(完整版)高中数学解三角形方法大全(最新整理)
解三角形
1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立：
ABC ?C B A 、、c b a 、、（1）边的关系：，，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）
c b a >+b c a >+a c b >+（2）角的关系：，，，，
π=++C B A π<
cos 2sin
C B A =+（3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用
1．正弦定理：，其中为的外接圆半径R C
c B b A a 2sin sin sin ===R ABC ?
2．正弦定理适用于两类解三角形问题：
（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；
（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解
的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能
如图，在中，已知、、ABC ?a b A
（1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。
A b a >ABC ?（2）若为锐角，则当时，三角形无解；
A A b a sin < 当时，三角形有唯一解；
A b a sin = 当时，三角形有两解；
b a A b < b a ≥实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在中，角的对边分别为，则有 ABC ?C B A 、、c b a 、、 余弦定理： ， 其变式为：?????-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222???? ?????-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2 222222 222．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或 由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦 定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） （、、分别表示、、上的高）；c b a ABC ch bh ah S 212121=== ?a h b h c h a b c （2）B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21=== ?（3） （为外接圆半径）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22R （4）；R abc S ABC 4= ?（5） 其中))()((c p b p a p p S ABC ---= ?)(21c b a p ++=（6）（是内切圆的半径，是三角形的周长）l r S ABC ?=?2 1r l