60分格); 4、时间是标准表所经过的时间; 5、合理利用行程问题中的比例关系; 30、时钟问题——钟面追及 基本思路: 封闭曲线上的追及问题。 关键问题: ①确定分针与时针的初始位置; ②确定分针与时针的路程差; 基本方法: ①分格方法: 时钟的钟面圆周被均匀分成60小格;每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格;即一周;而时针只走5分格;故分针每分钟走1分格;时针每分钟走1/12分格。 ②度数方法: 从角度观点看;钟面圆周一周是360°;分针每分钟转360/60度;即6°;时针每分钟转360/12X60度;即1/2度。 31、浓度与配比 经验总结: 在配比的过程中存在这样的一个反比例关系;进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。 溶质:溶解在其它物质里的物质(例如糖、盐、酒精等)叫溶质。 溶剂:溶解其它物质的物质(例如水、汽油等)叫溶剂。 溶液:溶质和溶剂混合成的液体(例如盐水、糖水等)叫溶液。 基本公式: 溶液重量=溶质重量+溶剂重量; 溶质重量=溶液重量×浓度; 浓度= 溶质/溶液×100%=溶质/(溶剂+溶质)×100% 经验总结: 在配比的过程中存在这样的一个反比例关系;进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。 32、经济问题 利润的百分数=(卖价-成本)÷成本×100%; 卖价=成本×(1+利润的百分数); 成本=卖价÷(1+利润的百分数); 商品的定价按照期望的利润来确定; 定价=成本×(1+期望利润的百分数); 本金:储蓄的金额; 利率:利息和本金的比; 利息=本金×利率×期数; 含税价格=不含税价格×(1+增值税税率); 33、不定方程 一次不定方程: 含有两个未知数的一个方程;叫做二元一次方程;由于它的解不唯一;所以也叫做二元一次不定方程; 常规方法: 观察法、试验法、枚举法; 多元不定方程: 含有三个未知数的方程叫三元一次方程;它的解也不唯一; 多元不定方程解法: 根据已知条件确定一个未知数的值;或者消去一个未知数;这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程;按照二元一次不定方程解即可; 涉及知识点: 列方程、数的整除、大小比较; 解不定方程的步骤: 1、列方程; 2、消元; 3、写出表达式; 4、确定范围; 5、确定特征; 6、确定答案; 技巧总结: A、写出表达式的技巧:用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数;同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数; B、消元技巧:消掉范围大的未知数; 34、循环小数 把循环小数的小数部分化成分数的规则: ①纯循环小数小数部分化成分数:将一个循环节的数字组成的数作为分子;分母的各位都是9;9的个数与循环节的位数相同;最后能约分的再约分。 ②混循环小数小数部分化成分数:分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差;分母的头几位数字是9;9的个数与一个循环节的位数相同;末几位是0;0的个数与不循环部分的位数相同。 分数转化成循环小数的判断方法: ①一个最简分数;如果分母中既含有质因数2和5;又含有2和5以外的质因数;那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数;如果分母中只含有2和5以外的质因数;那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 分数比化简:用前项后项同时乘分母的最小公倍数化成整数比,再按化简整数比的方法来化简。 小数比化简:向右移动小数点的位置先转化成整数比。再按化简整数比的方法来化简。 方法二:先用比的前项除以比的后项求出比值,再把比值改写成比的形式。 4.解决问题 (1)已知一个数的几分之几是多少,求这个数,通常用除法来计算。对于较复杂的题目有时用方程解更容易理解些。【分率对应量÷分率】 (2)求一个数是另一个数的几分之几,用除法计算。【一个数÷另一个数】 (3)求一个数比另一个数多(或少)几分之几用除法计算。【差量÷单位“1”的量】5.数学积累。 (1)一个数除以小于1的数,商大于被除数;一个数除以1,商等于被除数;一个数除以大于1的数,商小于被除数。 (2)黄金比是0.618:1。 第四单元圆 1.认识圆 (1)相较于圆中心的一点叫做圆心,一般用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,一般用字母d表示。 (2)在同一个圆内,有无数条半径,且所有的半径长度都相等,有无数条直径,且所有的直径长度都相等。半径的长度是直径长度的一半(),直径的长度是半径长度的2倍。 (3)在同一个圆内,两端都在圆上的所有线段中,直径最长。 (4)画圆时:圆规两脚间的距离是圆的半径。圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。(5)圆是轴对称图形。圆的直径所在的直线就是圆的对称轴。一个圆有无数条对称轴。 2.圆的周长 (1)围成圆的曲线的长叫做圆的周长,一般用字母C表示。 (2)任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字母π表示。它是一个无限不循环小数,π=3.1415926……,实际应用中π取3.14。 四年级数学下册《小数的意义和性质》 重难点突破 本单元教学是在学生已经初步认识分数、小数的基础上进行的。教材按照小数的意义、小数的性质、小数大小的比较、小数点位置移动引起小数大小的变化、小数与复名数等知识系统进行编排。 本单元教学的重点是让学生理解小数的意义以及小数点位置移动引起小数大小变化的规律。小数的意义是系统学习小数的开始,是理解小数四则计算法则、进行小数四则计算的基础。而小数点位置移动引起小数大小的变化规律又是小数乘、除法计算的根据。正确理解小数的实际意义以及小数和复名数的相互改写是本单元的教学难点。小数和复名数的相互改写,学生往往在判别是用进率去乘还是除以进率,小数点是向右移还是向左移的问题上出现错误,因此教学中要加强计量单位之间的进率、名数的互化、小数点位置移动引起小数大小变化等知识的综合训练。 突破建议: .加强对比,注意知识的迁移 小数是从整数扩充来的,所以整数知识对小数知识学习会有两种迁移作用。一种是正迁移,如整数的记数位值原则、十进关系等对小数学习有促进作用;二是负迁移作用,如小数大小的比较,数位名称及读法、写法都会受整数知识思维 定势的干扰,因此教学中要加强对比,要充分利用已有的整数知识来学习小数。如,小数的读法,整数部分按整数的读法来读,小数部分按各数位上的数字顺次读出来即可。在练习方面除了书上的练习题外,还可补充类似题目,从各个角度加深学生对小数意义的理解。如:(1)举出0与1之间的一些小数;(2)2中的三个各表示什么…… 2.强调直观,注意层次 教学小数的意义应充分采用直观教学的方法,并注意教学的层次性。 第一层次:让学生亲手量一量桌子、本、作业本,使他们体验不能得到整数结果的情景,激发其学习小数知识的内在动机,并带着“怎样用小数表示”的问题进入下一阶段的学习。 第二层次:应用米尺通过实际度量,以“米”作单位,用分数表示几分米、几厘米、几毫米,进而抽象为用小数表示结果,并配合有计划的板书。 如:1分米是1米的四下<br>《小数的意义和性质》重难点突破,写作:01米;3分米写作:03米。 厘米是1米的四下<br>《小数的意义和性质》重难点突破,写作:001米;8厘米写作:008米。 毫米是1米的四下<br>《小数的意义和性质》重难点突破,写作:0001米;9毫米写作:0009米。 六年级数学重难点汇总 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8- 六年级上册 第一单元分数乘法 第1课时分数乘整数 重点:理解分数乘整数的意义,掌握分数乘整数的计算方法 难点:理解分数乘整数的算理 第2课时一个数乘分数的意义及分数乘分数 重点:一个数乘分数的意义及分数乘分数的计算方法 难点:理解一个数乘分数的算理 第3课时小数乘分数 重点:掌握小数乘分数的计算方法 难点:能灵活选择恰当的方法计算小数乘分数 第4课时分数混合运算和简便运算 重点:掌握分数混合运算的运算顺序,并能正确地进行计算 难点:根据题目特点灵活、合理地运用运算定律进行简便计算 第5课时解决问题 重点:掌握连续求一个数的几分之几是多少和比一个数多(或少)几分之几的数是多少的实际 问题的解题方法 难点:能正确判断单位“1”,并理解单位“1”和所求量的关系 第二单元位置与方向(二) 第1课时用方向和距离确定物体在平面图上的位置 重点:掌握根据方向和距离确定物体在平面图上的位置的方法 难点:能根据描述在平面图上表示物体的具体位置 第2课时描述简单的路线图 重点:描述并绘制简单的路线图 难点:根据参照点的变化重新确定物体的位置,体会位置的相对性 第三单元分数除法 1 倒数的认识 重点:掌握求一个数的倒数的方法 难点:理解倒数的意义 2 分数除法 第1课时分数除以整数 重点:掌握分数除以整数的计算方法 难点:理解分数除以整数的算理 第2课时一个数除以分数 重点:掌握一个数除以分数的计算 难点:理解一个数除以分数的算理 第3课时分数四则混合运算 重点:掌握分数四则混合运算的运算顺序 难点:掌握把连除转化成连乘并进行约分的方法 第4课时解决问题(一) 重点:用方程解决简单的分数除法问题 难点:用线段图表示题中的数量关系 第5课时解决问题(二) 重点:会用方程解决“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题 难点:运用线段图分析数量关系 第6课时解决问题(三) 重点:运用方程解决“差倍问题”“和倍问题” 难点:根据两个未知量的关系设未知数 第7课时解决问题(四) 重点:掌握“工程为题”的解题方法 难点:理解工作效率的表示方法 第四单元比 第1课时比的意义 重点:理解比的意义,掌握求比值和求比中未知项的方法 难点:明确比与分数、除法的关系 第2课时比的基本性质 重点:推导比的基本性质,探索化简比的方法 人教版六年级数学下册教学目标重难点 第一单元负数 单元教学目标: 1.在熟悉的生活情境中初步认识负数,理解正数、负数的意义, 能正确地读、写正数和负数。 2.理解并掌握0既不是正数也不是负数的结论,知道可以分为正数、0、负数,理解分类讨论思想。 3.初步掌握用数轴上的点表示正、负数的方法,体会数形结合思想。 单元教学重点: 1.理解正负数的意义,能正确读、写正负数,知道0既不是正数也不是负数。 2.掌握用数轴上的点表示正、负数的方法,能够在数轴上表示正数、0和负数。 单元教学难点: 能够准确把数轴上的点和相应的正数、0和负数建立一一对应关系。 课时安排:2课时 第一课时: 课题:负数 教学内容:P2-4页例1、例2及相关内容 教学目标: 1.在熟悉的生活情境中初步认识负数,理解正负数所表示的实际含义,知道正、负数可以表示两种相反意义的量。 2.认识正负号,能正确地辨认和读写正、负数。知道0既不是正数也不是负数,理解分类讨论的思想。 3.能举例说明日常生活中常见的负数,初步学会用负数表示一些日常生活中的实际问题,感受负数产生的必要性和价值,体验数学与生活的密切联系,发展数学的应用意识。 4.结合负数历史,进行数学史的教育,培养良好的数学情感。 教学重点: 初步认识负数,能正确地辨认和读写正、负数,知道0既不是正数也不是负数。 教学难点: 负数意义的理解。 第二课时: 课题:在数轴上表示正数、负数和0 教学内容:P5-7页例3及相关内容 教学目标: 1.初步掌握用数轴上的点表示正、负数的方法,能够在数轴上表 示正数、0和负数,体会0是正、负数的分界点,体会数形结合的思想。 2.会用正、负数表示日常生活中相反意义的量,将生活情境数学 四年级上册数学重难点 汇总 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 四年级上册 第一单元大数的认识 1 亿以内数的认识 第1课时亿以内数的读法和写法 重点:知道相邻两个计数单位之间的关系及亿以内数的读写方法难点:数级中间或末尾有0的数的读写方法 第2课时亿以内数的大小比较、改写及求近似数 重点:掌握比较亿以内数大小的方法及多位数的改写 难点:用“四舍五入”法求非整万数的近似数 2 数的产生、十进制计数法和亿以上数的认识 重点:建立自然数的概念,会读写亿以上的数 难点:多位数的改写 3 计算工具的认识、算盘、计算器 重点:正确掌握计算器的基本操作方法 难点:借助计算器探索计算的规律 综合应用:1亿有多大 第二单元公顷和平方千米 重点:理解平方米、公顷和平方千米之间的进率,能进行单位换算难点:体会1公顷和1平方千米的实际大小 第三单元角的度量 1 线段、直线、射线和角及角的度量 重点:认识线段、直线、射线及角的度量 难点:用量角器量角的方法及线段、直线、射线的区别和联系 2 角的分类及画角 重点:角的分类 难点:用量角器画角 第四单元三位数乘两位数 第1课时三位数乘以两位数的笔算方法 重点:三位数乘以两位数的笔算方法 难点:用竖式计算时积的定位 第2课时因数中间或末尾有0的乘法 重点:因数末尾有0的乘法竖式的简便写法 难点:因数中间有0的竖式的写法 第3课时积的变化规律 重点:掌握积的变化规律 难点:运用积的变化规律解决问题 第4课时总价、路程问题 重点:理解“单价×数量=总价”和“速度×时间=路程”两个关系式的含义难点:灵活运用总价、路程的数量关系,解决实际问题 第五单元平行四边形和梯形 1 平行于垂直 重点:理解平行与垂直的概念 难点:掌握画垂线和画长方形的方法 2 平行四边形和梯形 小学六年级数学知识点归纳总结 六年级上册 知识点概念总结 1.分数乘法:分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。 2.分数乘法的计算法则: 分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。 3.分数乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘,可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4.分数乘整数:数形结合、转化化归 5.倒数:乘积是1的两个数叫做互为倒数。 6.分数的倒数 找一个分数的倒数,例如3/4把3/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数,也可以说4/3是3/4的倒数。 7.整数的倒数 找一个整数的倒数,例如12,把12化成分数,即12/1,再把12/1这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是1/12,12是1/12的倒数。 8.小数的倒数: 普通算法:找一个小数的倒数,例如0.25,把0.25化成分数,即1/4,再把1/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是4/1 9.用1计算法:也可以用1去除以这个数,例如0.25,1/0.25等于4,所以0.25的倒数4,因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。 10.分数除法:分数除法是分数乘法的逆运算。 11.分数除法计算法则:甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。 12.分数除法的意义:与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。 13.分数除法应用题:先找单位1。单位1已知,求部分量或对应分率用乘法,求单位1用除法。 14.比和比例: 比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一,其实它们之间的问题完全可以用一句话概括:比,等同于算式中等号左边的式子,是式子的一种(如:a:b);比例,由至少两个称为比的式子由等号连接而成,且这两个比的比值是相同(如:a:b=c:d)。 所以,比和比例的联系就可以说成是:比是比例的一部分;而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4项,前项后项各2个. 15.比的基本性质:比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。 比的性质用于化简比。 比表示两个数相除;只有两个项:比的前项和后项。 比例是一个等式,表示两个比相等;有四个项:两个外项和两个内项。 16.比例的性质:在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于解比例。 四年级数学重难点分析 一、知识结构 二、重难点分析 四年级上册数学各单元重点、难点分析 教学重点:大数的认识;三位数乘两位数;除数是两位数的除法;角的度量; 平行四边形和梯形是本册教材的重点. 教学难点:大数的认识;三位数乘两位数;角的度量.是本册教材的难点. 解决的方法:针对以上重难点的教学逐个进行分析解决. (一)大数的认识是本册教材的起始单元,是在学生认识和掌握万以内数的基础上学习的,生活中大数广泛存在,对大数认识既是万以内数的认识的巩固和扩展,也是学生必须掌握的最基础的数学知识之一. 1、注重基础知识,基本概念的教学,培养学生知识迁移能力. 2、加强数学与现实生活的密切联系,培养学生的数学意识,发展学生的数感. (二)三位数乘两位数是义务教育阶段,整数乘法的最后一个知识板块,它是在学生掌握了两位数乘两位数的计算方法的基础上进行教学的.在教学中应注意放手让学生通过自主探索、亲身实践、合作交流等活动,自行总结掌握口算、笔算、估算的一般方法,鼓励算法多样化,并尽可能选择多种算法中较优化的一种,采用合理、简洁、灵活的方法进行计算,并注重学生的知识迁移能力的培养. (三)除数是两位数的除法,是小学学习整数除法的最后阶段,本单元的教学关键是引导学生掌握试商方法,这也是本单元教学难点,为了解决试商这个关键问题,可以分两个层次组织教学,(1)商是一位数,主要解决商的书写位置,除的顺序,突出基本的试商方法,帮助学生理解算理;(2)商是两位数,让学生将除的过程、试商方法迁移类推至此. (四)角的度量注意学生在动手操作中发现数学规律,建立几何表象,通过画射线、直线、测量角、操作活动角,用三角板拼角,用纸折角等多种方式加强学生对图形的认识. (五)平行四边形和梯形是在学习了角的度量的基础上教学的,它着重给出了平行四边形的特征以及它与正方形、长方形的关系,梯形在这里是首次出现,教学时除教学梯形的特征外,还应注意它与平行四边形的联系和区别. 1、注意理清知识间的联系,把握“平行与垂直”的基本内涵. 2、加强作图训练和指导,重视作图能力的培养. 四年级下册数学各单元重点、难点分析 第一单元:四则运算 ①教学重点:掌握含有两级运算的运算顺序,正确计算三步式题,学会用两、三步计算的方法解决一些实际问题.②教学难点:正确计算三步式题,学会用两、三步计算的方法解决一些实际问题. 第二单元:位置与方向 ①教学重点:根据方向和距离两个条件确定物体的位置,并描述简单的路线图.②教学难点:体会位置关系的相对性. 第三单元:运算定律与简便计算 ①教学重点:探索和理解加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律和分配律,能运用运算定律进行一些简便运算②教学难点:探索和理解加法的乘法的运算定律,会应用它们进行一些简便运算 第四单元:小数的意义和性质 ①教学重点:理解小数的意义和性质,掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律.②教学难点:理解小数的意义和性质,掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律. 人教版小升初小学六年级下册数学复习资料 (一)整数和小数 1、整数和自然数 像…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数统称为(整数)。整数的个数是(无限)的。 数物体的时候,用来表示物体个数的0,1,2,3…叫做(自然数)。 自然数整数的(一部分)。(“1”)是自然数的单位。最小的自然数是( 0 )。 2、小数 小数表示的就是十分之几,百分之几,千分之几……的数,一位小数可表示为十分之几的数,两位小数可表示为百分之几的数,三位小数可表示为千分之几的数 …… 熟记: 51=0.2 52= 0.4 53= 0.6 5 4 =0.8 41=0.25 4 3 = 0.75 81= 0.125 83=0.375 85=0.625 8 7 =0.875 小数点右边第一位是(十分位),计数单位是(十分之一);第二位是(百分位),计数单位是(百分之一)…… 小数部分有几个数位,就叫做几位小数。 如3.305是( 三 )位小数 3、整数、小数的读法和写法: 读整数时注意先分级再读数。 读小数时注意小数部分顺次读出每个数位上的数。 写数时注意写好后,一定要读一读仔细校对。 为了读写方便,常常把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。 如只要求“改写”,结果应是准确数。 如要求“省略”万(亿)后面的尾数,结果应是近似数。 4、小数的性质:小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变. 5、小数点向右(左)移动一位、两位、三位……原来的数就扩大(缩小)10倍、100 倍、1000倍…… 6、正数、负数 0既不是正数也不是负数,0是正数和负数的分界点。 负数<0<正数 两个负数比较,负号后面的数越大这个数反而越小。 (二)因数和倍数 1、因数和倍数 一个数的最小因数是1,最大的因数是它本身。一个数的因数的个数是有限的。 一个数的最小倍数是它本身,没有最大倍数。一个数的倍数的个数是无限的。 为了方便,在研究因数和倍数的时候,我们所说的数指的是整数(一般不包括0) 2、奇数、偶数 自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。 最小的偶数是( 0 )最小的奇数是( 1 ) 在全部自然数中,不是奇数就是偶数。 奇数±偶数=(奇数) 奇数±奇数=(偶数) 偶数±偶数=(偶数) 奇数×偶数=(偶数) 奇数×奇数=(奇数) 偶数×偶数=(偶数) 3、2,3,5的倍数特征: 个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。 例如: 70 32 14 56 158 个位上是0或5的数,是5的倍数。 例如: 70 655 一个数各 位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。 例如: 45 876 4、质数、合数 一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数) 一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。 ( 1 )不是质数也不是合数,最小的质数是( 2 ),最小的合数是( 4 ) 100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 。 5、公因数、最大公因数 几个数公有的因数,叫做这几个数的(公因数);其中最大的一个叫做这几个数的(最 大公因数)。 几个数公有的倍数,叫做这几个数的(公倍数);其中最小的一个叫做这几个数的 (最小公倍数)。 公因数只有1的两个数叫做(互质数)。 金州实验小学四年级下册数学重难点梳理 胡建军 开头:1、、、、、、、 2、看教师用书,下载图片,选择其中我感受较深的地方和大家交流。 一,整学期课时安排: 重点是:小数的意义与性质、小数的加法和减法、运算定律与简便运算、三角形,整体是中间大,两头小,其中重中之重是有关小数的内容,占了两个单元,共计20课时,其一个内容就占了整学期新知识的约五分之二。 二,四则运算 (一)表:在老师用书里,每一个单元的教材说明里面,都列了一个表出来,这个表清晰地把第一个单元的主要内容都用表格 的形式,简单明了地呈现出来,比如第一单元的就在第16页,对我们从整体上把握教材内容有很好的作用。 (二)主题图:打开第一单元,迎面而来的就是一幅“冰天雪地” 的主题图,主题图从活动区域指示牌上可以看出滑雪区、滑冰 区和冰雕区,场景图中还给出了三条信息:滑冰区有72人,滑 雪区有26人,冰雕区有180人。给学生提问题提供了数据。教 材创设了热闹的滑雪场情境,由此引出相应的4个例题。连贯 性很强,能极大地激发学生的兴趣。 (三)解决问题:通过我班的孩子们考试的情况我发现,他们完成解决问题比较难,一部分平时表现优秀的学生无法在考试时 得到高分,往往是解决问题的题没能很好地完成。从刚才出示 的表上大家可以看到,第一到四课时的内容都是以解决问题的 形式表现出来的。所以我们可以充分利用教材提供的生动情境,放手让学生独立思考,自主探索,并在合作交流的基础上形成 解决问题的步骤和方法 (四)掌握解决问题的步骤和策略。本单元混合运算的顺序是结合解决问题进行的,其中解决问题的步骤和策略又是重点和难 点之一。教学时,要注意加强数量关系的分析,在叙述解题思 路时,要引导学生透过数看到量,用量的关系来描述解题思路。 如,可引导学生这样描述思路“先算出每天接待多少人,再计 算6天接待多少人”。不要停留在“先用987÷3,再乘6”的 描述方式上。可能开始时学生不习惯,但这种习惯终究会养成。(五)运算顺序:A、用笔标注:B,用尊敬长辈的良好习惯进行引导 三.位置与方向 (一)确定位置 1、向学生介绍物体所在方向的一般表述。学生在交流例1 的结果时,可能会出现两种答案:东偏北30°或北偏东60°,教师应告诉学生在生活中一般我们先说与物体所在方向离得较近(夹角较小)的方位。例如,本例题中1号检查点的方向,一般说成“东偏北30°”。 2、“做一做”中,我犯了一个错,那就是没有认真备课, 导致引导学生做错了,直到学生提醒我才改过来,我希望老师们不要犯我一样的错。(第二题填了东偏南的方向上,实际应该填东偏南30度,少填了30度) (二)绘制物体位置: 可充分利用插图进行教学:插图中,三个孩子说的两句话有画龙点睛的作用,一是先确定方向,二是,用一厘米表示多少米。 人教版六年级数学上册考点、重点、难点大汇总 一、分数乘法 一、分数乘法 (一)分数乘法的意义: 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如: 98×5表示求5个9 8的和是多少 2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 例如: 98×43表示求98的43是多少 ) (二)、分数乘法的计算法则: 1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分) 2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。 注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。 (三)、规律:(乘法中比较大小时) 一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。 一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。 ^ 一个数(0除外)乘1,积等于这个数。 (四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 (五)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律: a × b = b × a 乘法结合律: ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律: ( a + b )×c = a c + b c a c + b c = ( a + b )×c 二、分数乘法的解决问题 (已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少) ¥ 1、画线段图: (1)两个量的关系:画两条线段图;(2)部分和整体的关系:画一条线段图。2、找单位“1”:在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”的后面 3、求一个数的几倍:一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少:一个数×几 几 。 4、写数量关系式技巧: (1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“= ”(2)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量(3)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1 分率)=分率对应量. 三、倒数 1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为 ..倒数。 强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。 (要说清谁是谁的倒数)。 2、求倒数的方法: (1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。 (2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。 (3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。 & (4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。 .精品文档 . 四年级数学下册《三角形》重难点突破 英语教案 四年级数学下册《三角形》重难点突破 学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习,对三角形已经有了直观的认识,能够从平面图形中分辨出三角形。在此基础上本单元安排了三小节内容:三角形的特性、三角形的分类和三角形的内角和。使学生认识三角形的特性;会根据三角形角的特点给三角形分类,认识直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形和等边三角形;知道三角形任意两边的和大于第三边;三角形的内角和是 180°;在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中,在边数增加变化中,感悟数学研究方法,发现多边形的内角和规律,渗透合情推理。通过教学使学生获得有关三角形的系统知识,促进空间观念的发展。 一、概括三角形的含义,认识三角形各部分名称,会画三角形的高 突破建议: 1.在画三角形、说画法、辨析交流的过程中,理解“围成”的含义,概括三角形的含义,培养学生的观察能力和语言表达能力。 2.在说一说、指一指、写一写三角形各部分名称的活 动中,认识三角形的基本特征,建立三角形表象。 3.在动作操作尝试画高、辨析交流、学生演示和再尝试 的过程中,学会画三角形的高。画三角形的高,实际上与学生 已学过的过直线外一点画已知直线的垂线段一样。因此,在学 习画高前应先使学生清楚什么是三角形的底,什么是三角形的高。这些可以由学生阅读教材自主学习。在此基础上可以安排 两次画高的活动。 第一次:学生尝试画高后,展示出他们的作品,并引导 学生辨析,在辨析交流中,与已学过的旧知建立联系,掌握 画高的方法。 第二次:画出三角形所有的高,使学生认识到任意三角 形都有 3 条高。 在尝试中,学生可以画出锐角三角形的三条高,而直角 三角形和钝角三角形部分学生可能只能画出在三角形内的那 一条高,可以通过教师的讲解和演示,使学生知道到这两 3 条高。种三角形也有三条高,进而总结出任意三角形都有 二、发现三角形稳定性,了解三角形稳定性的本质 突破建议: 1.从学生生活常见的物品引入,引到学生自己提出问 题:为什么有些地方要用三角形,而有些地方要用四边形? 激发学生的探究欲望。培养学生“发现问题——提出问题” 的能力。 【小学数学】六年级数学上册重难点复习 (附经典题型及答案) (请家长们按照要求监督孩子认真复习;加油!冲刺!) 一、单位换算。(要求:熟练背诵、运用) 长度:1米=10分米=100厘米=1000毫米 1千米=1000米 面积:1平方米=100平方分米=10000平方厘米 1公顷=10000平方米 1平方千米=100公顷=1000000平方米 体积:1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升 重量:1吨=1000千克 1千克=1000克 二、常用公式及相关题型。(要求:熟练背诵、运用) 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 相遇时间=总路程÷速度和 例:一段公路;甲车8小时行完;乙车6小时行完;甲乙两车 从公路两端同时出发;几小时相遇?一段公路为单位“1”;甲车速度=1÷8=18 乙车速度=1÷6=16 1÷(18 +16 )=247 (小时) 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 合修时间=合修总量÷合修效率 合挖时间=合挖总量÷合挖效率 合做时间=合做总量÷合做效率 例:一段公路;甲队单独5天修完;乙队6天修完;甲乙两队合修;几天完成?一段公路为 单位“1”;甲队效率=1÷5=15 乙车速度=1÷6=16 合修时间=合修总量÷合修效率=1÷(15 +16 )=3011 (小时) 一堆零件;师傅单独10小时做完;徒弟15小时做完;两人合作;几小时做完?一堆零件为 单位“1”。师傅工作效率1÷10=110 乙车速度=1÷15=115 合做时间=合做总量÷合做效率=1÷(110 +115 )=6(小时) 总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 图形计算公式:长方形周长=(长+宽)×2 长方形面积=长×宽 正方形周长=边长×4 正方形面积=边长×边长 三角形面积=底×高÷2 梯形面积=(上底+下底)×高÷2 平行四边形面积=底×高 圆周长=πd 或2πr 直径=周长÷π 半径=周长÷π÷2 圆面积=πr 2 S 环=π(R 2-r 2) 各种常见分率计算:出勤率=出勤人数÷总人数×100% 及格率=及格人数÷总人数×100% 发芽率=发芽种子数÷种子总数×100% 菜籽出油率=菜油重量÷菜籽重量×100% 死亡率=死亡数÷总数×100% 成活率=成活数÷总数×100% 优秀率=优秀人数÷总人数×100% 含糖率=糖的重量÷糖水重量×100% 含盐率=盐的重量÷盐水重量×100% 六年级数学上册各单元重点知识归纳(人教版) 第一单元:分数乘法 (一)分数乘法意义: 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。 “分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数,不能是分数。 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 “一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数,不能是整数。(第一个因数是什么都可以)(二)分数乘法计算法则: 1、分数乘整数的运算法则是:分子与整数相乘,分母不变。 (1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分) (2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相乘,计算结果必须是最简分数)。 2、分数乘分数的运算法则是:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。(分子乘分子,分母乘分母) (1)如果分数乘法算式中含有带分数,要先把带分数化成假分数再计算。 (2)分数化简的方法是:分子、分母同时除以它们的最大公因数。 (3)在乘的过程中约分,是把分子、分母中,两个可以约分的数先划去,再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数,这样计算后的结果才是最简单分数)。 (4)分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。 (三)积与因数的关系: 一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。 a×b=c,当b >1时,c>a。 一个数(0除外)乘小于1的数,积小于这个数。 a×b=c,当b <1时,c 小学六年级(小升初)数学重点、难点知识解析 算术 1、加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变。 2、加法结合律: a + b = b + a 3、乘法交换律: a × b = b × a 4、乘法结合律: a × b × c = a ×(b ×c) 5、乘法分配律: a × b + a × c = a × b + c 6、除法的性质: a ÷ b ÷ c = a ÷(b ×c) 7、除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。O 除以任何不是O的数都得O。简便乘法:被乘数、乘数末尾有O的乘法,可以先把O前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾。 8、有余数的除法:被除数=商×除数+余数 方程、代数与等式 等式:等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立。 方程式:含有未知数的等式叫方程式。 一元一次方程式:含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程 式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 代数:代数就是用字母代替数。 代数式:用字母表示的式子叫做代数式。如:3x =ab+c 分数 分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 分数大小的比较:同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。 分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。 分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。 分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母。 分数的加、减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数 相加减,先通分,然后再加减。 倒数的概念:1.如果两个数乘积是1,我们称一个是另一个的倒数。这两个数互为倒数。1的倒数是1,0没有倒数。 分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。 分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小 分数的除法则:除以一个数(0除外),等于乘这个数的倒数。 真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数:把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数。 分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变。 体积和表面积 三角形的面积=底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积=边长×边长公式S= a2 长方形的面积=长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积=底×高公式S= a×h 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和:三角形的内角和=180度。 长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高) ×2 公式:S=(a×b+a×c+b×c)×2 正方体的表面积=棱长×棱长× 6 公式:S=6a2 四年级上下小学数学四年级重点难点总结 一、 (1)加法交换律 两个加数交换位置,和不变。 字母公式:a+b+c=(b+a)+c (2)加法结合律的概念为:先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。 字母公式:a+b+c=a+(b+c) 二、乘法交换律 (1)乘法交换律的概念为:两个因数交换位置,积不变。 字母公式:a×b=b×a (2)乘法结合律 乘法结合律的概念为:先乘前两个数,或者先乘后两个数,积不变。 字母公式:a×b×c=a×(b×c) 三、乘法分配律 乘法分配律的概念为:两个数与一个数相乘,可以先把它们与这个数分别相乘,再相加。(1)字母公式:(a+b)×c=a×c+b×c (2)拓展:(a-b)×c=a×c-b×c或a×(b-c)=a×b-a×c连减:a—b—c=a—(b+c) 连除:a÷b÷c=a÷(b×c) 四、常见乘法计算(敏感数字):25×4=100 125×8=1000 75+98+25= 488+40+60= 25×56×4= 99×125×8= 65+28+35+72= (加法交换律+结合律)25×125×4×8= (乘法交换律+结合律)25×(40+4)= 135×12-135×2= 99×256+256= 45×102= 99×26= 35×8+35×6-4×35= 528-65-35= 528-89-128= 528-(150+128)= 3200÷25÷4= 256-58+44= 250÷8×4= 乘除法运算中运用的简便算法。 在乘法中,如果有一个因数时25或(125)另一个因素正好是4或(8)的倍数,出不将4或(8)的倍数分析,也可以把25或(125)写成100÷4(或1000÷8)的形式,再进行口算也很简单,或者根据一个人因数乘几,另一个因数除以相同数,积不变的规律进行简运算。 方法一:12×25= 方法二:12×25= 方法三:12×25= 五、数学广角 1、植树问题 (1)两端要栽: 间隔数=总长÷间距;总长=间距×间隔数; 棵数=间隔数+1;间隔数=棵数-1 (2)两端不栽: 间隔数=总长÷间距;总长=间距×间隔数; 棵数=间隔数-1;间隔数=棵数+1 2、锯木问题 段数=次数+1;次数=段数-1 总时间=每次时间×次数 六年级数学重难点汇总集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988) 六年级上册第一单元分数乘法 第1课时分数乘整数 重点:理解分数乘整数的意义,掌握分数乘整数的计算方法 难点:理解分数乘整数的算理 第2课时一个数乘分数的意义及分数乘分数 重点:一个数乘分数的意义及分数乘分数的计算方法 难点:理解一个数乘分数的算理 第3课时小数乘分数 重点:掌握小数乘分数的计算方法 难点:能灵活选择恰当的方法计算小数乘分数 第4课时分数混合运算和简便运算 重点:掌握分数混合运算的运算顺序,并能正确地进行计算 难点:根据题目特点灵活、合理地运用运算定律进行简便计算 第5课时解决问题 重点:掌握连续求一个数的几分之几是多少和比一个数多(或少)几分之几的数是多少的实际 问题的解题方法 难点:能正确判断单位“1”,并理解单位“1”和所求量的关系 第二单元位置与方向(二) 第1课时用方向和距离确定物体在平面图上的位置 重点:掌握根据方向和距离确定物体在平面图上的位置的方法 难点:能根据描述在平面图上表示物体的具体位置 第2课时描述简单的路线图 重点:描述并绘制简单的路线图 难点:根据参照点的变化重新确定物体的位置,体会位置的相对性第三单元分数除法 1 倒数的认识 重点:掌握求一个数的倒数的方法 难点:理解倒数的意义 2 分数除法 第1课时分数除以整数 重点:掌握分数除以整数的计算方法 难点:理解分数除以整数的算理 第2课时一个数除以分数 重点:掌握一个数除以分数的计算 难点:理解一个数除以分数的算理 第3课时分数四则混合运算 重点:掌握分数四则混合运算的运算顺序 难点:掌握把连除转化成连乘并进行约分的方法 第4课时解决问题(一) 重点:用方程解决简单的分数除法问题 难点:用线段图表示题中的数量关系 第5课时解决问题(二) 四年级上册数学重难 点汇总 四年级上册 第一单元大数的认识 1 亿以内数的认识 第1课时亿以内数的读法和写法 重点:知道相邻两个计数单位之间的关系及亿以内数的读写方法难点:数级中间或末尾有0的数的读写方法 第2课时亿以内数的大小比较、改写及求近似数 重点:掌握比较亿以内数大小的方法及多位数的改写 难点:用“四舍五入”法求非整万数的近似数 2 数的产生、十进制计数法和亿以上数的认识 重点:建立自然数的概念,会读写亿以上的数 难点:多位数的改写 3 计算工具的认识、算盘、计算器 重点:正确掌握计算器的基本操作方法 难点:借助计算器探索计算的规律 综合应用:1亿有多大 第二单元公顷和平方千米 重点:理解平方米、公顷和平方千米之间的进率,能进行单位换算难点:体会1公顷和1平方千米的实际大小 第三单元角的度量 1 线段、直线、射线和角及角的度量 重点:认识线段、直线、射线及角的度量 难点:用量角器量角的方法及线段、直线、射线的区别和联系 2 角的分类及画角 重点:角的分类 难点:用量角器画角 第四单元三位数乘两位数 第1课时三位数乘以两位数的笔算方法 重点:三位数乘以两位数的笔算方法 难点:用竖式计算时积的定位 第2课时因数中间或末尾有0的乘法 重点:因数末尾有0的乘法竖式的简便写法 难点:因数中间有0的竖式的写法 第3课时积的变化规律 重点:掌握积的变化规律 难点:运用积的变化规律解决问题 第4课时总价、路程问题 重点:理解“单价×数量=总价”和“速度×时间=路程”两个关系式的含义难点:灵活运用总价、路程的数量关系,解决实际问题 第五单元平行四边形和梯形 1 平行于垂直 重点:理解平行与垂直的概念 难点:掌握画垂线和画长方形的方法 2 平行四边形和梯形 四年级数学下册各单元重 难点人教版 The latest revision on November 22, 2020 四年级下册数学各单元重点、难点分析第一单元:四则运算(重点单元) ①重点:掌握含有两级运算的运算顺序,正确计算三步式题,学会用两、三步计算的方法解决一些实际问题。 ②难点:正确计算三步式题,学会用两、三步计算的方法解决一些实际问题。(解决问题本单元要求会列综合算式) 第二单元:位置与方向 ①重点:根据方向和距离两个条件确定物体的位置,并描述简单的路线图。(说清方向、角度、长度三个要素) ②难点:体会位置关系的相对性。(互换位置进行地点描述:注意相对性) 第三单元:运算定律与简便计算(重点单元) ①重点:探索和理解加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律和分配律,能运用运算定律进行一些简便运算。 ②难点:探索和理解加法的乘法的运算定律,会应用它们进行一些简便运算。第四单元:小数的意义和性质(重点单元) ①重点:理解小数的意义和性质,掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律。 ②难点:理解小数的意义和性质,掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律。 第五单元:三角形 ①重点:认识三角形的特性,会根据三角形的边、角特点给三角形分类,知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180度。 ②难点:认识三角形的特性,知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180度。 第六单元:小数的加法和减法(重点单元) 重难点:小数加、减法、混合运算以及整数的运算定律推广到小数。(包括小数的简便验算) 第七单元:统计 ①重点:认识折线统计图,了解折线统计图的特点。 ②难点:认识折线统计图,初步学会根据统计图和数据进行数据变化趋势的 分析,进一步体会统计在现实生活中的作用。六年级上册数学知识重点难点
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